第十一講 定積分計(jì)算

三、定積分的分部積分法第十一講不定積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的換元法換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的計(jì)算第十一講一、牛頓–萊布尼茲公式四、無(wú)窮區(qū)間上的反常積分一、牛頓–萊布尼茲公式(牛頓-萊布尼茲公式)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:根據(jù)定理1,故因此得記作定理1.函數(shù),則例1.計(jì)算解:例2.計(jì)算正弦曲線的面積.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

汽車以每小時(shí)36

km的速度行駛,速停車,解:設(shè)開(kāi)始剎車時(shí)刻為則此時(shí)刻汽車速度剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),即得故在這段時(shí)間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問(wèn)從開(kāi)始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束車到停車走了多少距離?說(shuō)明:牛頓–萊布尼茲公式又稱為微積分基本公式則有積分中值定理微分中值定理牛頓–萊布尼茲公式公式目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、定積分的換元法

定理2.設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2)在上機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則說(shuō)明:1)必需注意換元必?fù)Q限,原函數(shù)中的變量不必代回.2)換元公式也可反過(guò)來(lái)使用,即或配元配元不換限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

計(jì)算解:令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例5.

計(jì)算解:令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例6.證:(1)若(2)若偶倍奇零機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、定積分的分部積分法

定理3.

則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.計(jì)算解:原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.

證明證:令

n為偶數(shù)

n為奇數(shù)則令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由此得遞推公式于是而故所證結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限湊微分不換限邊積邊代限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、無(wú)窮區(qū)間上的反常積分引例.曲線和直線及x軸所圍成的開(kāi)口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義1.設(shè)若存在,則稱此極限為f(x)的無(wú)窮限反常積分,記作這時(shí)稱反常積分收斂;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散.類似地,若則定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則定義(c為任意取定的常數(shù))只要有一個(gè)極限不存在,就稱發(fā)散.無(wú)窮限的反常積分也稱為第一類反常積分.并非不定型,說(shuō)明:上述定義中若出現(xiàn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束它表明該反常積分發(fā)散.引入記號(hào)則有類似牛–萊公式的計(jì)算表達(dá)式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

計(jì)算反常積分解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考:分析:原積分發(fā)散!注意:對(duì)反常積分,只有在收斂的條件下才能使用“偶倍奇零”的性質(zhì),否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.例10.

證明第一類p積分證:當(dāng)p=1時(shí)有當(dāng)p≠1時(shí)有當(dāng)p>1時(shí)收斂;p≤1時(shí)發(fā)散.因此,當(dāng)p>1時(shí),反常積分收斂,其值為當(dāng)p≤1時(shí),反常積分發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明：此例結(jié)果可作為重要的反常積分公式使用機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解：1.設(shè)求定積分為常數(shù),設(shè),則故應(yīng)用積分法定此常數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)2.