第二章 測量誤差與數(shù)據(jù)處理

第二章測量誤差和數(shù)據(jù)處理§2.1測量誤差§2.2測量誤差的來源§2.3誤差的分類§2.4隨機誤差分析§2.5系統(tǒng)誤差分析§2.6誤差的合成、間接測量誤差的誤差傳遞與分配§2.7測量數(shù)據(jù)的處理

§2.1測量誤差一、真值與測量值真值——測量的物理量，客觀存在的量值。測量值測量誤差產(chǎn)生原因：1.由于測量儀表、測量方法、環(huán)境條件人的觀察等都不能做到完美無缺的程度。2.要對物理量進行測量，就需要一個比較標準，而真正的比較標準是不存在的，僅存在于純理論之中。相對真值人們的目的就在于采取條件手段來獲取盡可接近真值的測量值。二、誤差的表示方法1.絕對誤差

A0——真值A——實際值2.相對誤差1）實際相對誤差：2）示值相對誤差：絕對誤差不能表示出測量值的精確度。如溫度測量① 絕對誤差1℃②但后者精確度明顯高于前者。3）滿度相對誤差

△xm——量程內(nèi)最大絕對誤差xm——測量儀器滿度值儀表準確度等級S按滿度誤差分級的如這表明

§2.2測量誤差的來源一、儀器誤差（設備誤差）原因：①由于設計、制造、裝配、檢定等的不完善②使用過程元件老化、磨損、疲勞讀數(shù)誤差內(nèi)部噪聲誤差穩(wěn)定誤差動態(tài)誤差減少誤差的途徑：正確選擇測量方法和使用測量儀表二、人身誤差由于測量值的判斷有誤誤差三、環(huán)境誤差主要：環(huán)境溫度、電源電壓、電磁干擾等四、方法誤差

2.重要特點①測量條件不變，誤差即為確切數(shù)值②條件變化時，誤差遵循某種確定的規(guī)律變化具有可重復性3.產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因1）設計制作上的缺陷2）測量環(huán)境條件變化——與儀表使用要求不一致3）采用近似的測量方法或計算公式

§2.3誤差的分類一、系統(tǒng)誤差1.定義：在測量中產(chǎn)生的誤差量值大小和符號都恒定不變(恒值）或遵循一定規(guī)律變化的誤差（變值——累進性、周期性、復雜性））4）測量人員的習慣讀數(shù)偏差系統(tǒng)誤差體現(xiàn)了測量的正確度二、隨機誤差（偶然誤差）1.定義：同一恒定量值進行多次等精度測量時，其絕對值和符號無規(guī)則變化的誤差?！媒y(tǒng)計理論進行估算。2.特點a.有界性b.對稱性：正負誤差機會相等c.抵償性：算術平均值0d.單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大F(x)x3.隨機誤差產(chǎn)生的原因1）儀表的不穩(wěn)定等2）溫度、電源等無規(guī)則波動3）測量人員讀數(shù)無規(guī)則變化隨機誤差體現(xiàn)了多次測量的精密度三、粗大誤差：測量值明顯偏離實際值所形成的誤差產(chǎn)生的原因：1）測量方法不當2）測量操作失誤3）測量條件突然變化四、誤差的處理1）誤差劃分具有相對性，可互相轉化2）根據(jù)誤差對測量結果的影響程度不同作出不同的具體處理

§2.4隨機誤差分析一、測量值的數(shù)學期望和標準差1.數(shù)學期望1）算術平均值 樣本平均2）數(shù)學期望總體平均3）絕對誤差與隨機誤差若不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差,則——絕對誤差——隨機誤差4）隨機誤差的算術平均值當時，由于隨機誤差的抵償性，當時即

當測量次數(shù)足夠多時： 2.剩余誤差Vi性質：1）剩余誤差的代數(shù)和等于0。2）剩余誤差的平方和最小，——最小二乘法3.方差和標準差隨機誤差測量值的分散程度（精密度），但隨機誤差的抵償性，不能用它的算術平均值來估算測量

值的精密度用方差進行描述1）定義：時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值∵∴2）標準誤差（均方根誤差）反映測量的精密度

二、隨機誤差的正態(tài)分析1.正態(tài)分布1）理論與實驗證明：測量值xi(隨機誤差i)按正態(tài)分布規(guī)律出現(xiàn)對于正態(tài)分布的xi，概率密度函數(shù)對于隨機誤差i，則2）特征a.EXX絕對值小的隨機誤差出現(xiàn)的概率大。（有界性）b.c.曲線尖銳測得值集中精密度曲線平坦測得值分散精密度2.極限誤差隨機誤差落在區(qū)域的概率P為而落在區(qū)間的概率分別為：σ1σ2σ3隨機誤差>3的概率僅為0.3%定義△=3若應予以刪除3.貝塞爾公式∵又 而，n為有限值，則，用殘差可證明 貝塞爾公式

——標準誤差的最佳估計值4.算術平均值的標準差在相同條件下對同一被測量值分成m組，每組重復n次每組的平均值不同分散性。算術平均值的標準差同樣，測量結果表示：算術平均值標準差的最佳估計值實際測量中，n為有限值，直接寫成三、有限次測量下測量結果的表達∵，但減小速度比n增長慢得多靠增加n降低均方差收益不大

實際中：n=10~202.

等精度測量，測量結果處理：1）列表測量數(shù)據(jù)2）計算及3）計算 4）結果表達式

§2.5系統(tǒng)誤差分析一、系統(tǒng)誤差的特性若不存在粗差，則測量誤差 設系差 即則當則：當測量次數(shù)足夠多，各次測量絕對誤差的算術平均值＝系差

1.準確度不僅與有關，更與有關

2.系差不易發(fā)現(xiàn)，更應重視

3.不具備抵償性，取平均值無效二、系統(tǒng)誤差的判斷1.理論分析法用于測量方法、測量原理引起的系差2.校對和對比法目的：發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進行測量時的系統(tǒng)誤差3.改變測量條件2、3屬于實驗對比法一般用來發(fā)現(xiàn)恒值系差4.剩余誤差觀察法發(fā)現(xiàn)變值系差iiiiviviviviVi正負相同，無明顯變化規(guī)律——不存在系差Vi線型遞增——累積性系差Vi呈周期性——周期性系差變化規(guī)律復雜——同時存在線形遞增的累進性系差和周期性系差三、消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源（1）測量原理、方法、依據(jù)正確（2）儀器儀表正確（3）儀器檢定、校準、零位（4）測量人員水平四、削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術1.零示法——待測量與已知標準量相比較，零示器示值＝0時，已知標準量＝被測量零示器：光電檢流計電流表電壓表消除由于零示器不準帶來的系統(tǒng)誤差書p36調(diào)節(jié)則2.替代法：（置換法）測量條件不變下，同一標準已知量替代待測量，通過調(diào)整標準量使儀表示值不變標準＝被測量測量存在誤差，則誤差與R1,R2,R3有關現(xiàn)用標準電阻RS代替Rx，并保持R1,R2，R3不變則

△Rx僅決定于標準電阻的誤差，與R1,R2,R3誤差無關五、削弱系統(tǒng)誤差的其他方法1.利用修正值或修正因數(shù)2.隨機化處理對同一測量值，用多臺儀器進行測量取平均值3.智能儀器中利用微處理①直流零位校準②自動校準 §2.6誤差的合成、間接測量誤差的誤差傳遞與分配一、隨機誤差合成測量結果中有K個彼此獨立的隨機誤差，各單次測量誤差標準方差為則綜合后的標準差為極限誤差li：合成的極限誤差

二、系統(tǒng)誤差的合成確定系統(tǒng)誤差的合成⑴代數(shù)合成法：已知各系統(tǒng)誤差分量的大小及符號⑵絕對值合成法：只知大小，不能確定符號⑶方和根合成法：同（2）例題：P47

例2.7.1

2.不確定系統(tǒng)誤差的合成⑴不確度線性相加總的不確定度q>10時，誤差估計偏大q<10時，使用⑵方和根合成法⑶由不確定度算出標準差，再取方和根合成。

kp——置信系數(shù)3.系統(tǒng)誤差的表示

三、間接測量的誤差傳遞例：導線電阻率 需測l、R、d——直接測量 ——間接測量1.間接測量的誤差傳遞設直接測量量為間接量y則泰勒級數(shù)展開：

略去高階項

相對誤差形式表示：

相對誤差傳遞公式

2.常用函數(shù)的誤差傳遞⑴和差函數(shù)的誤差傳遞注意：對于差函數(shù)，當x1,x2較接近時造成較大誤差。⑵積函數(shù)的誤差傳遞設∴⑶商函數(shù)的誤差傳遞設則絕對誤差相對誤差故

⑷冪函數(shù)的誤差傳遞設 故3.如果對各直接測量量各進行了m次等精度測量，則標準誤差：相對誤差形式：

四、間接測量的誤差分配設則間接測量的標準誤差為現(xiàn)假定已給定⑴方法：等作用原則分配誤差令⑵調(diào)整：①測量中難以保證的誤差擴大允許的誤差值。②易保證的誤差減小誤差值。例9P44

§2.7測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)處理——從測量所得到的原始數(shù)據(jù)中求出被測量的最佳估計值，并計算其精確程度。一、有效數(shù)字處理1.有效數(shù)字：左邊起第一個不為零的數(shù)字式，到右面最后一個數(shù)字（包括零）為止：20.80——最大絕對誤差0.005，準確到百分位。20.8——最大絕對誤差0.05，準確到十分位。2.多余數(shù)字的舍入規(guī)則大于5入，小于5舍，等于5時采取偶數(shù)法則（奇數(shù)進，偶數(shù)舍）3.有效數(shù)字的運算規(guī)則①加法：以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準。②減法：盡量避免導致相近兩數(shù)相減的測量方法③乘除法：以有效位數(shù)最少的數(shù)為準④乘方、開方：運算結果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字二、等精度測量結果處理1）計算算術平均值2）計算殘差 ，驗證3）計算，標準偏差4）剔除粗差，若，則剔除，重新從1)步計算。5）判斷有無系統(tǒng)誤差如有應查明原因、修正或消除后重新測量6）計算算術平均值的標準偏差

7）寫出最后結果的表達式例2.8.2,P51習題1對某噴嘴開孔直徑d進行了15次測量，如圖，試判斷該批數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差，并給出結果。序號1234567