常微分方程第次課

常微分方程第次課1第一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日§6.1線(xiàn)性微分方程組的一般理論第二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日一階線(xiàn)性微分方程組:稱(chēng)式(2)為一階齊次線(xiàn)性微分方程組.非齊次線(xiàn)性微分方程組

(1)則式（1）變?yōu)?2)稱(chēng)式（1）為第三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日一齊次線(xiàn)性微分方程組1疊加原理定理1證明:則有所以如果是方程（2）的m個(gè)解,則它們的線(xiàn)性組合也是方程(2)的解，這里是任意常數(shù)。由于是方程（2）的m個(gè)解第四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日2函數(shù)向量組線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)定義設(shè)是一組定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)列向量，如果存在一組不全為零的常數(shù)使得對(duì)所有，有恒等式則稱(chēng)在區(qū)間[a,b]上線(xiàn)性相關(guān)；否則就稱(chēng)這組向量函數(shù)在區(qū)間[a,b]上線(xiàn)性無(wú)關(guān)。第五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日證明:例1證明:函數(shù)向量組在任何區(qū)間都是線(xiàn)性相關(guān)的.第六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例2證明:函數(shù)向量組證明:要使第七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日則需因?yàn)樗怨示€(xiàn)性無(wú)關(guān).第八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日3函數(shù)向量組線(xiàn)性相關(guān)與無(wú)關(guān)的判別準(zhǔn)則(1)Wronsky行列式由這n個(gè)向量函數(shù)所構(gòu)成的行列式稱(chēng)為這n個(gè)向量函數(shù)所構(gòu)成的Wronsky行列式第九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日(2)定理2證明:第十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日(3)定理3證明:“反證法”則現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,如果（2）的解線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則它們的Wronsky行列式第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有矛盾注1:注2:第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日(4)定理4一階微分方程組(2)一定存在n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解.證明:由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在滿(mǎn)足初始條件且第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日4通解結(jié)構(gòu)及基本解組定理5證明:①由已知條件,第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日又因?yàn)榈谑屙?yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日即它們構(gòu)成n維線(xiàn)性空間的基,現(xiàn)在考慮函數(shù)向量由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,應(yīng)有即第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日推論1(2)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n?；窘饨M:一個(gè)基本解組。注1:齊次微分方程組(2)的基本解組不唯一。注2:齊次微分方程組(2)的所有解的集合構(gòu)成一個(gè)n維線(xiàn)性空間。注3:由n階線(xiàn)性微分方程的初值問(wèn)題與線(xiàn)性微分方程組的初值問(wèn)題的等價(jià)性描述,本節(jié)所有定理都可平行推論到n階線(xiàn)性微分方程去。第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日推論2第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日5解矩陣與基解矩陣及性質(zhì)(1)定義則稱(chēng)這個(gè)矩陣為齊次微分方程組(2)的解矩陣。則稱(chēng)該解矩陣為(2)的基解矩陣?；饩仃嚒曰窘饨M為列構(gòu)成的矩陣。第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日注:這里C是確定的N維向量空間第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例3驗(yàn)證是方程組基解矩陣.解:由于又由于第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日證明:第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日證明:于是有由此可得第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日即有例4驗(yàn)證是方程組的基解矩陣,并求其通解。解:第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日又由于其通解為第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日二非齊次線(xiàn)性微分方程組1非齊線(xiàn)性微分方程組解的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)32通解結(jié)構(gòu)定理定理6這里C是確定的常數(shù)列向量。證明:由性質(zhì)2知,即這里C是確定的常數(shù)列向量。第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日3常數(shù)變易公式則(2)的通解為其中C是任意的常數(shù)列向量,下面尋求(1)形如的解,把(7)代入(1),得(1)一階線(xiàn)性微分方程組的常數(shù)變易公式第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日從而反之,可驗(yàn)證(8)是方程組(1)滿(mǎn)足初始條件的特解。因此,(7)變?yōu)榈诙彭?yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日定理7①

向量函數(shù)是(1)的解,且滿(mǎn)足初始條件②

方程組(1)的通解為注1:注2:公式(8)或(9)稱(chēng)為(1)的常數(shù)變易公式。第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例5求方程組的通解.解:由例4知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,由(8)得方程的特解為第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日所以,原方程的通解為第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日例6試求初值問(wèn)題解:由例3知是對(duì)應(yīng)齊次方程的基解矩陣,第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日故方程滿(mǎn)足初始條件的解是第三十四頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日(2)n階線(xiàn)性微分方程的常數(shù)變易公式則線(xiàn)性微分方組的初值問(wèn)題的基本解組為從而其基解矩陣為第三十五頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日第三十六頁(yè)，共四十頁(yè)，2022年，8月28日推論3的基本解組,那么非齊線(xiàn)性方程的滿(mǎn)足初始條件解為第三十七頁(yè)，共四十頁(yè)，20