第十三章 電流與磁場

第13章電流和磁場

在靜止電荷周圍空間存在靜電場；在運動電荷周圍，不但存在電場，而且還存在磁場。穩(wěn)恒電流產(chǎn)生的磁場是不隨時間變化的，稱為穩(wěn)恒磁場。磁場和電流之間有什么關(guān)系，相互作用如何呢？數(shù)理系黃海波編

主要內(nèi)容13.1電流和電流密度13.2電流的微觀模型歐姆定律13.3磁場及起源13.4畢奧－薩伐爾定律13.5磁場的高斯定律13.6安培環(huán)路定理及應(yīng)用§13.1電流和電流密度一、電流current數(shù)值：單位時間通過單位垂直面積的電量。方向：正電荷運動的方向單位：1安培=1C/s電流—帶電粒子的定向運動。載流子—電子、質(zhì)子、正負(fù)離子、空穴。二、電流強度Uv三、電流密度currentdensity1.電流密度大?。簩?dǎo)體中某點的電流密度，數(shù)值上等于和該點正電荷定性移動方向垂直的單位面積上的電流強度。方向：該點正電荷定向移動的方向。單位：電流密度的單位是Am-2。電流的空間分布電流密度vDt

=nqDS1）、單一載流子2）、多種載流子3）、金屬—自由電子導(dǎo)電漂移速度：熱運動的漂移速度為零。的電子數(shù)密度：速度dSJS四.電流的連續(xù)性方程dSJ由電荷守恒2.電流密度和電流強度的關(guān)系§13.2電流的微觀模型歐姆定律一、歐姆定律(Ohm’slaw)二、電阻和電導(dǎo)在溫度一定的情況下,流過導(dǎo)體的電流I與導(dǎo)體兩端的電壓U成正比，即:G稱為電導(dǎo)，R稱為電阻。在國際單位制中,電導(dǎo)的單位：西門子(S),電阻的單位：歐姆()。1S=1-1電阻率電導(dǎo)率四、電流的經(jīng)典微觀模型三、歐姆定律(Ohm’slaw)的微分形式

取長l截面積S的細(xì)電流管，根據(jù)歐姆定律I=U/R，其中I=jS，U=El，R=l/S，五、穩(wěn)恒電流和穩(wěn)恒電場穩(wěn)恒電流：電流密度僅是空間位置的函數(shù),而與時間t無關(guān)。穩(wěn)恒電場：有電流而保持不隨時間改變的電場。穩(wěn)恒電場和靜電場的區(qū)別及聯(lián)系六、電源和電動勢——穩(wěn)恒電流的產(chǎn)生

電源：能提供非靜電力的裝置。能不斷地把其它形式的能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿囊环N裝置。如：電池、發(fā)電機(jī)等。電動勢ε：定量地描述電源轉(zhuǎn)換能量本領(lǐng)大小的物理量。定義：將單位正電荷繞閉合回路一周，非靜電力所作的功。電動勢是標(biāo)量，單位、量綱與電勢一樣，為方便，規(guī)定：自負(fù)極經(jīng)過電源內(nèi)部到正極的方向為電動勢的方向。一、基本的磁現(xiàn)象

從鐵屑堆中提出后的棍形永磁體的照片，鐵屑主要密集在棍的端部?！?3.3磁場及磁場的起源兩塊磁鐵同名磁極相互排斥，異名磁極相互吸引。1820年,丹麥物理學(xué)家奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應(yīng)INSNSNS問題：磁鐵和電流是否在本源上是一致的?十九世紀(jì)杰出的法國科學(xué)家安培提出了這樣一種假說，組成磁鐵的最小單元即磁分子就是環(huán)形電流。若這樣的一些分子環(huán)流定向地排列起來，在宏觀上就顯示出N、S極來。這就是安培分子環(huán)流假說。SN1、磁場的起源—分子電流假說INS二、磁場及起源螺線管和磁鐵的相似性至今沒發(fā)現(xiàn)磁單極子靜止電荷靜止電荷靜止電荷之間的作用力——電力運動電荷之間的作用力——電力+磁力運動電荷運動電荷說明1、磁場由運動電荷(或電流)產(chǎn)生;3、磁場有能量、…

電場磁場傳遞磁相互作用2、磁場對運動電荷(或電流)有力的作用;2、概念在運動電荷（或電流）周圍空間存在的一種特殊形式的物質(zhì)。三、磁感應(yīng)強度1、引入需要一個既具有大小又有方向的物理量來定量描述磁場。2、洛侖茲力電場力磁場力帶電粒子在電場和磁場中所受的力洛侖茲力的方向垂直于運動電荷的速度和磁感應(yīng)強度所組成的平面，且符合右手螺旋定則。3、磁感應(yīng)強度的定義為了描述磁場的性質(zhì)，可據(jù)此定義一個矢量函數(shù)B，規(guī)定它的大小為4、單位特斯拉T;1T=1N/(A.m)=104Gs磁場服從疊加原理*的方向——利用小磁針探測磁場的方向。*的大小——研究運動電荷在磁場中受力。思路:仿照電場的計算1、內(nèi)容電流元Idl在空間P點產(chǎn)生的磁場B為：§13.4畢奧－薩伐爾定律真空磁導(dǎo)率疊加原理P*運動電荷的磁場2、說明該定律是在實驗的基礎(chǔ)上抽象出來的，不能由實驗直接加以證明。電流元Idl

的方向即為電流的方向。dB的方向由Idl

確定，即用右手螺旋法則確定。3、畢奧－薩伐爾定律應(yīng)用舉例：解題步驟1.根據(jù)已知電流的分布選取合適的電流元；2.根據(jù)電流的分布與磁場分布的的特點來選取坐標(biāo)系，其目的是要使數(shù)學(xué)運算簡單；3.按照畢奧－薩伐爾定律寫出電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度；4.由疊加原理求磁感應(yīng)強度的分布，將磁感應(yīng)強度的矢量積分變?yōu)闃?biāo)量積分，選取合適的積分變量，統(tǒng)一積分變量。例1:長度為L的載流直導(dǎo)線在距離它為a的P點的磁場解：在距點O為l處取電流元Idl，Idl在點P產(chǎn)生B，方向垂直于紙面向里ldlI0arPAB12l=acot()=-acot

，r=acsc

，dl=acsc2

d無限長載流直導(dǎo)線，θ1=0，θ

2=，距離導(dǎo)線a處的磁感應(yīng)強度為a<<lIBIBX半無限長載流長直導(dǎo)線的磁場解：其磁場方向只有沿x軸的分量而垂直于x軸的分量求和為零。例2：求載流圓線圈在其軸上的磁場。IdlIRO×PB的方向沿著軸線，與分量dBx

的方向一致。

圓電流環(huán)，在其軸上一點的磁場，磁場方向與電流滿足右手螺旋法則。*兩種特殊的情況：軸上無窮遠(yuǎn)的磁感強度x=0時圓電流環(huán)中心磁感強度PIS磁偶極矩IS說明：當(dāng)載流線圈極小時,就稱磁偶極子,故磁矩也稱磁偶極矩.與電偶極子的電矩對應(yīng).例2中圓電流磁感強度公式也可寫成圓形電流磁場與條形磁鐵或磁針的行為相似。引入磁矩描述圓形電流或載流平面線圈磁行為。S是圓形電流包圍平面面積，指向與電流的方向滿足右螺旋關(guān)系。I1例3載流直螺線管內(nèi)部的磁場繞在圓柱面上的螺線形線圈叫做螺線管，下面我們計算它的軸線上的磁場分布。設(shè)螺線管半徑為R，電流強度為I，每單位長度上有線圈n匝，放在真空中。1

在螺線管上任取一小段dl，這小段上有線圈ndl匝。因為螺線管是密繞的，我們可以把它近似地看成是一系列圓線圈并排起來組成的，每一匝在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度都沿軸線方向向右，長度dl內(nèi)各匝的總效果就是一匝的ndl倍。應(yīng)用前面得到的圓線圈軸線上任一點的磁感應(yīng)強度的結(jié)果dBIdl⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙dlldB12PR⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙dlldB12P為了便于積分引入角變量，由圖中可看出所以有右手螺旋法則討論幾種特殊情況1.若l>>R，在無限長的螺線管中心處2.在管端口處：–l/2

l/2O

從以上分析可以看出長直載流螺線管的磁場分布情況：在螺線管中心區(qū)域為均勻磁場，在管端口處，磁場等于中心處的一半。一、磁感應(yīng)線1．磁感應(yīng)線：用來描述磁場分布的一系列曲線。磁感應(yīng)線上任一點切線的方向即為磁感應(yīng)強度的方向；磁感應(yīng)強度的大小可用磁感應(yīng)線的疏密程度表示。磁感應(yīng)線密度：在與磁感應(yīng)線垂直的單位面積上的穿過的磁感應(yīng)線的數(shù)目?！?3.5磁場的高斯定律2、幾種典型的磁感應(yīng)線IB載流長直導(dǎo)線圓電流載流長螺線管3、磁感應(yīng)線特性磁感應(yīng)線是環(huán)繞電流的無頭尾的閉合曲線，無起點無終點；磁感應(yīng)線不相交。二、磁通量2、計算通過任意S面的磁通量Ф，其數(shù)學(xué)表達(dá)式：1、磁通量定義：通過磁場中某一曲面的磁感應(yīng)線的數(shù)目，定義為磁通量，用Ф表示。3、說明規(guī)定單位法線矢量n的方向垂直于曲面向外磁感應(yīng)線從曲面內(nèi)穿出時，磁通量為正(θ<π/2,cosθ>0)

磁感應(yīng)線從曲面出穿入時，磁通量為負(fù)(θ>π/2,cosθ<0)穿過曲面通量可直觀地理解為穿過該面的磁感應(yīng)線條數(shù)單位：韋伯(wb)1Wb=1T·m2

三、高斯定律1、內(nèi)容

通過任意閉合曲面的磁通量必等于零。2、解釋由于磁感應(yīng)線是閉合的，因此對任意一閉合曲面來說，有多少條磁感應(yīng)線進(jìn)入閉合曲面，就一定有多少條磁感應(yīng)線穿出該曲面。磁場是有旋/無散場(非保守場)；電場是有源場，保守場磁極相對出現(xiàn)，不存在磁單極；單獨存在正負(fù)電荷3、說明S安培(Ampere,1775-1836)法國物理學(xué)家，電動力學(xué)的創(chuàng)始人。1805年擔(dān)任法蘭西學(xué)院的物理教授，1814年參加了法國科學(xué)會，1818年擔(dān)任巴黎大學(xué)總督學(xué)，1827年被選為英國皇家學(xué)會會員。他還是柏林科學(xué)院和斯德哥爾摩科學(xué)院院士。安培在電磁學(xué)方面的貢獻(xiàn)卓著，發(fā)現(xiàn)了一系列的重要定律、定理，推動了電磁學(xué)的迅速發(fā)展。1827年他首先推導(dǎo)出了電動力學(xué)的基本公式，建立了電動力學(xué)的基本理論，成為電動力學(xué)的創(chuàng)始人。13-6安培環(huán)路定理一、安培環(huán)路定理在穩(wěn)恒電流的磁場中，磁感應(yīng)強度B沿任何閉合回路L的線積分，等于穿過這回路的所有電流強度代數(shù)和的μ0倍，數(shù)學(xué)表達(dá)式：符號規(guī)定：穿過回路L的電流方向與L的環(huán)繞方向服從右手關(guān)系的I為正，否則為負(fù)。安培環(huán)路定律對于穩(wěn)恒電流的任一形狀的閉合回路均成立。B的環(huán)流與電流分布有關(guān)，但路徑上磁感應(yīng)強度B仍是閉合路徑內(nèi)外電流的合貢獻(xiàn)。安培環(huán)路定理的物理意義：磁場是非保守場，不能引入勢能。L1、內(nèi)容(2)在圍繞單根載流導(dǎo)線的垂直平面內(nèi)的任一回路。(1)在圍繞單根載流導(dǎo)線的垂直平面內(nèi)的圓回路。2、證明(3)不圍繞單根載流導(dǎo)線，在垂直平面內(nèi)的任一回路(4)圍繞多根載流導(dǎo)線的任一回路設(shè)有Ii，i=1,2,…,n，穿過回路L，Ii，I=n+1,n+2,…,n+k不穿過回路L令分別為單根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場所有電流的總場穿過回路的電流任意回路L應(yīng)用安培環(huán)路定律可以求出某些有規(guī)則分布的電流的磁感應(yīng)強度分布。解題步驟如下：1.分析磁場的對稱性：根據(jù)電流的分布來確定磁場的分布是否具有對稱性；如磁場具有對稱性，則可以用安培環(huán)路定理來求解；如果不具有對稱性，則不能用安培環(huán)路定理求解；2.過場點選取合適的閉合積分路徑，在此閉合路徑的各段上，磁感應(yīng)強度或者與之垂直，或者與之平行，或者成一定的角度，總之使得磁感應(yīng)強度的環(huán)流容易計算；3.選好積分回路的取向，并根據(jù)取向來確定回路內(nèi)電流的正負(fù)值。4.最后由安培環(huán)路定理求出磁感應(yīng)強度。二、安培環(huán)路定理的應(yīng)用RrP例1長直圓柱形載流導(dǎo)線內(nèi)外的磁場

設(shè)導(dǎo)線為圓柱形，截面的半徑為R。電流I沿軸線方向流動。在截面上電流是均勻分布的。對于所考察的P點來說，當(dāng)P點離導(dǎo)線的距離比P點離兩端的距離小得多時，可以把導(dǎo)線看成是無限長的。在這區(qū)域內(nèi)，磁場對軸線具有對稱性。磁力線是在垂直軸線的平面內(nèi)以軸線為中心的圓上。取過P點的磁力線為積分回路，線上任一點的B的數(shù)值相等，方向與該點的dl方向一致。RrP由安培環(huán)路定理，可得到式中r是P點離軸線的距離。所以導(dǎo)線外P點的磁感應(yīng)強度為由此可見，長直圓柱形載流導(dǎo)體外的磁場與長直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場相同。rQR

在導(dǎo)線內(nèi)部，磁場同樣是軸對稱的。取過Q點的磁力線為積分回路，因單位截面的電流是I/R2，所以包圍在這一回路內(nèi)的電流為應(yīng)用安培環(huán)路定理得到由此知Q點B的大小為可見在圓柱形導(dǎo)體內(nèi)部，磁感應(yīng)強度和離開軸線的距離r成正比。rQRB0RrB隨r變化的曲線如圖所示?！选选选选选选选选选选选选选选选选选牙?長直螺線管內(nèi)的磁場設(shè)有一均勻密繞長直螺線管，通有電流I。由于螺線管很長，所以管內(nèi)中間部分的磁場是均勻的，方向與管的軸線平行。在管的外側(cè)磁場很弱，可忽略不計。

處于真空中的載流長直螺線管內(nèi)外的磁場分布情況與管上的各匝線圈的疏密程度及管的尺寸有關(guān)。對于線圈較稀疏的載流螺線管，它的磁感線分布如圖（a）所示，由圖可以看出在螺線管內(nèi)中間部分靠近管軸出的磁感應(yīng)線區(qū)域與管軸平行；而導(dǎo)線附近的磁感應(yīng)幾乎是一些以導(dǎo)線為軸的同心圓，這樣，管外中間部分貼近外管壁的區(qū)域內(nèi)，存在著磁場，磁感應(yīng)強度不為零。

然而對于繞的非常密集的的直螺線管，它的磁感應(yīng)線分布如圖（b）所示，由圖可以看出，在螺線管內(nèi)中部，從管壁到管軸的區(qū)域內(nèi)，磁感線可看成是趨于與管軸平行；而管外中部貼近外管壁附近的磁場很弱，，磁感應(yīng)強度為趨于零。當(dāng)螺線管繞的很密，而且管的長度l比管的直徑d大的很多時，可將此螺線管當(dāng)成無限長的螺線管?！选选选选选选选选选选选选选选选选选補bcd?p

為了計算管內(nèi)中間部分某一點P的磁感應(yīng)強度，可以通過P點作一矩形的閉合回路abcd，在線段cd以及在線段bc和ad的位于管外部分，由于在螺線管外，B=0。在bc和da的位于管內(nèi)部分，雖然B≠0，但dl與B相垂直，即cos=0，=/2。線段ab上各點磁感應(yīng)強度大小相等，方向都和積分路徑一致，即從a到b，所以B矢量沿閉合路徑abcda的線積分為⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙abcd?p