高中數(shù)學人教A版2第二章推理與證明直接證明與間接證明 公開課2

直接證明與間接證明同步練習1．設△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定答案：B解析：解答：由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，所以，sin(B＋C)＝sin2A，∴sinA＝sin2A，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝eq\f(π,2)，所以△ABC是直角三角形分析：要判斷三角形的形狀，只要計算出最大的角的大小即可，利用已知條件得知A＝eq\f(π,2)，所以△ABC是直角三角形2.已知x、y為正實數(shù)，則()A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC．2lgx·lgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx·2lgy答案：D解析：解答：2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx·2lgy.分析：簡單題，考查對數(shù)和指數(shù)的運算法則3.設a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，則必有()A．1≤ab≤eq\f(a2＋b2,2) B．a(chǎn)b<1<eq\f(a2＋b2,2)C．a(chǎn)b<eq\f(a2＋b2,2)<1 D．eq\f(a2＋b2,2)<1<ab答案：B解析：解答：ab<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2<eq\f(a2＋b2,2)(a≠b)分析：考查不等式，簡單題4.設0<x<1，則a＝eq\r(2x)，b＝1＋x，c＝eq\f(1,1－x)中最大的一個是()A．a(chǎn) B．bC．c D．不能確定答案：C解析：解答：因為b－c＝(1＋x)－eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x2－1,1－x)＝－eq\f(x2,1－x)＜0，所以b<c.又因為(1＋x)2>2x>0，所以b＝1＋x>eq\r(2x)＝a，所以a<b<c分析：可用特值法：取x＝eq\f(1,2)，則a＝1，b＝eq\f(3,2)，c＝2。比較兩個數(shù)的大小一般采用作差法或者作除法（兩個數(shù)要求都是正數(shù)）5.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xy B．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<y D．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y答案：D解析：解答：∵y>x>0，且x＋y＝1，∴設y＝eq\f(3,4)，x＝eq\f(1,4)，則eq\f(x＋y,2)＝eq\f(1,2)，2xy＝eq\f(3,8).所以有x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y，故排除A、B、C，選D分析：考查基本不等式，屬于中檔題6.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a、b∈R＋，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A、B、C的大小關系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A答案：A解析：解答：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x在(－∞，＋∞)上是單調減函數(shù)，∴f(eq\f(a＋b,2))≤f(eq\r(ab))≤f(eq\f(2ab,a＋b))分析：因為函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是R上的減函數(shù)，所以比較A、B、C的大小，只要比較eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，eq\r(ab)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))三者的大小即可，可以采用特殊值法7.已知a，b，c為不全相等的實數(shù)，P=a2+b2+c2+3，Q=2(a+b+c)，則P與Q的大小關系是()>Q ≥Q<Q ≤Q答案：A解析：解答：選A.，因為P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=a2-2a+1+b2-2b+1+c2-2c+1=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2，又a，b，c不全相等，所以P-Q>0，即P>Q分析：要比較P，Q的大小，采用作差法，只需比較P-Q與0的關系8．設a，b，m都是正整數(shù)，且a<b，則下列不等式中恒不成立的是()A.QUOTEab<QUOTEa+mb+m<1 B.QUOTEab≥QUOTEa+mb+mC.QUOTEab≤QUOTEa+mb+m≤1 <QUOTEb+ma+m<QUOTEba答案：B解析：解答：選B.可證明QUOTEab<QUOTEa+mb+m成立，要證明QUOTEab<QUOTEa+mb+m，由于a，b，m都是正整數(shù)，故只需證ab+am<ab+bm，即證(a-b)m<0，因為a<b，所以(a-b)m<0成立.分析：本題考查分析法，不可以采用特殊值法，因為找到一個不滿足不等式的值無法判定不等式恒不成立9.設a=lg2+lg5，b=ex(x<0)，則a與b大小關系為()>b =b<b D.無法確定答案：A解析：解答：選=lg2+lg5=1，b=ex，當x<0時，0<b<1.所以a>b.分析：簡單題，因為b的恒小于1，所以a>b10.2.設a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，則()+b≥2(QUOTE2+1) +b≤QUOTE2+1+b≤(QUOTE2+1)2 +b>2(QUOTE2+1)答案：A解析：解答：選A.由條件知a+b≤ab-1≤QUOTEa+b22-1，令a+b=t，則t>0且t≤QUOTEt24-1，解得t≥2+2QUOTE2分析：要求a+b的范圍，只要構造a+b的不等式即可，把ab利用基本不等式轉化為a+b11.設0<x<1，則a=QUOTE2x，b=1+x，c=QUOTE11-x中最大的一個是() D.不能確定答案：C解析：解答：選C.易得1+x>2QUOTEx>QUOTE2x，因為(1+x)(1-x)=1-x2<1，又0<x<1，即1-x>0，所以1+x<QUOTE11-x.分析：考查基本不等式，此題也可以采用特殊值法解題，令,a=1,b=,c=2,故選C12.用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設中正確的是()A.有兩個內(nèi)角是鈍角B.有三個內(nèi)角是鈍角C.至少有兩個內(nèi)角是鈍角D.沒有一個內(nèi)角是鈍角答案：C解析：解答：“最多有一個”的反設是“至少有兩個”分析：最多有一個則有一個或者沒有一個鈍角，反設就是“至少有兩個”13.實數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=2，則()，b，c都是正數(shù)，b，c都大于1，b，c都小于2，b，c中至少有一個不小于QUOTE12答案：D解析：解答：選D.假設a，b，c均小于QUOTE12，則a+2b+c<QUOTE12+1+QUOTE12=2，與已知矛盾，故假設不成立，所以a，b，c中至少有一個不小于QUOTE12分析：考查反證法，先假設問題成立，再通過數(shù)學推導出與已知條件，數(shù)學原理，定理等相悖，得出結論14.設a，b，c大于0，則3個數(shù)：a+QUOTE1b，b+QUOTE1c，c+QUOTE1a的值()A.都大于2B.至少有一個不大于2C.都小于2D.至少有一個不小于2答案：C解析：解答：選D.假設a+QUOTE1b，b+QUOTE1c，c+QUOTE1a都小于2，即a+QUOTE1b<2，b+QUOTE1c<2，c+QUOTE1a<2，所以<6，又a>0，b>0，c>0，所以=QUOTEc+1c≥2+2+2=6.這與假設矛盾，所以假設不成立.分析：因為三個數(shù)的和不小于6，可以判斷三個數(shù)至少有一個不小于2，所以可假設這三個數(shù)都小于2來推出矛盾15.已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an=an+2，bn=bn+1(a，b是常數(shù)，且a>b)，那么兩個數(shù)列中序號與相應項的數(shù)值相同的項的個數(shù)是() D.無窮多個答案：A解析：解答：選A.假設存在兩個數(shù)列中序號與相應項的數(shù)值相同的項，則有an+2=bn+1，得到(a-b)n=-1，這樣的n是不存在的，故假設不成立分析：假設存在兩個數(shù)列中序號與相應項的數(shù)值相同的項，推理得出矛盾16.如果aQUOTEa>bQUOTEb，則實數(shù)a，b應滿足的條件是________.答案：a>b>0解析：解答：要使aQUOTEa>bQUOTEb成立，只需(aQUOTEa)2>(bQUOTEb)2，只需a3>b3>0，即a，b應滿足a>b>0分析：考查分析法，從結論出發(fā)，一步步找出使已知條件成立的條件。17.設a>0，b>0，則下面兩式的大小關系為lg(1+QUOTEab)______

QUOTE12[lg(1+a)+lg(1+b)].答案：≤解析：解答：因為(1+QUOTEab)2-(1+a)(1+b)=1+2QUOTEab+ab-1-a-b-ab=2QUOTEab-(a+b)=-(QUOTEa-QUOTEb)2≤0，所以(1+QUOTEab)2≤(1+a)(1+b)，所以lg(1+QUOTEab)≤QUOTE12[lg(1+a)+lg(1+b)]分析：要比較兩者大小，可先比較(1+QUOTEab)與QUOTE(1+a)(1+b)的大小，又需先比較(1+QUOTEab)2與(1+a)(1+b)的大小18.若下列兩個方程x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是__________.答案：{a|a≤-2或a≥-1}解析：解答：假設兩個一元二次方程均無實根，則有QUOTEΔ1=(a-1)2-4a2<0,Δ2=(2a)2解得{a|-2<a<-1}，所以其補集{a|a≤-2或a≥-1}即為所求的a的取值范圍分析：至少有一個方程有實根可以先假設兩個一元二次方程均無實根，利用反證法解題，可大大簡化解題步驟19.已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，則m與n的大小關系為________．答案：m>n解析：解答：因為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)>a＋b>0，所以eq\f(\r(a)＋\r(b),2)>eq\f(\r(a＋b),2)，所以m>n分析：考查基本不等式比較兩個式子的大小，難度較大20.如果aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實數(shù)a、b應滿足的條件是________．答案：a≠b且a≥0，b≥0解析：解答：aeq\r(a)＋beq\r(b)>aeq\r(b)＋beq\r(a)?aeq\r(a)＋beq\r(b)－aeq\r(b)－beq\r(a)>0?a(eq\r(a)－eq\r(b))＋b(eq\r(b)－eq\r(a))>0?(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0?(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2>0只需a≠b且a，b都不小于零即可分析：考查分析法，利用不等式的運算法則和基本不等式找出使已知條件成立的條件。21.已知三角形的三邊長為a，b，c，其面積為S，求證：a2+b2+c2≥4QUOTE3S.答案：要證a2+b2+c2≥4QUOTE3S，只要證a2+b2+(a2+b2-2abcosC)≥2QUOTE3absinC，即證a2+b2≥2absin(C+30°)，因為2absin(C+30°)≤2ab，只需證a2+b2≥2ab.顯然上式成立.所以a2+b2+c2≥4QUOTE3S解析：分析：考查分析法，利用正弦定理和不等式運算法則找出使已知條件成立的條件22.10.已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點(QUOTEan，an+1)(n∈N*)在函數(shù)y=x2+1的圖象上.（1）求數(shù)列{an}的通項公式.答案：由已知得an+1=an+1，則an+1-an=1，又a1=1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.故an=1+(n-1)×1=n.（2）若數(shù)列{bn}滿足b1=1，bn+1=bn+QUOTE2an，求證：bn·bn+2<.答案：由(1)知，an=n，從而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=QUOTE1-2n1-2=2n-1.因為bn·bn+2-QUOTEbn+12=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2·2n+1+1)=-2n<0，所以bn·bn+2<QUOTEbn+12.解析：分析：要證bn·bn+2<QUOTEbn+12，就是比較bn·bn+2和QUOTEbn+12的大小，比較兩個數(shù)的大小一般用作差法23.已知a，b，c∈(0，1).求證：(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能都大于QUOTE14.答案：證明：假設(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a都大于QUOTE14.因為0<a<1，0<b<1，所以1-a>0.由基本不等式，得QUOTE(1-a)+b2≥QUOTE(1-a)b>QUOTE14=QUOTE12.同理，QUOTE(1-b)+c2>QUOTE12，QUOTE(1-c)+a2>QUOTE12.將這三個不等式兩邊分別相加，得QUOTE(1-a)+b2+QUOTE(1-b)+c