高二物理競賽倒格子、布里淵區(qū)課件

倒格子、布里淵區(qū)

倒格子、布里淵區(qū)一、倒格子1、定義：設(shè)晶格（正格子）的基矢為，定義滿足1 2 3a

,

a

,

ai,j

1,2,30, i

j2

, i

ja

i bj的矢量b1,b2

,

b3

為倒格子基矢。

(h1,

h2

,

h3

0,1,2,3,)

G

h1b1

h2b2

h3b3,稱為倒格子（或倒易點(diǎn)陣、倒易空間晶格）倒格矢晶面間夾角1h2h2

k

2

l

22 2

k

2

l

2

1 1 2h1h2

k1k2

l1l2(h1,

k1,l1

)

,

(h2

,

k2

,l2

)

兩個(gè)晶面系的夾角余弦

cos

解理面密勒指數(shù)簡單的晶面族，其面間距比較大，晶面上格點(diǎn)密度大，晶面之間的結(jié)合力較小，容易劈裂，稱這些晶面為解理面。如：鍺、硅、金剛石的解理面（111）面。(100)(110) (111)二、倒格子與正格子的關(guān)系基矢關(guān)系：倒格子的每一個(gè)基矢與正格子的兩個(gè)基矢正交。23 1 11 2 322 1 31b

a

,

b

ab

a

,

b

ab

a

,

b

a211 231 323213 1 2 d1 3

2 3

a

aa

a

a

a

a

a1

a3a

a

a

da

a

a2

a3a

a

a

da

a

2

b

2

2

b2

2

2

b1

2

由定義得到：

a

a

a

d 1 2 3倒格子基矢的量綱是[長度]-1，與正格子基矢的量綱成倒數(shù)。原胞體積關(guān)系：

a

a

a

d 1 2 3正格子原胞體積倒格子原胞體積dr

d

d

2 3 d 1213132b1 b2 b3)

a

(a

a)(a

a

))(a

a(a

a

2

3

2

3

2

3

(a

a

)

(a

a

)1 3 1 2

利用

A(B

C)

(AC)B

(

A

B)CA

(a1

a3

),

B

a1,C

a2d 1

a

(a

a

)

a

a

(a

a

)

a

a1 3 2 1 1 3 1 2倒格矢與正格子晶面系的關(guān)系：a2/h20GABBCa1a3a23h3a2h2aA、倒格矢）中最靠近原點(diǎn)O的12

3Ghh

h

與正格子晶面系正交

h1b1 h2b2 h3b31 2 3證明：晶面系（

h

,

h

,

h1 2 3晶面ABC在基矢

a

,

a

,

a

上的截距分別是：

1

h1a2a

a13h1 h2 h3a得到在ABC面上的兩個(gè)矢量：h1 h3a

a

3CA

OA

OC

1a

aCB

OB

OC

2

3h2

h3

h1 h3

G

CA

(h1b1

h2b2

h3b3

)

1

3

2

2

0

a

a

h2 h3

G

CB

(h1b1

h2b2

h3b3)

2

3

2

2

0

a

a

倒格矢的模等于晶面系面間距倒數(shù)的12

3Ghh

h

h1b1 h2b2 h3b32

倍。GGGa GGGd

13 32 21

1

11h1h2h3

2hb

h

b

hb

h1

a

h

1

OA(h1,

h2

,

h3

0,1,2,3,)三、晶格周期函數(shù)的傅立葉展開V

(r

)

V

(r

)Rn 晶格周期函數(shù)Rn晶格中某點(diǎn)的位置坐標(biāo)，：晶格平移矢量，rr

a

a

a1

1 2 2 3 31,2

,3為實(shí)數(shù)33221 11 1 2 2 3 31)a

)

V

(

1)a

(

1)a

(V

(r)

V

(

a

a

a

)記為1 2 3

V

(1

1),

(2

1),

(3

1)V

(r)

V

(

,

,

)1 2 3V

(r)

V

(

,

,

)可以展開成周期為１的傅立葉級數(shù)：2

1

2k

G

G按定義，布里淵區(qū)界面是倒格矢

G 的垂直平分面，設(shè)倒格子空間矢量為

k

，如布里淵區(qū)1、定義、意義布里淵區(qū)定義為倒格子空間中的WS原胞。布里淵區(qū)的意義在于它給晶體衍射條件提供了一個(gè)生動(dòng)、清晰的幾何解釋。2、如何確定布里淵區(qū)A、通過布里淵區(qū)界面方程布里淵區(qū)界面方程

k果矢量 的端點(diǎn)在布里淵區(qū)界面上，則有：在倒格子空間中，滿足上式的

k

的端點(diǎn)的集合構(gòu)成布里淵區(qū)界面，稱為布里淵區(qū)界面方程。221 k

G

G按定義，布里淵區(qū)界面是倒格矢

G 的垂直平分面，設(shè)倒格子空間矢量為

k

，如

果矢量

k 的端點(diǎn)在布里淵區(qū)界面上，則有：

的端點(diǎn)的集合構(gòu)成布里淵區(qū)界面，稱為布里淵區(qū)在倒格子空間中，滿足上式的界面方程。kOCGC1k2

1 k1

GC

2

GCDGDk22

1 k2

GD

2

GDB、

按定義作圖第一布里淵區(qū)：在倒格子空間中以某一格點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由原點(diǎn)到最近鄰的倒格點(diǎn)引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，這些所圍區(qū)域。第二布里淵區(qū)：在倒格子空間中以某一格點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由原點(diǎn)到次近鄰的倒格點(diǎn)引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，這些平分面所圍成的界面到第一布里淵區(qū)界面所圍區(qū)域。第三布里淵區(qū)：在倒格子空間中以某一格點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，由原點(diǎn)到再次遠(yuǎn)的倒格點(diǎn)引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，這些平分面所圍成的界面與第一布里淵區(qū)界面、第二布里淵區(qū)界面所圍區(qū)域。第四布里淵區(qū)：?例1：二維正方晶格的布里淵區(qū)二維正方晶格的基矢：

21a

ai

,

a

aj倒格子基矢：i

,

ba 2b1

2

2

jjaa2

2

倒格矢：

G

n1 a i

n2倒格子空間的任意矢量：

k

kxi

ky

j代入布里淵區(qū)界面方程，得到：

1

2k

G

G222 21n

n

n1kx

n2ky

aa ayyx x

,

k

a a得到第一布里淵區(qū)界面方程：

k

,