第五講 MATLAB符號計算功能

MATLAB第五講MATLAB的符號計算功能一、符號表達式和符號矩陣的創(chuàng)建1、符號變量的賦值2、符號常量3、符號矩陣的創(chuàng)建4、符號方程的創(chuàng)建5、將數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣6、符號表達式的升冪7、符號表達式的合并8、變量代換二、符號函數(shù)的微積分1、求導數(shù)2、求積分3、求泰勒級數(shù)taylortool(f)三、求符號方程的精確解和近似解1、求解單個符號方程2、對代數(shù)方程組求解四、符號矩陣的基本運算1、加、減、乘2、求逆運算3、求符號矩陣的除法4、求矩陣的特征值和特征向量5、求符號矩陣的行列式6、求符號矩陣的約當矩陣7、求符號矩陣的奇異值五、符號函數(shù)畫圖六、求符號函數(shù)的零點七、求微分方程的解一、入門Symbolic工具包MATLAB有一個符號計算工具包叫作SymbolicMathToolbox其中有60多個專用函數(shù)。包括微積分、線性代數(shù)、方程求解、多項式的簡約與展開、特殊數(shù)學函數(shù)等。sym的指令在C:\MATLAB6p1\toolbox\symbolic，如果在搜索路境中沒有設定則要添加。符號表達式和符號矩陣的創(chuàng)建符號表達式是數(shù)字、函數(shù)、變量的MATLAB字符串，或字符串數(shù)組。符號運算是指使用已知的規(guī)則和給定的符號恆等式求解符號方程。生成符號表達式用引號或sym函數(shù)例>>M=[a,b;c,d]???Undefinedfunctionorvariable'a'.>>M=sym(‘[a,b;c,d]’)>>M=sym('[a,b;c,d]')M=[a,b][c,d]1、符號變量的賦值

>>f1='sin(x)^2’；f2='exp(-x^2/2)’；f3='1/(1+x^2)’；f1=sin(x)^2f2=exp(-x^2/2)f3=1/(1+x^2)符號常量沒有變量的符號表達式叫作符號常量>>a2='3'a2=3>>a2+1ans=52a2是一個符號常量，它是用ASCII碼來存儲的，‘3’的ASCII碼是51因此a2+1得到的是52而不是4（1）sym命令>>M1=sym('[sin(x),cos(x);-cos(x),sin(x)]')M1=[sin(x),cos(x)][-cos(x),sin(x)]（2）直接輸入法>>M2=['[1+x+x^2,sin(x)]';'[cos(x),x^2]']M2=[1+x+x^2,sin(x)][cos(x),x^2]2、符號矩陣的創(chuàng)建3、符號方程的創(chuàng)建>>EQF='a*x^2+b*x+c=0'EQF=a*x^2+b*x+c=0>>M=[2/3,sqrt(3)/3,0.333;2.5,1/0.7,log(3)]M=0.66670.57740.33302.50001.42861.0986>>fuhaoM=sym(M)fuhaoM=[2/3,sqrt(1/3),333/1000][5/2,10/7,4947709893870346*2^(-52)]4、將數(shù)字矩陣轉(zhuǎn)化為符號矩陣5、isstr()用來檢測變量是否符號變量例>>a2='3'a2=3>>isstr(a2)ans=1>>a3=3a3=3>>isstr(a3)ans=0

用引號定義的a2是符號變量用普通的賦值定義的變量不是符號變量6、符號表達式的升冪

>>f='2*x^2+3*x-5';>>sympow(f,'3')ans=(2*x^2+3*x-5)^37、符號表達式的合并>>f1='sin(x)';>>f2='sin(2*x)';>>f3=symop(f1,'/',f2,'+',3)f3=sin(x)/sin(2*x)+38、變量代換>>f1='1/(1+x^2)';>>f2='sin(x)';>>subs(f1,'s','x')ans=1/(1+(s)^2)>>subs(f2,'alpha','x')ans=sin((alpha))例1計算符號函數(shù)的導數(shù)>>f=‘sin(x)^2’%定義函數(shù)的符號表達式f=sin(x)^2>>diff(f)ans=2*sin(x)*cos(x)>>diff(f,2)ans=2*cos(x)^2-2*sin(x)^2二、符號函數(shù)的微積分1、求導diff(f)>>f=‘sin(x)^2’；>>int(f,'x')ans=-1/2*sin(x)*cos(x)+1/2*x>>int('1/(1+x^2)')ans=atan(x)2、符號函數(shù)求積分inf(f)例>>f='sin(x)^2';

>>taylortool(f)3、求泰勒級數(shù)taylortool(f)在框中可以交互作用，給出所需的階數(shù)，立即返回表達式和圖形。幾個常用命令Solve(‘方程’）%求精確解vpa(S,n)%求n位有效數(shù)字的近似解numeric(S)%將不含自由自變量的近似解轉(zhuǎn)化為數(shù)值解digits(n)%設定近似解的有效位數(shù)

subs(S,Dsym,Fsym)%將數(shù)值Fsym帶入自變量Dsym三、求符號方程的精確解和近似解>>R1=solve('x^2-x-1=0')R1=[1/2*5^(1/2)+1/2][1/2-1/2*5^(1/2)]>>RV=vpa(R1)RV=[1.6180339887498948482045868343657][-.61803398874989484820458683436570]>>RV4=vpa(R1,4)RV4=[1.618][-.6180]例對符號方程求解>>RV30=vpa(R1,16)RV30=[1.618033988749895][-.6180339887498950]>>numeric(R1)ans=1.6180-0.61801、求解單個符號方程>>solve(‘a(chǎn)*x^2+b*x+c=0’)%默認對缺省變量x求解ans=[1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))][1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))]

>>solve(‘a(chǎn)*x^2+b*x+c’,‘b’)%對b求解ans=-(a*x^2+c)/x2、對代數(shù)方程組求解>>equ1='d+(n+p)/2=q';>>equ2='p=n+d+q-10';>>equ3='q+d=p+n/4';>>equ4='q+p=n+8*d-1';>>[r1,r2,r3,r3]=solve(equ1,equ2,equ3,equ4,'p,n,d,q')r1=3r2=8r3=15r3=151、 加、減、乘symadd(A,B)%符號加symsub(A,B）%符號減symmul(A,B)%符號乘四、符號矩陣的基本運算例>>formatcompact>>A=sym('[a11,a12;a21,a22]')>>B=sym('[b11,b12;b21,b22]')>>C=symadd(A,B)C=[a11+b11,a12+b12][a21+b21,a22+b22]>>D=symsub(A,B)D=[a11-b11,a12-b12][a21-b21,a22-b22]>>E=symmul(A,B)

E=[a11*b11+a12*b21,a11*b12+a12*b22][a21*b11+a22*b21,a21*b12+a22*b22]例求二階符號矩陣的逆>>M=sym('[a,b;c,d]')M=[a,b][c,d]>>inv(M)ans=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)][-c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]2、求逆運算3、求符號矩陣的除法>>symdiv(A,B)ans=[-1/(-b11*b22+b12*b21)*(b22*a11-b21*a12),(-b11*a12+a11*b12)/(-b11*b22+b12*b21)][-1/(-b11*b22+b12*b21)*(-b21*a22+b22*a21),(-b11*a22+a21*b12)/(-b11*b22+b12*b21)]4、求矩陣的特征值和特征向量>>[V,a]=eigensys(A)V=[-(1/2*a22-1/2*a11-1/2*(a22^2-2*a11*a22+a11^2+4*a12*a21)^(1/2))/a21,-(1/2*a22-1/2*a11+1/2*(a22^2-2*a11*a22+a11^2+4*a12*a21)^(1/2))/a21][1,1]a=[1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2),0][0,1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]5、求符號矩陣的行列式例>>A=sym(‘[a11,a12;a21,a22]’)%定義符號矩陣A=[a11,a12][a21,a22]>>detA=determ(A)detA=a11*a22-a12*a21>>f=sym('[1/2,1/4;1/4,1/2]')f=[1/2,1/4][1/4,1/2]>>[V,J]=jordan(f)V=[1/2,1/2][-1/2,1/2]J=[1/4,0][0,3/4]6、求符號矩陣的約當矩陣inv(V)AV7、求符號矩陣的奇異值>>M=sym(magic(3))%構造3階魔方陣M=[8,1,6][3,5,7][4,9,2]>>singvals(M)%求奇異值ans=[15][2*3^(1/2)][4*3^(1/2)]fplot('function',[a,b])%畫出函數(shù)f(x)在[a,b]上的圖形例畫出函數(shù)在[0，8]上的圖形>>f='2*exp(-x)*sin(x)';%定義函數(shù)>>fplot(f,[0,8])五、符號函數(shù)畫圖fzero(fun,[a,b],[],options)在求零點之前先要確定一個根的隔離區(qū)間，也就是說，[a,b]區(qū)間內(nèi)有且僅有函數(shù)的一個零點，這里采用的是對分法求零點。fzero(fun,x0)%用牛頓法求零點。例求函數(shù)的零點>>fx='x^3-x+1';>>a=fzero(fx,-1)六、求符號函數(shù)的零點七、求微分方程的解>>dsolve(‘Dy=1+y^2’)