第二章 隨機(jī)過程的基本概念與分類

StochasticProcessesCollegeofScience,HohaiUniversity第二章隨機(jī)過程的基本概念及分類引例例1用X(t)表示某手機(jī)在大年初一早上從8:00開始經(jīng)過t時(shí)刻收到的短信數(shù)。例2顧客來到服務(wù)站要求服務(wù)，當(dāng)服務(wù)站中的服務(wù)員都正在為別的顧客服務(wù)時(shí)，來到的顧客就要排隊(duì)等待服務(wù)。由于顧客的來到時(shí)間一般是隨機(jī)的，每個(gè)顧客所需要的服務(wù)時(shí)間一般也是隨機(jī)的，令X(t)表示t時(shí)刻的隊(duì)長(服務(wù)的顧客加等待的顧客)，Y(t)表示為t時(shí)刻來到的顧客所需要等待的時(shí)間。例3用X(t)表示南京下關(guān)某處t日早上8:00的水位高度。例4設(shè)質(zhì)點(diǎn)Q在一直線上移動(dòng)，每單位時(shí)間移動(dòng)一次，且只能在整數(shù)點(diǎn)上移動(dòng)。用X(t)表示t時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所處的位置。例5

VerticalDensityProfile(VDP)

Manufacturersofengineeredwoodboards,whichincludeparticleboardandmediumdensityfiberboard,areveryconcernedaboutthedensitypropertiesoftheboardbecausetheydetermineitsmachinability.Thedensityismeasuredusingaprofilometerthatusesalaserdevicetotakemeasurementsatfixeddepthsacrossthethicknessoftheboard.Themeasurementsonasampleformtheverticaldensityprofile(VDP)oftheboard.ThisVDPconsistsof314measurementstaken0.002inchesapart.24profilesareshowninFigure.24profilesinVerticalDensityProfile(VDP)隨機(jī)過程的定義(,F,P)為一概率空間，T(,+)為參數(shù)集。若對任一tT，有一個(gè)定義在(,F,P)隨機(jī)變量X(t,)(或Xt()),,與之對應(yīng),則稱{X(t,),tT}為隨機(jī)過程(StochasticProcesses)。簡記{X(t),tT}(或{Xt,tT})(s.p.)。隨機(jī)過程的值域E(狀態(tài)空間)：隨機(jī)過程{X(t),tT}的可能取值范圍。隨機(jī)過程的狀態(tài)：E中的元素?；蛘?/p>

X(t,)是一個(gè)二元函數(shù)：固定t，X(t,)是一個(gè)隨機(jī)變量；(隨機(jī)過程在t時(shí)刻的狀態(tài))固定，X(t,)是一個(gè)實(shí)值函數(shù)；(隨機(jī)過程的樣本函數(shù)或樣本曲線、現(xiàn)實(shí)或軌道)隨機(jī)過程的有限維分布函數(shù)族{X(t),tT}是一個(gè)隨機(jī)過程，t1T，X(t1)是r.v.，它的分布函數(shù)記作F(x1;t1)=P{X(t1)x1},稱為隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)。若存在二元非負(fù)可積函數(shù)f(x1;t1)滿足f(x1;t1)----s.p.X(t)的一維密度函數(shù)。t1,t2T，{X(t1),X(t2)}是二維r.v.若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x1,x2;t1,t2)滿足f(x1,x2;t1,t2)----s.p.X(t)的二維密度函數(shù)。F(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)x1,X(t2)x2},稱為s.p.X(t)的二維分布函數(shù)。一般地,t1,t2,,tnT，若存在非負(fù)可積函數(shù)f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)滿足f(x1,,xn;t1,,

tn)----s.p.X(t)的n維密度函數(shù)。F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)=

P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn)xn},稱為s.p.X(t)的n維分布函數(shù)。{F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}稱為s.p.X(t)的有限(窮)維分布函數(shù)族。{f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}稱為s.p.X(t)的有限(窮)維密度函數(shù)族。例

s.p.X(t)=A+Bt,t

0,其中A和B是獨(dú)立的r.v.,分別服從正態(tài)分布N(0,1)。求X(t)的一維和二維分布。有限維分布函數(shù)族的性質(zhì)(1)對稱性對(1,2,,n)的任意一種排列(j1,j2,,jn),有(2)相容性對m<n,有例

s.p.X(t)=Acost,<t<

,其中A為r.v.,具有分布律求(1)一維分布函數(shù)F(x;/4),F(x;/2)；(2)二維分布函數(shù)F(x1,x2;0,/3)。隨機(jī)過程的數(shù)字特征1均值函數(shù)和方差{X(t),tT}是一個(gè)隨機(jī)過程,tT,X(t)是r.v.E(X(t))=m(t)----s.p.X(t)的均值函數(shù)(期望函數(shù))X(t)為離散型,且分布律為P{X(t)=xi},則X(t)為連續(xù)型,且密度為f(x;t),則D(X(t))=D(t)=E{[X(t)m(t)]2}----s.p.X(t)的方差函數(shù)X(t)為離散型,且分布律為P{X(t)=xi},則X(t)為連續(xù)型,且密度為f(x;t),則----s.p.X(t)的標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)=E{[X(t)]2}

m2(t)2(t)=E{[X(t)]2}----s.p.X(t)的均方值函數(shù)2協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù){X(t),tT}是一個(gè)隨機(jī)過程t1,t2T，X(t1),X(t2)是二個(gè)r.v.C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2))----s.p.X(t)的自協(xié)方差函數(shù)(簡稱協(xié)方差函數(shù))=E[X(t1)X(t2)]m(t1)m(t2)D(t)=C(t,t)=Cov(X(t),X(t))特別C(t1,t2)=E{[X(t1)m(t1)][X(t2)m(t2)]}R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]----s.p.X(t)的(自)相關(guān)函數(shù)C(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]E[X(t1)]E[X(t2)]=R(t1,t2)m(t1)m(t2)當(dāng)m(t)=0時(shí)C(t1,t2)

=R(t1,t2)易有R(t2,t1)

=R(t1,t2)----對稱性例隨機(jī)相位正弦波

X(t)=acos(0t+)

,<t<+其中a和0是正常數(shù),r.v.~U[0,2]。求X(t)的期望、方差和相關(guān)函數(shù)。例

s.p.X(t)總共只有兩條樣本曲線X(t,1)=acost，X(t,2)=acost

其中常數(shù)a>0,且P{1}=2/3,P{2}=1/3。求X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。兩個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)字特征{X(t),tT},{Y(t),tT}是二個(gè)隨機(jī)過程,稱{(X(t),Y(t))T,tT}為二維隨機(jī)過程。為m+n維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為稱為二維s.p.{(X(t),Y(t))T,tT}的m+n維聯(lián)合分布函數(shù)。令yi+,i=1,,m,可得(X(t1),X(t2),,X(tn))T的n維分布函數(shù)。同理,令xi+,i=1,,n,可得(Y(t’1),Y(t’2),,Y(t’m))T的m維分布函數(shù)。記----X(t)與Y(t)相互獨(dú)立{X(t),tT},{Y(t),tT}是二個(gè)隨機(jī)過程E(X(t))=mX(t);E(Y(t))=mY(t)CXY(t1,t2)=Cov(X(t1),Y(t2))=E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)CXY(t1,t2)=E{[X(t1)mX(t1)][Y(t2)mY(t2)]}----s.p.X(t)與Y(t)的互協(xié)方差函數(shù)RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]----s.p.X(t)與Y(t)的互相關(guān)函數(shù)=

RXY(t1,t2)mX(t1)mY(t2)CXY(t1,t2)=

E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)若CXY(t1,t2)=0或RXY(t1,t2)=mX(t1)mY(t2)----s.p.X(t)與Y(t)的不相關(guān)結(jié)論若s.p.X(t)與Y(t)的相互獨(dú)立,則X(t)與

Y(t)不相關(guān)。隨機(jī)過程的分類1按參數(shù)集T和值域E離散與否分類(1)參數(shù)離散,狀態(tài)離散;T、E皆離散(2)參數(shù)離散,狀態(tài)非離散;T離散、E非離散特別：T離散、E連續(xù)(3)參數(shù)非離散,狀態(tài)離散;T非離散、E離散特別：T連續(xù)、E離散(4)參數(shù)、狀態(tài)皆非離散;T、E皆非離散特別：T、E皆連續(xù)2按s.p.的概率結(jié)構(gòu)來分獨(dú)立隨機(jī)過程；獨(dú)立增量隨機(jī)過程；Markov過程；平穩(wěn)隨機(jī)過程。幾種常用隨機(jī)過程1獨(dú)立隨機(jī)過程{X(t),tT}是一個(gè)s.p.若對任意n個(gè)不同的t1,t2,,tnT,X(t1),X(t2),,X(tn)都相互獨(dú)立,稱{X(t),tT}是獨(dú)立s.p.2獨(dú)立增量隨機(jī)過程{X(t),tT}是一個(gè)s.p.若對任意n個(gè)t1,t2,,tnT,且t1<t2<<tn,增量X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),,X(tn)X(tn1)是相互獨(dú)立的,稱{X(t),tT}是獨(dú)立增量s.p.其中T=[0,+),獨(dú)立增量過程也叫可加過程。若X(t)還滿足:對任意的t,t+T(>0),增量X(t+)X(t)的概率分布只依賴于而與t無關(guān),則稱s.p.X(t)為齊次增量過程(或具有平穩(wěn)增量){X(t),t0

}是獨(dú)立增量過程,令Y(t)=X(t)X(0),t0,Y(t)與X(t)有相同的增量，所以Y(t)亦為獨(dú)立增量過程,且有P{Y(0)=0}=1,故對于一般的獨(dú)立增量過程可以假設(shè)P{X(0)=0}=1。例設(shè)X(t),tT={t1,t2,}為獨(dú)立的r.v.序列,證明為獨(dú)立增量過程。3正態(tài)隨機(jī)過程(Gauss過程)若s.p.{X(t),tT}的任一有限維分布都是正態(tài)分布,則稱該過程為正態(tài)過程(Gauss過程)。即對n

1,t1,t2,,tnT,有式中正態(tài)過程的性質(zhì):(1)正態(tài)過程的有限維分布族可由其一、二階矩完全確定;(2)正態(tài)過程的不相關(guān)性與相互獨(dú)立性等價(jià);(3)正態(tài)過程在線性變換下保持其正態(tài)性。

即正態(tài)過程的線性變換仍然是正態(tài)過程4馬爾可夫過程(Markov過程){X(t),tT}是一個(gè)s.p.若對tT,給定X(t)的值后,對sT且s>t,X(s)的取值與那些uT且u<t的X(u)的取值無關(guān)。則稱{X(t),tT}是一個(gè)Markov過程。簡稱馬氏過程。即將來只與現(xiàn)在有關(guān)而與過去無關(guān)，又稱為無后效性。5維納過程(Wiener過程)(或Brown運(yùn)動(dòng))s.p.{X(t),tT}若滿足：(1)

X(0)=0;(2)

X(t)是齊次獨(dú)立增量過程;(3)t>0,X(t)~N(0,2t)。稱X(t)為Wiener過程或Brown運(yùn)動(dòng)。若=1,則稱X(t)為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程。維納過程的性質(zhì):(1)維納過程是一種馬氏過程;(2)E(X(t))=0,D[X(t)]=2t,

R(t1,t2)=2min(t1,t2)。(3)t1,t2,,tn,且0=t0<t1<<tn<+,有X(ti)X(ti-1)~N(0,2(titi-1)),i=1,2,,n

(4)X(t),t0為Wiener過程,則對t1,t2,,tn,且0=t0<t1<<tn<+,有D[X(ti)]=2ti,1in;

R(ti,tj)=E[X(ti)X(tj)]=2ti,i,j=1,2,,n,i<j

例鐵路工程隊(duì)每天鋪一段長為li的路軌。假設(shè)由于生產(chǎn)鋼軌的誤差，使得每段鋼軌與標(biāo)定的長度l0之差li=lil0，i=1,2,均具有正態(tài)分布N(0,02),且彼此相互獨(dú)立?，F(xiàn)考察第n(n=1,2,)天時(shí)，鋪軌的總長度L(n)與標(biāo)定總長度L0(n)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。6泊松過程(Poisson過程)考察一個(gè)來到某“服務(wù)點(diǎn)”要求服務(wù)的“顧客流”，顧客到服務(wù)點(diǎn)的到達(dá)過程就是一個(gè)泊松過程(Poisson過程)。s.p.{X(t),t0}若滿足：(1)

X(t)0,X(0)=0,X(t)取整數(shù)值;(2)0t1<t2,有X(t1)X(t2);(3)0t1<t2,有X(t2)X(t1)代表在時(shí)間間隔(t1,t2]上事件出現(xiàn)的次數(shù);稱{X(t),t0}為計(jì)數(shù)過程。若X(t)還是獨(dú)立增量過程,則稱{X(t),t0}為獨(dú)立增量計(jì)數(shù)過程。{X(t),t0}是一個(gè)計(jì)數(shù)過程,且滿足(1)

X(0)=0(a.e.);(2)

X(t)是獨(dú)立增量過程;(3)t1,t2T=[0,+),t1<t2,增量X(t2)X(t1)服從參數(shù)為(t2

t1)的Poisson分布,即稱{X(t),t0}為具有參數(shù)為的