第二章 地圖數(shù)學基礎

第二章地圖的數(shù)學基礎（2）地圖的數(shù)學基礎一、空間坐標系二、地圖比例尺三、地圖定向四、地圖投影上一節(jié)內(nèi)容回顧空間坐標系

坐標系統(tǒng)和高程系統(tǒng) 采用國際大地測量協(xié)會1975年推薦的GRS—75橢球，坐標原點設在陜西西安；地圖比例尺地圖定向

地圖投影（一）地圖投影的產(chǎn)生及定義（二）地圖投影的方法（三）地圖投影的變形（四）地圖投影的類型及特點

～～～～～～～～～～～～～（五）我國常用的地圖投影及其特性（六）其他地圖投影（七）地圖投影的應用和變換（一）、地圖投影的產(chǎn)生及定義將橢球面上的客觀世界表現(xiàn)在有限的平面上,首先要實現(xiàn)由球面到平面的轉(zhuǎn)換.沿經(jīng)線直接展開?沿緯線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?可見，地球橢球面是不可展開的面。無論如何展開都會產(chǎn)生褶皺，拉伸或斷裂等無規(guī)律變形,無法繪制科學，準確的地圖。因此應采用地圖投影的方式。地圖投影地球橢球面是一個不可展的曲面，將地球橢球面上的點投影到平面上來的方法稱為地圖投影。

地圖投影地球橢球面地圖平面B,Lx，y地圖投影地圖投影

垂直投影的概念

地圖投影地圖投影地圖投影的研究對象:

研究將地球橢球面（或球面）描寫到地圖平面上的理論、方法及應用，以及地圖投影變形規(guī)律。此外，還研究不同地圖投影之間的轉(zhuǎn)換和圖上量算等問題。地圖投影地圖投影的主要任務:

建立地圖的數(shù)學基礎，它包括把地球面上的坐標系轉(zhuǎn)化成平面坐標系，建立制圖網(wǎng)——經(jīng)緯線在平面上的表象。地圖投影（二）地圖投影的方法1.幾何投影（透視投影）假想地球是一個透明體，光源位于球心，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外，或無窮遠處等。象這樣利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對矛盾的一種方法。2.解析法隨著科學生產(chǎn)的發(fā)展，幾何透視法遠遠不能滿足編制各種類型地圖的需要，這樣推動了地圖投影的發(fā)展，出現(xiàn)了解析法。所謂解析法就是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學分析法確定球面與平面之間點與點之間一一對應的函數(shù)關系。X=f1(φ、λ)Y=f2(φ、λ)函數(shù)的f1f2具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對應關系式，就可把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)交點表示到平面上了。（三）地圖投影的變形一、變形的概念由于球面是一個不可直接展成平面的曲面，因此無論采用什么投影方法，投影后經(jīng)緯網(wǎng)的形狀與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀不完全相似。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形。因而根據(jù)地理坐標展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為了正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生得變形，所以投影變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實際應用價值。地圖投影的變形相關概念主比例尺和局部比例尺主方向變形橢圓 面積變形 角度變形 長度變形 等變形線

主比例尺和局部比例尺平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。

abcda’oo’b’c’d’主方向

由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小線段投影后一般不一定正交，例如設o是球面上一點，過o作兩條垂線ac和bd，投影后為a’c’和b’d’。即地球面上角aob和角boc為直角，投影后分別為銳角a’o’b’和鈍角b’o’c’。設想ac、bd二垂線相對位置保持不便，并繞o點順時針旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)90度時，直角aob轉(zhuǎn)到原來boc的位置，這時投影由原來的銳角轉(zhuǎn)變成鈍角；同樣的，直角boc轉(zhuǎn)到了cod的位置，它的投影由原來的鈍角變?yōu)殇J角。由此可見，一個直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。abcda’oo’b’c’d’

在主方向上，具有極大和極小長度比。例如高斯-克呂格投影，經(jīng)緯線投影后均保持垂直。所以該投影中，經(jīng)緯線方向就是主方向。經(jīng)緯線投影后為正交，經(jīng)緯線方向就是為主方向。但也有一些投影后經(jīng)緯線斜交，因此，主方向與經(jīng)緯線方向并不一致。在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點位置外，一般情況下為橢圓，下面我們用數(shù)學方法驗證一下。

變形橢圓變形橢圓設o為球面上一點，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點，圓心曲線方程為x2+y2=1o’為o的投影，以主方向作為坐標軸，M‘（x’,y’）是M（x,y）的投影，令主方向長度比為a和b，則:x’/x=a,y’/y=b則:x=x’/a,y=y’/b(x,y)為圓上一點，將其代如圓的方程，得x’2/a2+y’2/b2=1

這是一個橢圓方程，這表明該微小圓投影后為長半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來表示投影后的變形，故叫做變形橢圓。在研究投影時，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說明變形的性質(zhì)和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長度變形。很明顯的看出長度變形是隨方向的變化而變化，在長短半徑方向上有極大和極小長度比a和b，而長短半徑方向之間，長度比μ，為b<μ<a;橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形;橢圓上任意兩條方向線的夾角與小圓上相應的兩方向線夾角之差為角度變形。 1、面積比與面積變形

投影平面上的微小面積與球面上相應微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF’=abπ,相應球面上微小圓的面積dF=π12為例，以P表示面積比，則:P=dF’/dF=abπ/π12=ab上式說明面積比等于主方向長度比的乘積。若經(jīng)緯線方向就是主方向時：P=mn若經(jīng)緯線方向不是主方向時，則面積比:P=mnsinθ(θ為投影后經(jīng)緯線夾角)面積比是個變量，它隨點位置不同而變化。面積變形就是面積比與1之差，以Vp表示。Vp=p-1面積變形有正有負，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負，表示投影后面積縮小。2.長度比和長度變形

設地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds’,如圖所示。

dsds’

平面上微小線段與球面上相應微小線段之比，叫做長度比。用公式表示為：μ=ds’/ds長度比是一個變量，它不僅隨著點的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長度比是指某點某方向上微小線段之比。

通常研究長度比時，不一一研究各個方向的長度比，而只研究一些特定方向的長度比，即研究最大長度比（a）和最小長度比（b）,經(jīng)線長度比（m）和緯線長度比（n）。投影后經(jīng)緯線成直交者，經(jīng)緯線長度比就是最大和最小長度比。投影后經(jīng)緯線不直交，其夾角為θ,則經(jīng)緯線長度比m、n和最大、最小長度比a、b之間具有如下關系：m2+n2=a2+b2m·n·sinθ=a·b用長度比可以說明長度變形。所謂長度變形就是長度比（μ）與1之差，用v表示長度變形則：v=μ-1

由此可知，長度變形有正負之分，長度變形為正，表示投影后長度增加；長度變形為負表示投影后長度縮短；長度變形為零，則長度無變形。3、角度變形

投影面上任意兩方向線所夾角與球面上相應兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點每兩條方向線均可以組成一個角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產(chǎn)生的變形一般也不一樣。

4、等變形線

在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等的各點的連線，它是根據(jù)計算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。

等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點無變形，從投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。等變形線通常是用點虛線來表示的。投影變形的一般分布規(guī)律任何地圖都有投影變形地圖上存在沒有變形的點或線距沒有變形的點或線愈遠，投影變形越大，反之越小地圖投影反映的實地面積越大，投影變形越大，反之越小地圖投影地圖投影（四）地圖投影的類型及特點地圖投影的產(chǎn)生和發(fā)展有兩千多年的歷史，現(xiàn)在已有很多種投影。對地圖投影的分類，有多種看法，現(xiàn)在尚無定論，原因是按現(xiàn)有的每一種分類方法都無法包含全部的投影。不過，被世界上大多數(shù)國家所普遍認可的分類方法有兩種，一種是按投影的變形性質(zhì)分類，另一種是按正軸投影標準經(jīng)緯線網(wǎng)的形狀分類。

一、按變形性質(zhì)分類

地球球面投影到平面時，產(chǎn)生的變形有長度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和任意投影三種。1.等角投影（正形投影）角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長度和面積變形。等角投影的條件是：w=0sin(w/2)=(a-b)/（a+b)=0a=b，等角投影在同一點任何方向的長度比都相等，但在不同地點長度比是不同的。多用于編制航海圖、洋流圖、風向圖等地形圖。我國大中比例尺地形圖上所采用的高斯—克呂格投影就是等角橫切橢圓柱投影，而小比例尺地形圖和航空圖則采用等角圓錐投影，海圖采用的墨卡托投影則是等角正圓柱投影等積投影的條件是：Vp=p―１＝０p=1因為p=ab所以a=1/b或b=1/a由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進行面積對比。一般用于繪制對面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟地圖。2.等積投影

投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是球面上的不同地點微小圓投影后為面積相等的各個橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長度變形。3.任意投影

任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投影，其條件是，m=1。即誤差橢圓上的一個半徑和球面上相應微小圓半徑相等。等角投影等積投影等距投影任意投影如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出：①等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。②任意投影不能保持等積、等角特性。③等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。二、按正軸投影標準經(jīng)緯線網(wǎng)的形狀分類地圖投影的實質(zhì)就是將地球橢球面上的點映射到平面上。這種映射一定要在平面或可以展開為平面的曲面上完成。除平面外，常見的可展面有圓錐面和圓柱面。不同的可展面投影的經(jīng)緯線網(wǎng)格的幾何形狀不同，據(jù)此可將地圖投影分為：圓錐投影、圓柱投影和方位投影。讓球體的軸線與圓錐或圓柱的軸線重合或與平面投影面垂直，這時，稱正軸投影標準經(jīng)緯線網(wǎng)。按投影面的類型劃分：方位投影、圓錐投影、圓柱投影

圓柱投影方位投影圓錐投影割投影斜投影 按投影面與地球橢球體的位置關系劃分：正軸投影、橫軸投影、斜軸投影 按投影面與地球面的相切或相割的關系劃分圓錐投影一、圓錐投影的概念和種類二、等角圓錐投影三等積圓錐投影四等距圓錐投影

地圖投影圓錐投影一、圓錐投影的概念和種類

圓錐投影是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成，當圓錐面與地球相切時，稱為切圓錐投影，當圓錐面與地球相割時，稱為割圓錐投影。按圓錐面與地球相對位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實際上很少應用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。

切圓錐投影，緯線投影到圓錐面上仍是圓，不同的緯線投影為不同的圓，這些圓是互相平行的，經(jīng)線投影為相交于圓錐頂點的一束直線，如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則呈扇形，其頂角小于360度。在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經(jīng)線成為由圓錐頂點向外放射的直線束，經(jīng)線間的夾角與相應的經(jīng)差成正比，但比經(jīng)差小。在切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線。叫做標準緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標準緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標準緯線向外投影變形逐漸增大，離開這兩條標準緯線向里投影變形逐漸減小，凡是距標準緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。圓錐投影按變形性質(zhì)分為等角等積和等距圓錐投影三種，

構成圓錐投影需確定畫緯線的半徑ρ和經(jīng)線間的夾角δ，ρ是緯度的函數(shù)用公式表示為ρ=f(ф)。δ是經(jīng)差λ的函數(shù)。用公式表示為δ=сλ..с對于不同的圓錐投影它是不同的。但對于某一具體的圓錐投影，它的值是相同的。(見P49)當с=1時（圓錐頂角為180度），為方位投影；當с=0時（圓錐體的頂角小到0度），為圓柱投影。方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例。二、等角圓錐投影

等角圓錐投影的條件是在地圖上沒有角度變形，w=0。為了保持等角條件，每一點上經(jīng)線長度比與緯線長度比相等，m=n。1.在等角切圓錐投影上，相切的緯線沒有變形，長度比為1。其他緯線投影后為擴大的同心圓弧并且離開標準緯線越遠，這種擴大的變形程度也就越大，標準線以北變形增加的要比以南快些。經(jīng)線為過緯線圓心的一束直線。由于m=n所以在緯線方向上擴大多少，就在經(jīng)線上擴大多少。這樣才能使經(jīng)緯線方向上的長度比相等。所以在等角圓錐投影上緯線間隔從標準緯線向南向北是逐漸增大的。2.等角割圓錐投影的經(jīng)緯線變化?

在等角割圓錐投影上，相割的兩條緯線為標準緯線。長度比為1，沒有變形。兩條標準緯線之間緯線長度比小于1，兩條標準緯線之外，緯線長度比大于1，即離開標準緯線長度變形逐漸增大。經(jīng)線的變形長度也是如此。所以在等角割圓錐投影上從兩條標準緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標準緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。等角圓錐投影面積變形大雙標準緯線等角圓錐投影，廣泛應用于中緯度地區(qū)的分國地圖和地區(qū)圖。例如“中國地圖集”各分省圖就是用的這種投影。“世界地圖集”大部分分國地圖采用該投影。世界上有些國家如法國、比利時、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數(shù)學基礎。三等積圓錐投影等積圓錐投影的條件是投影后面積沒有變形。1在等積切圓錐投影上，相切的緯線沒有變形，長度比為1，其他緯線投影后均擴大并且離開標準緯線越遠，這種變形也就越大。所以投影后要保持面積相等，在緯線方向上變形擴大多少倍，那么在經(jīng)線方向上就得縮小多少倍。所以在等積切圓錐投影圖上，緯線間隔從標準緯線向南向北是逐漸縮小的。

2等積割圓錐投影中，其經(jīng)緯線的變化是怎樣的?兩條緯線為標準緯線，其長度比等于1，兩條標準緯線之間，緯線長度比小于1,要保持面積不變，因此經(jīng)線長度比要相應擴大，所以在兩條標準緯線之間，緯線間隔愈向中間就越大。在兩條標準緯線之外緯線長度比大于1。要保持等積，經(jīng)線長度比要相應的縮小,因此在兩條標準緯線向外，緯線間是逐漸縮小的。

等積圓錐投影常用以編制行政區(qū)劃圖，人口密度圖。及社會經(jīng)濟地圖或某些自然圖。當制圖區(qū)域所跨緯度較大時，常采用雙標準緯線等積圓錐投影。如它是繪制我國地圖時常采用投影之一，其他國家出版的許多圖集也采用該投影。四等距圓錐投影等距圓錐投影的條件是經(jīng)線投影后保持正長，即經(jīng)線方向上的長度比是1。沒有變形。在標準緯線上也均無變形。除此以外其他緯線均有變形。1等距切圓錐投影，從標準緯線向南向北緯線長度比大于1，離開標準緯線越遠緯線長度變形、面積變形、角度變形也越大。2等距割圓錐投影上，兩條標準緯線內(nèi)緯線長度比小于1，面積變形向負方向增大，兩條標準緯線之外，緯線長度比大于1，面積變形向正方向增加。角度變形離標準線越遠變形越大。等距圓錐投影，在面積變形方面比等角圓錐投影要小，在角度變形上比等積圓錐投影要小，這種投影圖上最明顯的特點是：緯線間隔相等。這種投影變形均勻常用于編制各種教學用圖和中國大陸交通圖。

總結圓錐投影的特點：緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線束，經(jīng)緯線互相垂直，經(jīng)緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開標準緯線越遠變形越大。該投影適合繪制中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖。方位投影一、方位投影的概念和種類二、正軸方位投影二、橫軸方位投影四、斜軸方位投影五、方位投影的判別

方位投影一、方位投影的概念和種類

方位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上所得到的圖形。本節(jié)只介紹常用的切方位投影，將地球半徑視為R的球體。方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。1.透視方位投影利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。透視方位投影的點光源或視點位于垂直于投影面的地球直徑及其延長線上，由于視點位置不同，因而有不同的透視方位投影。①當視點（光源）位于地球球心時，即視點距投影面距離為R時，稱為中心射方位投影或球心投影。②當視點或光源位于地球表面時，即視點到投影面距離為2R時，稱為平射方位投影或球面投影。③當視點或光源位于無限遠時，投影線（光線）成為平行線，稱為正射投影。根據(jù)投影面和地球球面相切位置的不同，透視投影可分為三類：①當投影面切于地球極點時，稱為正軸方位投影。②當投影面切于赤道時，稱為橫軸方位投影。③當投影面切于既不在極點也不在赤道時，稱為斜軸方位投影。2.非透視方位投影非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構成的投影。在這類投影中有等距方位投影和等積方位投影。(方位投影的坐標公式見P56)二、正軸方位投影投影中心為極點，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)，主要用于制作兩極地區(qū)圖。1、正軸等角方位投影2、正軸等距方位投影1.正軸等角方位投影

平射正軸方位投影又叫等角方位投影或球面投影。投影條件：視點位于球面上，投影面切于極點。特點：①緯線投影為以極點為圓心的同心圓，緯線方向上的長度比大于1。赤道上的長度變形比原來擴大1倍。②經(jīng)線投影為以極點為圓心的放射性直線束，經(jīng)線夾角等于相應的經(jīng)差，沿經(jīng)線方向上的長度比大于1，赤道上各點沿經(jīng)線方向上的長度變形比原來擴大1倍。③這種投影的誤差分布規(guī)律是，由投影中心向外逐漸增大。④經(jīng)緯線投影后，仍保持正交，所以經(jīng)緯線方向就是主方向，又因為m=n，即主方向長度比相等，⑤沒有角度變形，但面積變形較大，在投影邊緣面積變形是中心的四倍。

2.正軸等距方位投影

等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。投影后經(jīng)線保持正長，經(jīng)線上緯距保持相等。經(jīng)緯網(wǎng)的構成：

緯線投影后為同心圓，經(jīng)線投影為交于緯線同心的直線束，經(jīng)線投影后保持正長，所以投影后的緯線間距相等。經(jīng)緯線投影后正交，經(jīng)緯線方向為主方向。角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。在此投影中，球面上的微圓投影為橢圓，且誤差橢圓的長半徑和緯線方向一致，短半徑與經(jīng)線方向一致，并且等于微圓半徑r又由于自投影中心，緯線擴大的程度越來越大，所以變形橢圓的長半徑也越來越長，橢圓就越來越扁了。

等距正軸方位投影常用來做兩極的投影。三、橫軸方位投影

平面與球面相切，其切點位于赤道上的任意點。特點：通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道投影為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。1、橫軸等距方位投影2、橫軸等積方位投影

1.橫軸等距方位投影

其特點是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔相等；在赤道上，自投影中心向西，向東，經(jīng)線間隔是逐漸擴大的。2.橫軸等積方位投影

其特點是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔是逐漸縮小的；在赤道上，自投影中心向西，向東，經(jīng)線間隔也是逐漸縮小的。四、斜軸方位投影

投影面切于兩極和赤道間的任意一點上。在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為曲線。

1.斜軸等距方位投影

其特點是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向下緯線間隔是相等的。

2.等積斜軸方位投影

其特點是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向下的緯線間隔逐漸減小。若間隔是逐漸增大的，是等角斜軸方位投影。

五、幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別

正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。

橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。

斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。

然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。

等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大；等積方位投影，逐漸縮小；等距方位投影，間隔相等。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱?？偨Y

方位投影的特點是：在投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點）向各方向的方位角與實地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。繪制地圖時，總是希望地圖上的變形盡可能小，而且分布比較均勻。一般要求等變形線最好與制圖區(qū)域輪廓一致。因此，方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。從區(qū)域所在的地理位置來說，兩極地區(qū)和南、北半球圖采用正軸方位投影；赤道附近地區(qū)和東、西半球圖采用橫軸方位投影；其他地區(qū)和水、陸半球圖采用斜軸方位投影。圓柱投影一、圓柱投影的概念和種類二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）三、等距正軸切圓柱投影

地圖投影圓柱投影一、圓柱投影的概念和種類

假定以圓柱面作為投影面，把地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影。當圓柱面和地球體相切時，稱為切圓柱投影，和地球體相割時稱為割圓柱投影。由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影三種。

正軸圓柱投影——圓柱的軸和地球的地軸一致；橫軸圓柱投影——圓柱的軸和地軸垂直并通過地心；斜軸圓柱投影——圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不重合。

在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視點在球心，正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線網(wǎng)的特點是：1、經(jīng)線投影為平行直線，平行線間的距離和經(jīng)差成正比。2、緯線投影成為一組與經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。3、和圓柱面相切的赤道弧長或相割的兩條緯線的弧長為正長無變形。圓柱投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。

二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）

等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。

在墨卡托投影中，赤道投影為正長，緯線投影成和赤道等長的平行線段，即離赤道越遠，緯線投影的長度比也越大，為了保持等角條件，必須把地圖上的每一點的經(jīng)線方向上的長度比和緯線方向上的長度比相等。所以隨著緯線長度比的增加，相應經(jīng)線方向上的長度比也得增加，并且增加的程度相等。所以在墨卡托投影中，從赤道向兩極，緯線間隔越來越大。在墨卡托投影中，面積變形最大，如在緯度60度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴大了2倍，面積比P=m*n=2*2=4，擴大了4倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴大的越多，在φ=80度時，經(jīng)緯線都擴大了近6倍，面積比擴大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。墨卡托投影被廣泛應用于航海和航空方面，這是因為等角航線（或稱斜航線），在此投影中表現(xiàn)為直線，所謂等角航線，就是地球表面上與經(jīng)線交角都相同的曲線，或者說是地球上兩點間的一條等方位線。就是說船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點到達終點。

等角航線在墨卡托投影圖上表現(xiàn)為直線，這一點對于航海航空具有重要意義。因為有這個特征，航行時，在墨卡托投影圖上只要將出發(fā)地和目的地連一直線，用量角器測出直線與經(jīng)線的夾角，船上的航海羅盤按照這個角度指示船只航行，就能達到目的地。

但是等角航線不是地球上兩點間的最短距離，地球上兩點間的最短距離是通過兩點的大圓弧，（又稱大圓航線或正航線）。大圓航線與各經(jīng)線的夾角是不等的，因此它在墨卡托投影圖上為曲線。

遠航時，完全沿著等角航線航行，走的是一條較遠路線，是不經(jīng)濟的，但船只不必時常改變方向，大圓航線是一條最近的路線，但船只航行