高中數(shù)學(xué)人教B版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第1章

學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)＝()A．4 B．－4C．－2 D．2【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2，故選D.【答案】D2．(2023·衡水高二檢測(cè))若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程為2x＋y＋1＝0，則()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在【解析】切線的斜率為k＝－2，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(x0)＝－2<0，故選C.【答案】C3．已知曲線y＝x3在點(diǎn)P處的切線的斜率k＝3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05410006】A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)【解析】因?yàn)閥＝x3，所以y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由題意，知切線斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝－1.故點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1)，故選C.【答案】C4．(2023·銀川高二檢測(cè))若曲線f(x)＝x2的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，∵f′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.由題意可知，切線斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，∴x0＝2，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)，∴切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故選A.【答案】A5．曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線的斜率為()A．2 B．－4C．3 \f(1,4)【解】因?yàn)閥′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(－1,x2＋x·Δx)＝－eq\f(1,x2)，所以曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))處的切線斜率為k＝－4，故選B.【答案】B二、填空題6．已知函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖1-1-3所示，則函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是__________(填序號(hào))．圖1-1-3【解析】由y＝f(x)的圖象及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)x<0時(shí)f′(x)>0，當(dāng)x＝0時(shí)f′(x)＝0，當(dāng)x>0時(shí)f′(x)<0，故②符合．【答案】②7．曲線y＝x2－2x＋3在點(diǎn)A(－1,6)處的切線方程是__________.【解析】因?yàn)閥＝x2－2x＋3，切點(diǎn)為點(diǎn)A(－1,6)，所以斜率k＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(－1＋Δx2－2－1＋Δx＋3－1＋2＋3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(Δx－4)＝－4，所以切線方程為y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.【答案】4x＋y－2＝08．若曲線y＝x2＋2x在點(diǎn)P處的切線垂直于直線x＋2y＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________．【解析】設(shè)P(x0，y0)，則y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x0＋Δx2＋2x0＋Δx－x\o\al(2,0)－2x0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.因?yàn)辄c(diǎn)P處的切線垂直于直線x＋2y＝0，所以點(diǎn)P處的切線的斜率為2，所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,0)．【答案】(0,0)三、解答題9．(2023·安順高二檢測(cè))已知拋物線y＝f(x)＝x2＋3與直線y＝2x＋2相交，求它們交點(diǎn)處拋物線的切線方程．【解】由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2＋3，,y＝2x＋2，))得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，y＝4，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)，又eq\f(Δx＋12＋3－12＋3,Δx)＝Δx＋2.當(dāng)Δx趨于0時(shí)，Δx＋2趨于2，所以在點(diǎn)(1,4)處的切線斜率k＝2，所以切線方程為y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.10．試求過(guò)點(diǎn)P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程．【解】y′＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(x＋Δx2－x2,Δx)＝2x.設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A(x0，y0)．∵點(diǎn)A在曲線y＝x2上，∴y0＝xeq\o\al(2,0)，又∵A是切點(diǎn)，∴過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率k＝2x0，∵所求切線過(guò)P(3,5)和A(x0，y0)兩點(diǎn)，∴其斜率為eq\f(y0－5,x0－3)＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3).∴2x0＝eq\f(x\o\al(2,0)－5,x0－3)，解得x0＝1或x0＝5.從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25)．當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線的斜率為k1＝2x0＝2；當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線的斜率為k2＝2x0＝10.∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.[能力提升]1．直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋b()A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】依導(dǎo)數(shù)定義可求得，y′＝3x2＋a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(13×a＋b＝3.,3×12＋a＝k，,k＋1＝3，))由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3，,k＝2，))所以2a＋b＝1，選C.【答案】C2．(2023·天津高二檢測(cè))設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝－1，則過(guò)曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05410007】A．2 B．－1C．1 D．－2【解析】∵eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－f1－x,2x)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－1，∴eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(f1－x－f1,－x)＝－2，即f′(1)＝－2.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率k＝f′(1)＝－2，故選D.【答案】D3．(2023·鄭州高二檢測(cè))已知直線x－y－1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a的值為_(kāi)_______．【解析】設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)．則f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(ax0＋Δx2－ax\o\al(2,0),Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.又y0＝axeq\o\al(2,0)，x0－y0－1＝0，聯(lián)立以上三式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2ax0＝1，,y0＝ax\o\al(2,0)，,x0－y0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,4).【答案】eq\f(1,4)4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公切線，求a，b的值．【解】因?yàn)閒′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(ax＋Δx2＋1－ax2＋1,Δx)＝2ax，所以f′(1)＝2a，即切線斜率k1＝2a.因?yàn)間′(x)＝eq\o(lim,\s\do8(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝