第八章 漸進(jìn)法與近似法

第八章漸進(jìn)法和近似法

Chapter8MethodofSuccessiveAprproximations1、力矩分配法的基本思路2、單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法3、多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法4、無剪力分配法5、近似法6、超靜定結(jié)構(gòu)的影響線7、連續(xù)梁的內(nèi)力包絡(luò)圖第八章漸進(jìn)法和近似法

Chapter8MethodofSuccessiveAprproximations

力矩分配法：主要用于連續(xù)梁和無結(jié)點(diǎn)線位移剛架的計算。其特點(diǎn)是不需要建立和解算聯(lián)立方程組，而在其計算簡圖上進(jìn)行計算或列表進(jìn)行計算，就能直接求得各桿桿端彎矩。用位移法求解該結(jié)構(gòu)。未知量：桿端彎矩：建立方程：……①

1、力矩分配法的基本思路1）基本思路1LLL1243MEI=C解方程得：注意未知量的解中：分母是圍繞“1”結(jié)點(diǎn)每個單元的轉(zhuǎn)動剛度之和。分子是作用于“1”結(jié)點(diǎn)的集中力矩。注意桿端彎矩中：分母是圍繞“1”結(jié)點(diǎn)每個單元的轉(zhuǎn)動剛度之和。分子是桿件自身的轉(zhuǎn)動剛度和集中力矩。近端彎矩回代得：LLL1243MEI=C注意桿端彎矩中：近端彎矩與遠(yuǎn)端彎矩之間有一定的關(guān)系。遠(yuǎn)端彎矩近端彎矩LLL1243MEI=C結(jié)論：計算中的：寫桿端彎矩表達(dá)式；建立位移法方程；解方程這幾步可以省略掉。2）名詞介紹（1）轉(zhuǎn)動剛度S

——表示桿端抵抗轉(zhuǎn)動的能力。它在數(shù)值上等于使桿

端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時，在桿端所施加的力矩。兩端固定單元：

一端固定一端鉸結(jié)單元：——一端固定一端鉸結(jié)梁的

轉(zhuǎn)動剛度AB4i2ii3iAB0i——兩端固定梁的轉(zhuǎn)動剛度——一端固定一端滑動梁

的轉(zhuǎn)動剛度一端固定一端滑動單元：（2）傳遞系數(shù)C

——遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。

4i——近端彎矩2i——遠(yuǎn)端彎矩其中：兩端固定單元：

ABi-iiAB4i2ii傳遞系數(shù)：遠(yuǎn)端彎矩近端彎矩一端固定一端鉸結(jié)單元：3iAB0i3i——近端彎矩0——遠(yuǎn)端彎矩其中：傳遞系數(shù)：遠(yuǎn)端彎矩近端彎矩ABi-ii一端固定一端滑動單元：

i——近端彎矩-i——遠(yuǎn)端彎矩其中：傳遞系數(shù)：遠(yuǎn)端彎矩近端彎矩（3）分配系數(shù)

——結(jié)點(diǎn)i處，ij桿的轉(zhuǎn)動剛度與圍繞該結(jié)點(diǎn)所有桿件轉(zhuǎn)動剛度之和的比值。計算公式：

現(xiàn)在再來做前面的例題?！?/p>

求各桿的分配系數(shù)圍繞一個結(jié)點(diǎn)的分配系數(shù)之和等于1LLL1243MEI=C●

求近端彎矩

M=分配系數(shù)×結(jié)點(diǎn)力矩●

求遠(yuǎn)端彎矩

M=傳遞系數(shù)×近端彎矩

從計算上來看比原來簡單了，但書寫的篇幅不比原來的少，因此有必要對其寫形式進(jìn)行改造。注意：結(jié)點(diǎn)順時針轉(zhuǎn)的力矩為正，反之為負(fù)。分配系數(shù)

以上計算是在這樣的前提下實(shí)現(xiàn)的：

●

結(jié)點(diǎn)只有一個，而且是轉(zhuǎn)角，沒有側(cè)移。

●

荷載是結(jié)點(diǎn)力矩。至于多結(jié)點(diǎn)的問題、節(jié)間荷載的問題下面繼續(xù)討論。3）力矩分配法的書寫形式桿端彎矩LLABCEIEIM首先解決節(jié)間荷載的問題：A狀態(tài)的內(nèi)力：——固端彎矩，可查表計算。B狀態(tài)的內(nèi)力：——分配彎矩，可用力矩分配法計算。

2、單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法原結(jié)構(gòu)qAFP=A狀態(tài)qAFP在A結(jié)點(diǎn)加了個剛臂，阻止其轉(zhuǎn)動，相當(dāng)于在A點(diǎn)加了個結(jié)點(diǎn)力矩。

+B狀態(tài)A-Mf在結(jié)點(diǎn)上加了個反向的力矩。Mf【例題1】用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。分配系數(shù)分配彎矩固端彎矩最后彎矩5/7211/72彎矩圖kN.mBCEIEI2kN2m1kN/mA4m2m分配系數(shù)計算：固端彎矩計算：不平衡力矩計算：B【例題2】用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。3kN.m4mBCEIEI2kN2m2m1kN/mA分配系數(shù)分配彎矩固端彎矩最后彎矩11/7220/721/7彎矩圖kN.m不平衡力矩計算：B3kN.m

1）計算原理與方法

多結(jié)點(diǎn)力矩分配法的思路是，首先把所有結(jié)點(diǎn)鎖住，然后依次逐個放松結(jié)點(diǎn)，使結(jié)構(gòu)處于“單結(jié)點(diǎn)”狀態(tài)，再使用力矩分配法消去結(jié)點(diǎn)上的不平衡力矩，如此反復(fù)進(jìn)行，使結(jié)點(diǎn)不平衡力矩逐漸減小，直至可以忽略，因此，它是一種漸近法。

3、多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法2）計算步驟（1）計算各結(jié)點(diǎn)的分配系數(shù)；（2）將所有中間結(jié)點(diǎn)固定，計算各桿固端彎矩；（3）將各結(jié)點(diǎn)輪流放松，分配與傳遞各結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩，直到傳遞彎矩小到可忽略為止；（4）把每一桿端歷次的分配彎矩、傳遞彎矩和原有的固端彎矩相加，即為各桿端的最后彎矩。

3、多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法下面做一個薄鋼片的試驗(yàn)：原結(jié)構(gòu)在荷載作用下，發(fā)生如圖所示的變形。把兩個鉸支座固定，使其變成3個獨(dú)立的單跨梁。把1號支座放松，相當(dāng)于釋放了支座處的不平衡力矩。把1號支座所住，放松2號支座。相當(dāng)于釋放了支座處的不平衡力矩。如此反復(fù)進(jìn)行，結(jié)構(gòu)變形逐漸接近原結(jié)構(gòu)。12121212把剛才的實(shí)驗(yàn)過程體現(xiàn)在解題上：原結(jié)構(gòu)把結(jié)點(diǎn)固定起來，求固端彎矩。用單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法，對1結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩進(jìn)行分配。鎖住1結(jié)點(diǎn)，用單結(jié)點(diǎn)的力矩分配法，對2結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩進(jìn)行分配。12FP12FP=12+-M1f12-M2f++【例題3】用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。2kN4m4m4m0.50.50.50.50.250.50.50.251-1-0.31-0.31-0.625-0.6250.080.1550.080.1550.6550.33-0.655-0.655-0.655-0.31-0.04-0.04分配系數(shù)固端彎矩分配與傳遞最終彎矩【例題4】用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。解：把懸臂DE去掉（由于靜定，桿端彎矩已知），豎向集中力移至D點(diǎn)，并加上一集中力矩4kN.m。4m4m4m6kN.m2kN/m2m2kNABCDE6kN.m2kN/m2kNABCD4kN.m分配系數(shù)計算：0.430.570.50.54.0-2.00.00.00.00.0-4.00.861.140.570.700.940.47-3.29-1.65-3.28-1.64-0.12-0.23-0.24-0.12

0.070.05-1.770.39-3.52-2.48-0.39-4.04.0分配系數(shù)固端彎矩分配與傳遞最終彎矩4m4m4m6kN.m2kN/m2kN4kN.mABCDE1.762.483.520.394.004.00彎矩圖kN.m【例題5】用力矩分配法計算圖示對稱剛架。原結(jié)構(gòu)LLqqEI取半剛架EIq取1/4剛架qABC解：由于結(jié)構(gòu)有兩根對稱軸，因此取1/4剛架如下所示。原結(jié)構(gòu)LL取半剛架取1/4剛架qqEIEIqqABCBAC結(jié)點(diǎn)號CAACABBA桿端號0.50.5-qL2/120.00.0-qL2/24-qL2/24qL2/24

qL2/24-qL2/24-qL2/24qL2/24-qL2/24-qL2/12

固端彎矩分配系數(shù)分配彎矩最終彎矩qL224qL224qL224qL224qL212彎矩圖列表對1/4剛架進(jìn)行分配：小結(jié)：（1）結(jié)點(diǎn)受集中力偶M作用時，“不反號”分配，要注

意與不平衡力矩相區(qū)別。（2）支座沉降等非荷載作用時，將其視為“廣義荷載”

求固端彎矩（可根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程或單跨超靜定梁

的桿端內(nèi)力表求得）。（3）對于對稱結(jié)構(gòu)，可取半結(jié)構(gòu)計算。（4）對于多結(jié)點(diǎn)問題，為了使計算收斂速度加快，通常

宜從不平衡力矩值較大的結(jié)點(diǎn)開始計算。

3、多結(jié)點(diǎn)的力矩分配法【例題6】用力矩分配法計算圖示超靜定梁。AB10kN4mCEI6kN·m4kN2m4mEI0.750.25-6.006.008.008.002.00固端彎矩10.00-20.0020.00-18.0014.00分配系數(shù)-8.00-20.0020.00分配傳遞彎矩最終彎矩202彎矩圖(kN.m)814解1：懸臂的處理同例題4，AB桿看作一端滑動一端固定單元，BC桿看作一端固定一端鉸結(jié)單元?！纠}6】用力矩分配法計算圖示超靜定梁。AB10kN4mCEI6kN·m4kN2m4mEI解2：懸臂的處理同例題4，AB桿看作一端滑動一端固定單元，BC桿看作兩端固定單元。也就是固定B、C兩個結(jié)點(diǎn)，并進(jìn)行分配和傳遞。0.80.28.08.0-4.8固端彎矩-20.010.04.8分配系數(shù)-19.2分配傳遞彎矩最終彎矩1.00.020.00.0-9.69.60.04.8-3.84-0.960.96-1.920.01.920.96-0.77-0.190.1913.95-2.058.0520.0-20.01）兩類剛架的區(qū)別在位移法中，剛架被分為無側(cè)移剛架與有側(cè)移剛架兩類，它們的區(qū)別在于位移法的基本未知量。無側(cè)移剛架——基本未知量只含結(jié)點(diǎn)角位移；2）兩類解法的用途

力矩分配法——是求解無側(cè)移剛架的漸近法；

有側(cè)移剛架——基本未知量既含結(jié)點(diǎn)角位移，也含

有結(jié)點(diǎn)線位移。

無剪力分配法——是求解符合某些特定條件的有側(cè)移剛架的漸近法。4、無剪力分配法4、無剪力分配法3）無剪力分配法的應(yīng)用條件

用于結(jié)構(gòu)中有側(cè)移桿件的剪力是靜定的。

剪力靜定桿件——桿件兩端雖有側(cè)移，但剪力是靜定的，即可根據(jù)靜力平衡條件直接求出剪力的桿件。FPADFPCFPB原結(jié)構(gòu)FP2FP3FP有側(cè)移桿的剪力ADFPCFPBEHGF有側(cè)移桿的剪力不靜定FP

原結(jié)構(gòu)FPFPFPFP/2FP/2正對稱FP/2FP/2FP/2FP/2=

反對稱FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2+

反對稱FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2FP/2

半剛架FP/2FP/2=對此半剛架可用無剪力法計算。對此剛架用無剪力法計算時要注意：FP/2FP/2FP/2123●在計算分配系數(shù)、傳遞彎矩和求固端彎矩時，要把所有柱子看作一端固定一端滑動單元。●在計算各層固端彎矩時，要記入上層荷載對本層的影響。

例如：

計算3層固端彎矩的荷載為：FP/2計算2層固端彎矩的荷載為：FP計算1層固端彎矩的荷載為：3FP/2ABDCEFP此剛架不能用無剪力法計算【例題7】用無剪力法計算圖示剛架。

圖示剛架有側(cè)移桿件的剪力是靜定的，因此可以采用無剪力分配法計算，即把ABBC桿件看作：一端固定一端滑動單元。B4kN4kNACDE4m4mCBABEBAABADBCCB0.750.250.20.20.6-8.0-8.0-16.0-16.04.84.814.4-4.8-4.83.29.6-3.2…其中：【例題8】圖示結(jié)構(gòu)支座C發(fā)生向右水平位移,支座E發(fā)生順時針轉(zhuǎn)角，試用力矩分配法作M圖。

ABCDEEIEIEIEILLL解：求由支座位移引起的固端彎矩。結(jié)點(diǎn)編號DABE桿端編號DAADABBABEBCEB分配系數(shù)0.20.84/114/113/11固端彎矩1030分配與傳遞彎矩-1.818-3.636-3.636-2.727-1.818-0.3640.3641.4540.727-0.132-0.264-0.264-0.199-0.1320.0260.106最終彎矩-0.3640.39-0.39-3.1736.10-2.92628.05ABCDEEIEIEIEI剛架的分配計算過程本節(jié)主要介紹以下三種近似法：●

分層法——計算剛架在豎向荷載作用下的彎矩●彎矩一次分配法——計算剛架在豎向荷載作用下的彎矩●

反彎點(diǎn)法——計算剛架在水平荷載作用下的彎矩剛架在豎向荷載作用下，計算結(jié)果有以下兩個特點(diǎn)：（1）結(jié)點(diǎn)的位移主要是轉(zhuǎn)角，側(cè)移很??；（2）作用在某根梁上的荷載主要對本層及上下柱子有影

響，對其它層桿件的影響很小。1）分層法

5、近似法3m3m14mq=10kN/m6m4m42365798101211圖示剛架在豎向荷載作用下，用精確法計算，其彎矩圖如下所示：24.3128.0416.145.291.413.242.355.887.4713.352.306.602.23彎矩圖（kN.m）28.046.6016.145.295剛架在豎向荷載作用下，計算結(jié)果有以下兩個特點(diǎn)：（1）結(jié)點(diǎn)的位移主要是轉(zhuǎn)角，側(cè)移很??；（2）作用在某根梁上的荷載主要對本層及上下柱子有影

響，對其它層桿件的影響很小。（1）在豎向荷載作用下，忽略剛架的側(cè)移；（2）作用在梁上的荷載只對本層梁及上下層的柱子有影響。為了簡化計算，由此作如下假設(shè)：5、近似法根據(jù)以上假設(shè)，計算可作如下簡化：（1）計算方法：由于剛架的側(cè)移被忽略，因此可以用力矩

分配法計算。（2）計算簡圖：由于荷載只對本層梁及上下柱有影響，因

此計算簡圖只需取相關(guān)部分?！纠}9】5、近似法ACBDGHFEIqJKLACBDGHFEIq可取原結(jié)構(gòu)q481216qqq12356710911131514171918208q取4123567+4812q12356710911+81216q56791011141315+121620q91011131415181719（2）計算分配系數(shù)時，一層以上柱子的剛度要乘折減系數(shù)

0.9，傳遞系數(shù)取1/3。一層柱子的線剛度不需折減，傳

遞系數(shù)仍取1/2。（1）按上述4個計算簡圖，分別用力矩分配法進(jìn)行計算。（3）對4個計算結(jié)果進(jìn)行疊加，主要是一層以上柱其內(nèi)力應(yīng)是兩部分之和。（4）柱子彎矩由于疊加后，在結(jié)點(diǎn)處就不平衡了，這就需要

在結(jié)點(diǎn)出再進(jìn)行一次分配，但不需再傳遞。計算時要注意以下問題：5、近似法q481216qqq12356710911131514171918208q取4123567+4812q12356710911+81216q56791011141315+121620q91011131415181719計算簡圖1力矩分配法的計算結(jié)果。10515366123159計算簡圖2力矩分配法的計算結(jié)果。兩者疊加后1結(jié)點(diǎn)的計算結(jié)果。以“1”結(jié)點(diǎn)為例：11131510“1”結(jié)點(diǎn)的彎矩不平衡了。0.610.43.010.0-1.811.2-10.0-1.2-11.2對“1”結(jié)點(diǎn)進(jìn)行一次分配。紅色為簡圖1分配結(jié)果綠色為簡圖2分配結(jié)果藍(lán)色為一次分配結(jié)果黑色為最后計算結(jié)果【例題10】用分層法計算圖示剛架。48121621kN/m1235671091113151421kN/m17kN/m3.3m3.3m5.0m6.0m2.5m6.0m本結(jié)構(gòu)可以分頂層、中間層和底層三個部分進(jìn)行分別計算，然后再迭加即可。4812356717kN/m48121235671091121kN/m121685679101114131521kN/m17kN/m12562’三層125610921kN/m6’二層56910141321kN/m10’一層彎矩疊加及一次分配15.204.8420.0414.504.1218.625.0614.5019.564.8412.3817.22-12.23-3.47-15.70-4.28-12.23-16.51-4.07-10.42-14.49-12.87-4.07-16.9429.55-15.2042.80-28.97-18.36-16.68-33.4845.76-18.06-17.2721.47彎矩疊加及一次分配20.04-0.9519.0918.64-1.5217.1019.56-1.5218.0417.22-0.7116.51-15.701.16-14.54-16.511.17-15.34-14.490.55-13.99-16.940.72-16.2229.552.9232.47-15.20-3.89-19.0942.804.7347.53-28.97-6.17-35.14-18.360.71-17.65-16.680.44-16.24-33.48-2.90-36.74

45.762.2347.99-18.060.95-17.11-17.270.33-16.9421.47-1.24-20.234.84-4.079.21-7.774.854.852）二次力矩分配法——剛架在豎向荷載作用下彎矩計算的近似方法。做題步驟如下：

●畫出結(jié)構(gòu)的計算簡圖，并在結(jié)點(diǎn)處畫上兩個框；

●計算出各桿件的分配系數(shù)并填在對應(yīng)的外框內(nèi)；

●計算出梁的固端彎矩填寫在相應(yīng)桿件的端部，然后計算出每個結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩，并填在結(jié)點(diǎn)的內(nèi)框中；

●對各結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩依次進(jìn)行分配、傳遞（傳至桿件的遠(yuǎn)端）傳遞系數(shù)均取1/2；

●

對結(jié)點(diǎn)的不平衡力矩進(jìn)行第二次分配但不再傳遞；

●

計算最終彎矩：M=M固端+M分配1+M傳遞+M分配2

2）二次力矩分配法分配系數(shù)分配系數(shù)分配系數(shù)不平衡力矩分配系數(shù)分配系數(shù)分配系數(shù)分配系數(shù)不平衡力矩分配系數(shù)分配系數(shù)不平衡力矩分配系數(shù)分配系數(shù)分配系數(shù)不平衡力矩分配系數(shù)分配系數(shù)不平衡力矩分配系數(shù)分配系數(shù)分配系數(shù)不平衡力矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩固端彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩分配彎矩傳遞彎矩分配彎矩最終彎矩3）反彎點(diǎn)法——剛架在水平荷載作用下彎矩計算的近似方法。剛架在水平荷載作用下彎矩圖有以下的特點(diǎn)：

（1）彎矩圖全是直線組成；（2）柱子的剪力沿桿長是常數(shù)；（3）柱子的彎矩圖全有反彎點(diǎn)；（4）結(jié)點(diǎn)位移主要是側(cè)移，轉(zhuǎn)

角很小。5、近似法FPFPFPFPF=40kNF=20kNF=20kN3m3m14m6m4m42365798101211圖示剛架在水平荷載作用下，用精確法計算，其彎矩圖如下所示：82.1352.7429.3853.5454.3053.1642.1044.1654.2632.0028.0851.9880.0628.7547.6218.8919.4425.6121.0227.4132.0049.4219.6019.9829.8210.8010.2621.06彎矩圖42.1032.0044.1654.265為了簡化計算，作如下假設(shè)：

（1）剛架在水平荷載作用下，結(jié)點(diǎn)只有側(cè)移，轉(zhuǎn)角為零；（2）一層以上柱子反彎點(diǎn)的高度在柱高的1/2處，底層柱在

柱高的2/3處。解釋一下第2個假設(shè)：反彎點(diǎn)在中間

兩端固定單元AB一端固定一端鉸結(jié)反彎點(diǎn)在柱頂

一層以上柱，由于假設(shè)轉(zhuǎn)角為零，因此可看作兩端固定單元，反彎點(diǎn)在柱中。

一層柱由于底部是真正的固定端，而部上剛結(jié)點(diǎn)與固定端有一定的誤差，因此反彎點(diǎn)上移取2/3柱高。

對每根柱子若已知了反彎點(diǎn)的高度，又知道了剪力的話，其彎矩圖就可畫出。柱的彎矩知道了，梁的彎矩就可利用結(jié)點(diǎn)平衡求出。

（1）求柱的剪力

例如求第三層柱的剪力，取n-n截面：5、近似法12341234FPFPFPFPnn34FPFPFQ31FQ32FQ33FQ34其中任意根柱的剪力：由以上兩式可得：把△3代入剪力表達(dá)式可得：其中“3”表示第3層。（1）求柱的剪力

例如求第三層柱的剪力，取n-n截面：34FPFPFQ31FQ32FQ33FQ34由上分析得到任意層任意根柱的剪力計算公式：其中：第r層第i根柱子的側(cè)移分配系數(shù)。分子為第r層第i根柱子的線剛度，分母為第r層所有柱子線剛度之和。第r層以上所有外荷載之和。5、近似法（2）求梁的彎矩由于柱的彎矩已求出，梁的彎矩只需在結(jié)點(diǎn)處按梁的線剛度分配柱的彎矩即可。其中：為i結(jié)點(diǎn)處第i根梁的線剛度。為i結(jié)點(diǎn)處所有梁的線剛度之和。5、近似法MZML2ML1【例題11】用反彎點(diǎn)法計算圖示剛架的彎矩，所有桿件的i均相同。

解：（1）求柱的剪力

（2）求柱的彎矩3m10kN12345678910111210kN10kN3m3m（3）求梁的彎矩

5M1215M232M215M32310M454510M5655M54其它梁端彎矩就不再一一列出。5、近似法彎矩圖552.52.5555101510557.57.5105151025151012.51512.5151515152510

首先復(fù)習(xí)一下靜定結(jié)構(gòu)影響線的制作。（1）讓單位力在k點(diǎn)的左側(cè)移動，寫出k點(diǎn)彎矩的影響線方程：

Mk=xb/L（2）讓單位力在k點(diǎn)的右側(cè)移動，寫出k點(diǎn)彎矩的影響線方程：

Mk=xa/L（3）由影響線方程，用描點(diǎn)法畫出影響線。

6、超靜定結(jié)構(gòu)的影響線圖示一簡支梁，要作k點(diǎn)的彎矩影響線，其步驟是：kabLFP=1xkabLFP=1xkab/L

對于超靜定結(jié)構(gòu)的影響線從理論上講，可以完全按靜定結(jié)構(gòu)的方法進(jìn)行。例如：求圖示一次超靜定梁k點(diǎn)的彎矩影響線，其步驟是：kabLFP=1xkabLFP=1x

但是上述寫影響線方程的過程，均需用力法或位移法多次求解超靜定結(jié)構(gòu)，工作量特別大。（1）讓單位力在k點(diǎn)的左側(cè)移動，寫出

k點(diǎn)彎矩的影響線方程；（2）讓單位力在k點(diǎn)的右側(cè)移動，寫出

k點(diǎn)彎矩的影響線方程；（3）由影響線方程用描點(diǎn)法畫出影響線。下面介紹用力法來制作超靜定結(jié)構(gòu)影響線的方法，為此先要建立一個概念：力法的基本體系可以取超靜定的。

圖示一兩次超靜定梁，可以去掉一個約束，取圖示基本體系，它是一次超靜定的。力法方程為：但是求系數(shù)和自由項時，要在基本體系上畫彎矩圖，因此需要解兩遍一次超靜定結(jié)構(gòu)。

6、超靜定結(jié)構(gòu)的影響線4m2mFP=10kNEIEI原結(jié)構(gòu)4m基本體系4m2mFP=10EIEI4mX1

以圖示超靜定連續(xù)梁Mk的影響線為例，說明用力法求作超靜定影響線的方法。（1）取基本體系

去掉與Mk相應(yīng)的

約束，代之以內(nèi)力Xk，即Mk。

6、超靜定結(jié)構(gòu)的影響線原結(jié)構(gòu)FP=1kMk=Xk基本體系FP=1k（2）力法方程

由于荷載是單位力，

因此：——在Xk=1作用下，k點(diǎn)處的相對轉(zhuǎn)角，是常數(shù)。——在Xk=1作用下，F(xiàn)P點(diǎn)處的豎向位移，由于單位力可在

梁上任意移動，因此它是整個梁的繞度，是變量。Xk=1作用下的變形圖Xk=1FP=1基本體系FP=1kMk=Xk

又由位移互等定理：力法方程可寫成：下面分兩部分介紹：（1）繪制超靜定結(jié)構(gòu)影響線的大致圖形；（2）繪制超靜定結(jié)構(gòu)影響線的精確圖形。力法方程：原結(jié)構(gòu)FP=1kXk=1作用下的變形圖Xk=1FP=1由上式可見：與成正比，

即為影響線方程。因此作用下，基本體系產(chǎn)生的繞曲線即為影響線的大致圖形。FP=1EADCB1）繪制超靜定結(jié)構(gòu)影響線的大致圖形FYC影響線大致圖形ABCDEFP=1FFQF影響線大致圖形EFP=1ADCB原結(jié)構(gòu)

FYC=1FQF=1

1）繪制超靜定結(jié)構(gòu)影響線的大致圖形EFP=1ADCB原結(jié)構(gòu)EFP=1ADCBMD影響線大致圖形FQC=1FQC右影響線大致圖形BEFP=1ADCMD=1利用影響線的大致圖形可以進(jìn)行均布移動荷載的最不利布置。EADCBFYC影響線大致圖形FYC=1FP=1ABCFDEFQF=1FP=1FQF影響線大致圖形FYCMAX布置FYCMIN布置FQFMAX布置FQFMIN布置MD=1BEFP=1ADCMD影響線大致圖形MDMIN布置MDMAX布置FP=1EADCBFQC=1FQC右影響線大致圖形F右QCMAX布置F右QCMIN布置

移動均布荷載的最不利荷載分布總結(jié)：（2）跨中截面最大正彎矩對應(yīng)的荷載分布

本跨布置活荷載，然后隔跨布置活荷載?？缰薪孛孀畲筘?fù)彎矩對應(yīng)的荷載分布

本跨不布置活荷載，然后隔跨布置活荷載。（1）支座最大反力對應(yīng)的荷載分布

支座左右兩跨布滿活荷載，然后隔跨布置活荷載。支座最小反力對應(yīng)的荷載分布

支座左右兩跨不布置活載，然后隔跨布置活荷載。（3）支座剪力的布置方法同支座反力2）繪制超靜定結(jié)構(gòu)影響線的精確圖形（1）撤去所求量值的相應(yīng)約束，代之以多余力Xk,得到一個

n-1次超靜定的力法基本體系；步驟如下：（4）由影響線方程畫出影響線圖形。（3）求系數(shù)和自由項（超靜定結(jié)構(gòu)的位移），為此要畫出（n-1次超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖），然后

由圖乘法求出系數(shù)和自由項；（2）建立力法方程，由于只有一個多余力，力法方程為：即為影響線方程；2）繪制超靜定結(jié)構(gòu)影響線的精確圖形下面以一例題來具體說明制作方法和步驟。（1）去掉B點(diǎn)的抗彎聯(lián)

系，得到基本體系

如圖所示。（2）建立力法方程：●

求圖示梁MB的影響線。LLEIEIABCFP=1原結(jié)構(gòu)MB=1基本體系LLEIEIABCFP=1（3）求在圖乘之前，先介紹一下圖乘公式。作出MB

圖、M1圖、MP圖如右所示。MB=1ACMB圖111/2AC11M1圖ACFP=1FP=1xxMP圖x-x2/Lx-x2/LMB

圖與M1圖相乘為

，MB圖MP圖相乘為。一根梁的兩端受有MA、MB時，在A點(diǎn)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角為（圖1與圖2相乘）：

圖乘公式1：

L

EI

A

B

1圖3

L

EI

A

B1圖2

MA

MB

L

EI

A

B圖1

在B點(diǎn)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角為（圖1與圖3相乘）：

圖乘公式2：

一根梁的兩端受有MA、MB時，在任意點(diǎn)x產(chǎn)生的豎向位移為（圖1與圖4相乘）：

圖乘公式3：x-x2/LLAB圖4xFP=1

MA

MB

L

EI

A

B圖1正負(fù)號的確定：彎矩與圖1至圖4相同時取正號，反之取負(fù)號。（3）求

利用圖乘公式求。MB=1ACMB圖111/2AC11M1圖（3）求

利用圖乘公式求。MB=1ACMB圖111/2ACFP=1FP=1xxMP圖x-x2/Lx-x2/LB（4）影響線方程由影響線方程既可畫出影響線。

6、超靜定結(jié)構(gòu)的影響線（1）去掉A點(diǎn)的抗彎聯(lián)

系，得到基本體系

如圖所示。（2）建立力法方程：●

求圖示梁MA的影響線。LLEIEIABCFP=1原結(jié)構(gòu)MA=1基本體系LLEIEIABCFP=1

6、超靜定結(jié)構(gòu)的影響線（3）求作出MA

圖、M1圖、MP圖如右所示。AC1M1圖ACFP=1FP=1xxMP圖x-x2/Lx-x2/LMA

圖與M1圖相乘為

，MA圖MP圖相乘為。MA=1ACMA圖10.25（3）求MB=1ACMA圖10.25AC1M1圖

利用圖乘公式：ACFP=1FP=1xxMP圖x-x2/Lx-x2/L即可求出，繼而求出。（1）