第二章地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，是指地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持的一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系的經(jīng)緯網(wǎng)、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點(diǎn)、比例尺等數(shù)學(xué)要素。

§1地球體

§2地球坐標(biāo)系與大地定位

§3地圖投影

§4地圖投影的應(yīng)用

§5方位投影§6圓錐投影§7圓柱投影§8地圖投影的判斷和選擇第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)§1地球體1.1地球的自然表面

§1地球體珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。1.1地球的自然表面

事實(shí)是：地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長(zhǎng)，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體?！?地球體當(dāng)海洋靜止時(shí)，自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向（鉛垂線）成正交，這個(gè)面叫水準(zhǔn)面。

在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個(gè)與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過(guò)大陸、島嶼形成一個(gè)閉合曲面，這就是大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。1.2地球的物理表面§1地球體§1地球體1.2地球的物理表面大地水準(zhǔn)面的意義1.地球形體的一級(jí)逼近：對(duì)地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少相當(dāng)。2.起伏波動(dòng)在制圖學(xué)中可忽略：

對(duì)大地測(cè)量和地球物理學(xué)有研究?jī)r(jià)值，但在制圖業(yè)務(wù)中，均把地球當(dāng)作正球體。3.重力等位面：可使用儀器測(cè)得海拔高程（某點(diǎn)到大地水準(zhǔn)面的高度）。

它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對(duì)地球形體的二級(jí)逼近，用于測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。§1地球體1.3地球的數(shù)學(xué)表面在測(cè)量和制圖中就用旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)代替大地球體，這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為

地球橢球體，簡(jiǎn)稱

橢球體。EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter（赤道直徑）=12756.3km

polardiameter（極性直徑）=12713.5km

equatorialcircumference

（赤道周長(zhǎng)）=40075.1km

surfacearea（地表面積）=510064500km2§1地球體1.3地球的數(shù)學(xué)表面橢球體

三要素:長(zhǎng)軸a（赤道半徑）短軸b（極半徑）橢球的扁率f

a-b6378137-6356752.3f=——=——————————

a63781371—=298.257f對(duì)a，b，f

的具體測(cè)定就是近代大地測(cè)量的一項(xiàng)重要工作?！?地球體1.3地球的數(shù)學(xué)表面EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorab§1地球體1.3地球的數(shù)學(xué)表面對(duì)地球形狀

a，b，f測(cè)定后，還必須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體——參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。通過(guò)數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上，并求出兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三級(jí)逼近。§1地球體1.3地球的數(shù)學(xué)表面由于國(guó)際上在推求年代、方法及測(cè)定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種?！?地球體1.3地球的數(shù)學(xué)表面

中國(guó)1952年前采用海福特（Hayford）橢球體；1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)）；

自1980年開(kāi)始采用

GRS1975（國(guó)際大地測(cè)量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì)IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)—大地原點(diǎn)?！?地球坐標(biāo)系與大地定位§2地球坐標(biāo)系與大地定位地球表面上的定位問(wèn)題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國(guó)防等密切相關(guān)的重大問(wèn)題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度③地心經(jīng)緯度2.1地理坐標(biāo)

——用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。圖2.4天文地理坐標(biāo)系天文經(jīng)度

：觀測(cè)點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角

。

在地球上定義為本初子午面與觀測(cè)點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度l

：地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。§2地球坐標(biāo)系與大地定位①天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。2.1地理坐標(biāo)

大地經(jīng)度l

：參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度

：參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.1地理坐標(biāo)

②大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l

、大地緯度

和大地高h(yuǎn)表示。在地圖學(xué)中，以大地經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。在大地測(cè)量學(xué)中，常以天文經(jīng)緯度定義地理坐標(biāo)。§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.1地理坐標(biāo)

在地理學(xué)研究及地圖學(xué)的小比例尺制圖中，通常將橢球體當(dāng)成正球體看，采用地心經(jīng)緯度。③地心經(jīng)緯度：即以地球橢球體質(zhì)量中心為基點(diǎn)，地心經(jīng)度同大地經(jīng)度l

，地心緯度是指參考橢球面上某點(diǎn)和橢球中心連線與赤道面之間的夾角y

。①②③cICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.257§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.1中國(guó)的大地坐標(biāo)系1980年以前：參見(jiàn)電子教案本章第十三頁(yè)；1980年選用1975年國(guó)際大地測(cè)量協(xié)會(huì)推薦的參考橢球：§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.1中國(guó)的大地坐標(biāo)系由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布全國(guó)各地?！?地球坐標(biāo)系與大地定位平面控制網(wǎng)：按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測(cè)定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測(cè)量或?qū)Ь€測(cè)量完成，依精度不同，分為四等。2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.1中國(guó)的大地坐標(biāo)系§2地球坐標(biāo)系與大地定位三角測(cè)量：在全國(guó)范圍內(nèi)將控制點(diǎn)組成一系列的三角形，通過(guò)測(cè)定所有三角形的內(nèi)角，推算出各控制點(diǎn)的坐標(biāo)。2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.1中國(guó)的大地坐標(biāo)系等級(jí)邊長(zhǎng)分布密度分布方向一等三角鎖20－25km鎖與鎖間距200km沿經(jīng)緯線分布二等三角網(wǎng)13km150km2有一控制點(diǎn)（1：10萬(wàn)，1：5萬(wàn)》3點(diǎn)）在一等加密三等三角網(wǎng)8km50km2有一控制點(diǎn)（1：5萬(wàn)2－3點(diǎn)）在二等加密四等三角網(wǎng)4km20km2有一控制點(diǎn)（1：1萬(wàn)－2點(diǎn)）在三等加密導(dǎo)線測(cè)量：把各個(gè)控制點(diǎn)連接成連續(xù)的折線，然后測(cè)定這些折線的邊長(zhǎng)和轉(zhuǎn)角，最后根據(jù)起算點(diǎn)的坐標(biāo)和方位角推算其他各點(diǎn)坐標(biāo)。包括閉合導(dǎo)線、附合導(dǎo)線。布設(shè)原則：由高級(jí)到低級(jí)，由整體到局部，步步有檢核?！?地球坐標(biāo)系與大地定位2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.1中國(guó)的大地坐標(biāo)系§2地球坐標(biāo)系與大地定位國(guó)家測(cè)繪局青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)§2地球坐標(biāo)系與大地定位

中國(guó)高程起算面是黃海平均海水面。

1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對(duì)高程均是據(jù)此推算，稱為1956年黃海高程系。2.2.2中國(guó)的大地控制網(wǎng)高程控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測(cè)定高程的地面點(diǎn)組成，是全國(guó)測(cè)定其他所有地面點(diǎn)高程的控制基礎(chǔ)。2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)國(guó)家水準(zhǔn)原點(diǎn)§2地球坐標(biāo)系與大地定位絕對(duì)高程相對(duì)高程國(guó)家測(cè)繪局§2地球坐標(biāo)系與大地定位國(guó)家測(cè)繪局abhABh水準(zhǔn)測(cè)量示意三角高程示意H1H2ABhH1Saa§2地球坐標(biāo)系與大地定位1987年國(guó)家測(cè)繪局公布：?jiǎn)⒂谩?985國(guó)家高程基準(zhǔn)”取代“黃海平均海水面”，其比“黃海平均海水面”上升29毫米。

2.2.2中國(guó)的大地控制網(wǎng)2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)§2地球坐標(biāo)系與大地定位國(guó)家測(cè)繪局§2地球坐標(biāo)系與大地定位2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)–GPS（自學(xué)）授時(shí)與測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位、定時(shí)及導(dǎo)航服務(wù)。

§2地球坐標(biāo)系與大地定位GPS控制網(wǎng)國(guó)家測(cè)繪局空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星（白色）。它們?cè)诟叨?0200km的近圓形軌道上運(yùn)行，分布在六個(gè)軌道面上，軌道傾角55°，兩個(gè)軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個(gè)軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點(diǎn)，任意時(shí)刻，至少同時(shí)可見(jiàn)到四顆衛(wèi)星。§2地球坐標(biāo)系與大地定位（1）GPS系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分組成2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS§2地球坐標(biāo)系與大地定位（1）GPS系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分組成2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS地面支撐系統(tǒng)：1個(gè)主控站，3個(gè)注入站，5個(gè)監(jiān)測(cè)站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時(shí)間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。用戶設(shè)備部分：GPS接收機(jī)——接收衛(wèi)星信號(hào)，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會(huì)顯示出用戶的位置、速度和時(shí)間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。

§2地球坐標(biāo)系與大地定位（1）GPS系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分組成2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS

§2地球坐標(biāo)系與大地定位（2）GPS系統(tǒng)定位原理2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS通過(guò)測(cè)量衛(wèi)星信號(hào)到達(dá)接收機(jī)的時(shí)間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標(biāo)中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，組成3個(gè)方程式，就可以解出觀測(cè)點(diǎn)的位置（X,Y,Z）。考慮到衛(wèi)星的時(shí)鐘與接收機(jī)時(shí)鐘之間的誤差，實(shí)際上有4個(gè)未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個(gè)方程式以求解，從而得到觀測(cè)點(diǎn)經(jīng)緯度和高程。常規(guī)靜態(tài)測(cè)量：采用兩臺(tái)(或兩臺(tái)以上)GPS接收機(jī)，分別安置在一條或數(shù)條基線的兩端，同步觀測(cè)4顆以上衛(wèi)星，每時(shí)段根據(jù)基線長(zhǎng)度和測(cè)量等級(jí)觀測(cè)45分鐘以上的時(shí)間。常用于建立全球性或國(guó)家級(jí)大地控制網(wǎng)、地殼運(yùn)動(dòng)監(jiān)測(cè)網(wǎng)。

快速靜態(tài)測(cè)量：這種模式是在一個(gè)已知測(cè)站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)依次到各待測(cè)測(cè)站，每測(cè)站觀測(cè)數(shù)分鐘。這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測(cè)量、地籍測(cè)量等。這種方法要求在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測(cè)；流動(dòng)點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過(guò)20km。靜態(tài)測(cè)量模式§2地球坐標(biāo)系與大地定位（3）常用GPS測(cè)量模式2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS準(zhǔn)動(dòng)態(tài)測(cè)量：在一已知測(cè)站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)在進(jìn)行初始化后依次到各待測(cè)測(cè)站，每測(cè)站觀測(cè)幾個(gè)歷元數(shù)據(jù)。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測(cè)時(shí)間不一樣外，它要求移動(dòng)站在搬站過(guò)程中不能失鎖，并且需要先在已知點(diǎn)或用其它方式進(jìn)行初始化（采用有OTF功能的軟件處理時(shí)例外）。

這種模式可用于開(kāi)闊地區(qū)的加密控制測(cè)量、工程定位及碎部測(cè)量、剖面測(cè)量及線路測(cè)量等。要求在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測(cè)；流動(dòng)點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過(guò)20km。§2地球坐標(biāo)系與大地定位動(dòng)態(tài)測(cè)量模式（3）常用GPS測(cè)量模式

§2地球坐標(biāo)系與大地定位實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)測(cè)量：DGPS和RTK

在一個(gè)已知測(cè)站上架設(shè)GPS基準(zhǔn)站接收機(jī)和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星，并通過(guò)數(shù)據(jù)鏈向移動(dòng)站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動(dòng)站接收機(jī)通過(guò)移動(dòng)站數(shù)據(jù)鏈接收基準(zhǔn)站發(fā)射來(lái)的數(shù)據(jù)，并在機(jī)進(jìn)行處理，從而實(shí)時(shí)得到移動(dòng)站的高精度位置。

2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS動(dòng)態(tài)測(cè)量模式（3）常用GPS測(cè)量模式

§2地球坐標(biāo)系與大地定位

DGPS通常叫做實(shí)時(shí)差分測(cè)量，精度為亞米級(jí)到米級(jí)，這種方式是基準(zhǔn)站將基準(zhǔn)站上測(cè)量得到的RTCM數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿?dòng)站，移動(dòng)站接收到RTCM數(shù)據(jù)后，自動(dòng)進(jìn)行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標(biāo)。

RTK

則是以載波相位觀測(cè)量為根據(jù)的實(shí)時(shí)差分GPS測(cè)量，它是GPS測(cè)量技術(shù)發(fā)展中的一個(gè)新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過(guò)是基準(zhǔn)站將觀測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)送到移動(dòng)站（而不是發(fā)射RTCM數(shù)據(jù)），移動(dòng)站接收機(jī)再采用更先進(jìn)的在機(jī)處理方法進(jìn)行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實(shí)時(shí)測(cè)量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。2.2中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)2.2.3全球定位系統(tǒng)-GPS動(dòng)態(tài)測(cè)量模式（3）常用GPS測(cè)量模式§3地圖投影

地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過(guò)由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。

地圖投影：在地球橢球面和平面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)之間函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，稱為地圖投影。

地圖投影的實(shí)質(zhì)：是將地球橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上。x=f1(j,l)y=f2(j

,l)§3地圖投影3.1地圖投影的意義§3地圖投影3.1地圖投影的意義地圖比例尺：地圖上一直線段長(zhǎng)度與地面相應(yīng)直線水平投影長(zhǎng)度之比?？杀磉_(dá)為（d為圖上距離，D為實(shí)地距離）。根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺：

在投影面上沒(méi)有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。局部比例尺：

在投影面上有變形處的比例尺。

3.2地圖的比例尺§3地圖投影3.2.1地圖比例尺的含義★

主比例尺和局部比例尺

地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運(yùn)用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時(shí)，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬(wàn)地圖，首先將地球縮小100萬(wàn)倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬(wàn)就是地圖的主比例尺。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒(méi)有變形的點(diǎn)或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。注意長(zhǎng)度比、長(zhǎng)度變形與地圖比例尺的區(qū)別?！锏茸冃尉€在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來(lái)表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等各點(diǎn)的連線。它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點(diǎn)無(wú)變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。①數(shù)字式比例尺

如1:10000②文字式比例尺

如一萬(wàn)分之一③圖解式比例尺

直線比例尺斜分比例尺復(fù)式比例尺④特殊比例尺

變比例尺無(wú)級(jí)別比例尺§3地圖投影

3.2地圖的比例尺3.2.2地圖比例尺的表示斜分比例尺也稱微分比例尺，是依據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺。使量測(cè)精度達(dá)到三位數(shù)?！?地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念地球儀上經(jīng)緯網(wǎng)及其構(gòu)成的球面梯形，其長(zhǎng)度、角度及面積的特點(diǎn)：長(zhǎng)度特征：1.所有緯線長(zhǎng)度不等，赤道最長(zhǎng)，緯度越高其長(zhǎng)度越短，到極地成為一點(diǎn)。2.同一條緯線上經(jīng)差相等的緯線弧長(zhǎng)相等。在不同的緯線上，經(jīng)差相等的緯線弧長(zhǎng)不等，由赤道向兩極遞減。3.所有經(jīng)線都是通過(guò)兩極的大圓且長(zhǎng)度相等。4.同一經(jīng)線上，緯差相等的經(jīng)線弧長(zhǎng)相等（正球體上完全相等，橢球體上由赤道向兩極逐漸增長(zhǎng)）。

在長(zhǎng)度、面積、角度三個(gè)方面，赤道變形最小，兩極變形最大。§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念

球面面積特征：1.同一緯度帶內(nèi)，經(jīng)差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積相等。2.同一經(jīng)度帶內(nèi)，緯差相同的經(jīng)緯線網(wǎng)格面積不等，緯度越高，梯形面積越小（由低緯向高緯逐漸縮?。?。§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念O§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念把地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)變形表現(xiàn)在長(zhǎng)度、面積和角度三個(gè)方面?！?地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.1投影變形的概念

§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.2變形橢圓取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓，通過(guò)對(duì)這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為緯線長(zhǎng)度比為經(jīng)線長(zhǎng)度比微小圓→變形橢圓該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓，即：以O(shè)'為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。代入圓方程：X2+Y2=1，得§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.2變形橢圓長(zhǎng)軸方向（極大值）a短軸方向（極小值）b經(jīng)線方向m；緯線方向n統(tǒng)稱主方向據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.2變形橢圓特別方向：變形橢圓上相互垂直的兩個(gè)方向即經(jīng)向和緯向KKLOθabmn有:m2+n2=a2+b2m·n·sinq=a·b返回阿波隆尼定理(Apollonius):

橢圓內(nèi)兩共軛半徑的平方和等于其長(zhǎng)短半徑的平方和；兩個(gè)共軛半徑與它們的交角正弦的乘積等于其長(zhǎng)短半徑的乘積。

橢圓內(nèi)任一條直徑

d的平行弦中點(diǎn)在橢圓內(nèi)的軌跡形成另一直徑

d′，則d′稱為

d的共軛直徑。長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲?。

m表示長(zhǎng)度比，Vm表示長(zhǎng)度變形

長(zhǎng)度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.3投影變形的性質(zhì)和大小面積比和面積變形：投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比Vp

表示面積變形

P=a·b=m·n(q=90)

P=m·n·sinq(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.3投影變形的性質(zhì)和大小§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.3投影變形的性質(zhì)和大小角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A′點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′、y′)，則將上式兩邊各減和加

tana

即：將兩式相除，得：§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.3投影變形的性質(zhì)和大小§3地圖投影

3.3地圖投影變形3.3.3投影變形的性質(zhì)和大小以w表示角度最大變形：若已知經(jīng)線長(zhǎng)度比m,緯線長(zhǎng)度比n,經(jīng)緯線夾角q

，則：

顯然當(dāng)（a+a′）=90°時(shí)，右端取最大值，則最大方向變形：正軸心射方位投影§3地圖投影

3.4地圖投影方法3.4.1幾何投影法地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把橢球面直接透視到平面上，或透視到可展開(kāi)的曲面上，如平面、圓柱面和圓錐面。NO§3地圖投影X=r

s-

r

cosδY=r

sind

3.4地圖投影方法——以正軸圓錐投影為例經(jīng)線投影為放射直線，經(jīng)差l與投影面上d成正比：d=a

·l（a

為圓錐系數(shù)，0<a

<1）。緯線投影為同心圓弧，其半徑r

是緯度

的函數(shù)，r

=

f（）。圓錐投影的一般公式為：r

=f()

d

=a·l3.4.2數(shù)學(xué)解析法等角投影條件：ω=0，m=n，構(gòu)成經(jīng)移項(xiàng)、積分、整理得：§3地圖投影A'D'Rdl

cosjnADrdd==§3地圖投影

3.5地圖投影分類3.5.1按光源分類透視光源非透視光源平射、心射、外射、正射

§3地圖投影

3.5地圖投影分類3.5.2數(shù)學(xué)解析法按地圖投影的構(gòu)成方法分類（1）幾何投影:將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。圓柱投影:以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

圓錐投影:以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成?！?地圖投影ＡＢＣ§3地圖投影（2）非幾何投影：

根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。

偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。

偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無(wú)等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。

3.5地圖投影分類3.5.2數(shù)學(xué)解析法按地圖投影的構(gòu)成方法分類§3地圖投影

偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無(wú)等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。

多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開(kāi)展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。

3.5地圖投影分類3.5.2數(shù)學(xué)解析法按地圖投影的構(gòu)成方法分類§3地圖投影ＡＢＣＤ§3地圖投影

等角投影:

投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

等積投影:

投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等，即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:

投影圖上，長(zhǎng)度、面積和角度都有變形，它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形的任意投影（m=1）?！?地圖投影

3.5地圖投影分類3.5.3按地圖投影的變形性質(zhì)分類§3地圖投影

3.5地圖投影分類3.5.3按地圖投影的變形性質(zhì)分類§3地圖投影

3.5地圖投影分類3.5.3按地圖投影的變形性質(zhì)分類①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。

③任意投影不能保持等積、等角特性。關(guān)系：§3地圖投影

3.6地圖投影變換3.6.1傳統(tǒng)地圖的投影變換格網(wǎng)轉(zhuǎn)繪法藍(lán)圖嵌貼法3.6.2數(shù)字地圖的投影變換具體變換過(guò)程：（1）用數(shù)字化儀將原始投影的地圖資料變成數(shù)字資料；（2）輸入計(jì)算機(jī)的數(shù)字資料，按一定的數(shù)學(xué)方法進(jìn)行投影坐標(biāo)變換；（3）將變換后的數(shù)字資料用繪圖儀輸出成新投影的圖形?！?地圖投影

3.6地圖投影變換3.6.2數(shù)字地圖的投影變換投影變換的一般公式：X=f1(x,y)Y=f2(x,y)定域內(nèi)單值、連續(xù)

x=f1(,l

)y=f2(,l

)A投影 B投影反解代入B=(x,y)l

=l(x,y)X=1[(x,y),l(x,y)]

Y=2[(x,y),l(x,y)]§3地圖投影

3.6地圖投影變換3.6.2數(shù)字地圖的投影變換X=Φ1(,l

)Y=Φ2(,l

)系數(shù)

aij，bij

可用多個(gè)已知坐標(biāo)點(diǎn)求出。X=a00+

a10x+a20x2

+a01y

+a11xy

+a02y2

+a30x3

+a21x2y

+a12xy2

+a03y3+…

Y=b00+

b10x

+b20x2

+b01y

+b11xy

+b02y2

+b30x3

+b21x2y

+b12xy2

+b03y3+…

§3地圖投影

3.6地圖投影變換3.6.2數(shù)字地圖的投影變換如不知地圖的投影系統(tǒng)，可通過(guò)多項(xiàng)式實(shí)施變換：

x=rk

lnU,y=rkl

y

U=e

n,l=—

rk

x(n=—)

rkr

=K/U2

X=r

s-

r

cosδd

=a

l

Y=r

sind

rk等角圓柱投影標(biāo)準(zhǔn)緯線jk的半徑，U為等量緯度。K為積分常數(shù)，a為圓錐系數(shù)?！?地圖投影

3.6地圖投影變換3.6.2數(shù)字地圖的投影變換根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例等角圓柱投影→等角圓錐投影x=s

y=rkl

yl=—

rk

y

X=r

s-

(C-s)cos(a·—)rk

yY=(C–s)

sin(a·—)

rkC

為積分常數(shù)，s

為緯度的經(jīng)線弧長(zhǎng)r

=

C-s

d

=a

l§3地圖投影

3.6地圖投影變換3.6.2數(shù)字地圖的投影變換根據(jù)投影方程進(jìn)行變換的實(shí)例等距圓柱投影→等距圓錐投影X=r

s-

r

cosdY=r

sind

§4地圖投影的應(yīng)用

§4地圖投影的應(yīng)用4.1地圖投影的選擇依據(jù)4.1.1制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置4.1.2制圖比例尺4.1.3地圖的內(nèi)容4.1.4出版方式制圖區(qū)域的地理位置決定投影種類制圖區(qū)域的形狀直接制約投影選擇制圖區(qū)域的范圍大小影響投影選擇4.1地圖投影的選擇依據(jù)4.1.1制圖區(qū)域的范圍、形狀和地理位置§4地圖投影的應(yīng)用不同比例尺地圖對(duì)精度要求不同，投影亦不同。4.1地圖投影的選擇依據(jù)4.1.2制圖比例尺大比例尺地形圖，對(duì)精度要求高，宜采用變形小的投影，如分帶投影。中、小比例尺地圖范圍大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等積、任意投影的多種選擇?！?地圖投影的應(yīng)用主題和內(nèi)容不同，對(duì)投影的要求也不同。要求方向正確，應(yīng)選擇等角投影。要求面積對(duì)比正確，應(yīng)選擇等積投影。教學(xué)或一般參考圖，要求各方面變形都不大，則應(yīng)選擇任意投影。4.1地圖投影的選擇依據(jù)4.1.3地圖的內(nèi)容§4地圖投影的應(yīng)用單幅圖系列圖地圖集4.1地圖投影的選擇依據(jù)4.1.4出版方式§4地圖投影的應(yīng)用4.2地形圖投影4.2.1高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）以橢圓柱為投影面，使地球橢球體的某一經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。由德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家高斯（C.F.Gauss，1777—1855）及大地測(cè)量學(xué)家克呂格（J.Krüger，1857—1923）共同創(chuàng)建?！?地圖投影的應(yīng)用4.2地形圖投影§4地圖投影的應(yīng)用此投影無(wú)角度變形，中央經(jīng)線無(wú)長(zhǎng)度變形。為保證精度，采用分帶投影方法：

經(jīng)差

6°或3°分帶，長(zhǎng)度變形

<0.14%4.2.1高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）4.2地形圖投影§4地圖投影的應(yīng)用4.2.1高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）4.2地形圖投影中國(guó)國(guó)家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格6°分帶投影：

1∶1萬(wàn)（3°分帶）

1∶2.5萬(wàn)、1∶5萬(wàn)、1∶10萬(wàn)、1∶25萬(wàn)、1∶50萬(wàn)?！?地圖投影的應(yīng)用4.2.1高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）高斯-克呂格直角坐標(biāo)yA=245863.7myB

=-168474.8myA通=20745863.7myB通=20331525.2m4.2地形圖投影§4地圖投影的應(yīng)用4.2.1高斯-克呂格投影（等角橫切橢圓柱投影）4.2地形圖投影4.2.2通用橫軸墨卡托投影——UTM投影以橫軸橢圓柱面割于地球橢球體的兩條等高圈，按等角條件，將中央經(jīng)線兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將其展成平面而得。又稱UniversalTransverseMercator——

UTM投影。此投影無(wú)角度變形，中央經(jīng)線長(zhǎng)度比為0.9996，距中央經(jīng)線約±180km處的兩條割線上無(wú)變形。亦采用分帶投影方法：經(jīng)差6°或3°分帶。長(zhǎng)度變形<0.04%§4地圖投影的應(yīng)用35′35′4.2.3百萬(wàn)分一地形圖投影中國(guó)《1∶100萬(wàn)地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定采用邊緯線與中緯線長(zhǎng)度變形絕對(duì)值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長(zhǎng)度變形最大值:±0.03%面積變形最大值:±0.06%4.2地形圖投影新編國(guó)際百萬(wàn)分一地圖采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，自赤道起按緯差4°分帶，北緯84°以北和南緯80°以南采用等角方位投影?！?地圖投影的應(yīng)用4.3區(qū)域圖投影4.3.1方位投影正軸方位投影正軸等角方位投影正軸等距方位投影橫軸和斜軸方位投影§4地圖投影的應(yīng)用4.3區(qū)域圖投影4.3.2圓錐投影以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成?！?地圖投影的應(yīng)用4.3區(qū)域圖投影4.3.2圓錐投影正軸圓錐投影

經(jīng)線:投影為放射直線，經(jīng)差

l與投影面上

d

成正比：d=Cl（C為常數(shù)）。

緯線:投影為同心圓弧，其半徑

r

是緯度

的函數(shù)，r

=f（）

圓錐投影的各種變形均是緯度

的函數(shù)，與經(jīng)度

l無(wú)關(guān)。適于制作中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖§4地圖投影的應(yīng)用等角割圓錐投影條件：

w=0;

m=n;n1=n2=1相割緯線：

1=25°；

2=45°4.3區(qū)域圖投影4.3.2圓錐投影§4地圖投影的應(yīng)用4.3區(qū)域圖投影4.3.2圓錐投影等積割圓錐投影條件：P=mn=1;n1=n2=1

多用于要求面積對(duì)比正確的圖種，如分布圖、類型圖、區(qū)劃圖如1:800萬(wàn)，1:600萬(wàn)，1:400萬(wàn)《中華人民共和國(guó)地圖》采用了(1=25°；2=47°)的該投影。等距割圓錐投影條件：m=1;n1=n2=1

原蘇聯(lián)出版的蘇聯(lián)全圖，采用(1=47°；2=62°)的該投影。§4地圖投影的應(yīng)用緯線長(zhǎng)度比

n=1，同心圓弧中央經(jīng)線

m0=1，其他經(jīng)線為對(duì)稱m0的曲線常用于編制中緯度地區(qū)小比例區(qū)域圖4.3區(qū)域圖投影4.3.3偽圓錐投影由法國(guó)彭納（R.Bonne）在圓錐投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀設(shè)計(jì)而成，故又稱彭納投影?！?地圖投影的應(yīng)用4.4世界地圖投影主要類型：多圓錐投影、圓柱投影和偽圓柱投影具體方案：

等差分緯線多圓錐投影正切差分緯線多圓錐投影墨卡托（Mercator）投影摩爾威特（Mollweide）投影古德（Goode）投影§4地圖投影的應(yīng)用4.4世界地圖投影4.4.1多圓錐投影假設(shè)更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開(kāi)展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。§4地圖投影的應(yīng)用普通多圓錐投影（1820年美國(guó)Hasslar所創(chuàng)）m0=1n=1m>1任意投影適于南北方向延伸地區(qū)地圖4.4世界地圖投影§4地圖投影的應(yīng)用4.4.1多圓錐投影將整個(gè)地球按一定經(jīng)差分為若干帶，每帶中央經(jīng)線投影為直線，各帶在赤道相接。用于制作地球儀。4.4世界地圖投影普通多圓錐分帶投影圖§4地圖投影的應(yīng)用4.4.1多圓錐投影中國(guó)地圖出版社1963年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。4.4世界地圖投影等差分緯線多圓錐投影§4地圖投影的應(yīng)用4.4.1多圓錐投影角度變形中國(guó)地圖出版社1963年設(shè)計(jì)，其經(jīng)線間隔隨距中央經(jīng)線距離的增大而呈等差遞減，屬任意投影。4.4世界地圖投影等差分緯線多圓錐投影§4地圖投影的應(yīng)用4.4.1多圓錐投影面積變形4.4世界地圖投影§4地圖投影的應(yīng)用4.4.1多圓錐投影這種投影的變形性質(zhì)屬任意投影。我國(guó)絕大部分地區(qū)的面積變形在10%以內(nèi)，面積比等于1的等變形線自東向西橫貫我國(guó)中部，中央經(jīng)線和緯線44度的交點(diǎn)處沒(méi)有角度變形。我國(guó)境內(nèi)絕大部分