高中數(shù)學北師大版1第一章直線多邊形圓 全國優(yōu)質(zhì)課

學業(yè)分層測評(五)圓的切線的判定和性質(zhì)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標]一、選擇題1.下列說法：①與圓有公共點的直線是圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是圓的切線；③與圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；④過直徑的端點，垂直于此直徑的直線是圓的切線，其中正確的是()A.①② B.②③C.③④ D.①④【解析】由圓的切線的定義知①②不正確，③④正確.【答案】C2.如圖1-2-41，⊙O的半徑為2，點O到直線l的距離為3，點P為直線l上的一個動點，PB切⊙O于點B，則PB的最小值是()圖1-2-41\r(5) \r(3)\r(4) \r(6)【解析】∵PB切⊙O于點B，∴∠OBP＝90°，∴PB2＝OP2－OB2，而OB＝2，∴PB2＝OP2－4，即PB＝eq\r(OP2－4)，當OP最小時，PB最小，∵點O到直線l的距離為3，∴OP的最小值為3，∴PB的最小值為eq\r(9－4)＝eq\r(5).【答案】A3.如圖1-2-42，CD切⊙O于B，CO的延長線交⊙O于A，若∠C＝36°，則∠ABD的度數(shù)是()圖1-2-42° °° °【解析】連接OB.∵CD為⊙O的切線，∴∠OBC＝90°.∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.【答案】B4.如圖1-2-43，AB切⊙O于點B，延長AO交⊙O于點C，連接BC.若∠A＝40°，則∠C＝()圖1-2-43° °° °【解析】連接OB，因為AB切⊙O于點B，所以O(shè)B⊥AB，即∠ABO＝90°，所以∠AOB＝50°.又因為點C在AO的延長線上，且在⊙O上，所以∠C＝eq\f(1,2)∠AOB＝25°.【答案】B5.如圖1-2-44，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C＝90°，AO的延長線交BC于點D，AC＝4，CD＝1，則⊙O的半徑等于()圖1-2-44\f(4,5) \f(5,4)\f(3,4) \f(5,6)【解析】設(shè)⊙O的半徑為r，由O向DC作垂線，垂足為E，則Rt△OED∽Rt△ACD.∴eq\f(OE,ED)＝eq\f(AC,CD)，即eq\f(r,1－r)＝eq\f(4,1)，解得：r＝eq\f(4,5).【答案】A二、填空題6.如圖1-2-45，在半徑分別為5cm和3cm的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點C，則弦AB的長為______________cm.圖1-2-45【解析】連接OA，OC，∵AB是小圓的切線，∴OC⊥AB，∴AC＝eq\f(1,2)AB.∵在Rt△AOC中，AC＝eq\r(52－32)＝4(cm)，∴AB＝8cm.【答案】87.如圖1-2-46所示，AC切⊙O于D，AO的延長線交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，則AO∶OB＝______.【導學號：96990022】圖1-2-46【解析】如圖所示，連接OD，則OD⊥AC.∵AC是⊙O的切線，∴OB＝OD，OC＝OC，∠ODC＝∠OBC＝90°.∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC.∵eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,2)，∴AD＝DC.∴BC＝eq\f(1,2)AC.又OB⊥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝30°.∴OB＝OD＝eq\f(1,2)AO.∴eq\f(AO,OB)＝eq\f(2,1).【答案】2∶18.圓O的直徑AB＝6，C為圓周上一點，BC＝3，過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點D，E，則∠DAC＝__________，DC＝__________.【解析】連接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形.∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.在Rt△ACB中，AC＝eq\r(AB2－BC2)＝3eq\r(3)，DC＝ACsin30°＝eq\f(3,2)eq\r(3).【答案】30°eq\f(3\r(3),2)三、解答題9.如圖1-2-47，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連接OD，且∠AOD＝∠APC.求證：AP是⊙O的切線.圖1-2-47【證明】連接OP.∵PD⊥BE，∴∠OCD＝90°.∴∠ODC＋∠COD＝90°.∵OD＝OP，∴∠ODC＝∠OPC.∵∠AOD＝∠APC，∴∠OPC＋∠APC＝90°.∴∠APO＝90°，即AP⊥PO.∴AP是⊙O的切線.10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm.(1)求△ABC內(nèi)切圓的半徑；(2)若移動圓心O的位置，使⊙O保持與△ABC的邊AC和邊BC都相切，求r的取值范圍.【解】(1)如圖所示，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn).連接OD，OE，OF，OB，則OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝5cm.∵OE＝OD，∠C＝90°，∴四邊形CEOD是正方形.∴CD＝DO.∵OB＝OB，OD＝OF，∠ODB＝∠OFB＝90°，∴△ODB≌△OFB.∴BD＝BF.同理可得，AE＝AF.∴AC＋BC－AB＝AE＋EC＋BD＋DC－AF－BF＝EC＋DC＝2OD.∴內(nèi)切圓的半徑r＝OD＝eq\f(AC＋BC－AB,2)＝eq\f(3＋4－5,2)＝1cm.(2)如圖所示，動⊙O與AC，BC相切的最大的圓與AC，BC的切點分別是A，D，連接OA，OD，則四邊形AODC是正方形，此時應(yīng)有OA＝AC＝3cm，∴動圓的半徑r的范圍為(0,3].能力提升]是⊙O的切線，在下列給出的條件中，能判定AB⊥CD的是()與⊙O相切于直線CD上的點C經(jīng)過圓心O是直徑與⊙O相切于C，CD過圓心O【解析】圓的切線垂直于過切點的半徑或直徑.【答案】D2.已知⊙O的直徑AB與弦AC的夾角為30°，過C點的切線PC與AB的延長線交于P，PC＝5，則⊙O的半徑是()\f(5\r(3),3) \f(5\r(3),6) 【解析】如圖，連接OC，∠PAC＝30°，由圓周角定理知，∠POC＝2∠PAC＝60°，由切線性質(zhì)知∠OCP＝90°.∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝eq\f(PC,OC).∴OC＝eq\f(PC,tan∠POC)＝eq\f(5,tan60°)＝eq\f(5\r(3),3).【答案】A3.如圖1-2-48，AB為⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D，若AB＝BC＝2cm，則CE＝__________，CD＝__________.圖1-2-48【解析】∵BC是⊙O切線，AB為直徑，∴∠ABD＝90°，∵AB＝2.∴OB＝1，又∵BC＝2，∴OC＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5).又∵OE＝1，∴CE＝(eq\r(5)－1)cm，連接BE.不難證明△CED∽△CBE，∴eq\f(CE,CD)＝eq\f(CB,CE)，∴CE2＝CB·CD，∴(eq\r(5)－1)2＝2CD，∴CD＝(3－eq\r(5))cm.【答案】(eq\r(5)－1)cm(3－eq\r(5))cm4.如圖1-2-49，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，CH⊥AB于點H，直線AC與過B點的切線相交于點D，E為CH中點，連接AE并延長交BD于點F，直線CF交AB的延長線于點G.圖1-2-49(1)求證：F是BD的中點；(2)求證：CG是⊙O的切線.【導學號：96990023】【證明】(1)∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF.∴eq\f(EH,BF)＝eq\f(AE