高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 全國(guó)優(yōu)質(zhì)課2

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1與eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的關(guān)系為()A．有相等的長(zhǎng)、短軸長(zhǎng) B．有相等的焦距C．有相同的焦點(diǎn) D．有相同的長(zhǎng)、短軸解析：顯然，兩橢圓的焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)均不相同，但兩方程中的c是一樣的，故有相等的焦距．答案：B2．若方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8sinα)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則銳角α的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))解析：焦點(diǎn)在y軸上，∴8sinα＞4，∴sinα＞eq\f(1,2)，∵α是銳角，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).答案：C3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC頂點(diǎn)A(－4,0)和C(4,0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝()\f(5,4) \f(4,5)C．1 \f(5,8)解析：由方程可知a＝5，b＝3，c＝4.eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋BA,AC)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(5,4).答案：A4．(2023·三明高二檢測(cè))過(guò)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為()\f(\r(2),2) \f(\r(3),3)\f(1,2) \f(1,3)解析：∵∠F1PF2＝60°，∴在Rt△PF1F2中，|PF2|＝2|PF1又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|＝eq\f(2,3)a，又eq\f(|F1F2|,|PF1|)＝eq\f(2c,\f(2,3)a)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，即e＝eq\f(\r(3),3).故選B.答案：B二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x2＋3y2＝24上，則2m＋4的取值范圍是________解析：橢圓方程可化為：eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,8)＝1，∵點(diǎn)(m，n)在橢圓上，∴－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)，∴－2eq\r(3)＋4≤2m＋4≤2eq\r(3)＋4.答案：[－2eq\r(3)＋4,2eq\r(3)＋4]6．已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2)，且G上一點(diǎn)到G的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓G的方程為_(kāi)_______．解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，由2a＝12知a又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，故c＝3eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝36－27＝9.∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1.答案：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1三、解答題(每小題10分，共20分)7．求中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,5eq\r(2))且被直線y＝3x－2截得的弦中點(diǎn)橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)的橢圓方程．解析：設(shè)橢圓方程eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，弦AB的中點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，設(shè)直線y＝3x－2與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2y\o\al(2,1)＋a2x\o\al(2,1)＝a2b2,b2y\o\al(2,2)＋a2x\o\al(2,2)＝a2b2))，得a2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＋b2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，兩邊同時(shí)除以x1－x2，得a2·(x1＋x2)＋b2(y1＋y2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，∴a2·2x0＋b2·2y0·k＝0，∴a2·2×eq\f(1,2)＋b2·2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×3＝0，∴a2＝3b2，又a2－b2＝50，∴eq\f(y2,75)＋eq\f(x2,25)＝1.8.如圖，已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B.(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；(2)若橢圓的焦距為2，且eq\o(AF,\s\up6(→))2＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求橢圓的方程．解析：(1)由∠F1AB＝90°知b＝c，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(c2,b2＋c2))＝eq\f(\r(2),2).(2)由已知條件a2－b2＝1，①設(shè)B(x，y)，A(0，b)，則eq\o(AF2,\s\up6(→))＝(1，－b)，eq\o(F2B,\s\up6(→))＝(x－1，y)，由eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，即(1，－b)＝2(x－1，y)，解得x＝eq\f(3,2)，y＝－eq\f(b,2)，則eq\f(\f(9,4),a2)＋eq\f(\f(b2,4),b2)＝1，解得a2＝3，②①－②得b2＝2.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.eq\x(尖子生題庫(kù))☆☆☆9．(10分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，F(xiàn)1到直線l的距離為2eq\r(3).(1)求橢圓C的焦距；(2)如果eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，求橢圓C的方程．解析：(1)設(shè)焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離2csin60°＝2eq\r(3)，即eq\r(3)c＝2eq\r(3)，故c＝2.橢圓C的焦距為4.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＜0，y2＞0，直線l的方程為y＝eq\r(3)(x－2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－2,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))消去x得(3a2＋b2)y2＋4eq\r(3)b2y－3b4＝0，解得y1＝eq\f(－\r(3)b22＋2a,3a2＋b2)，y2＝eq\f(－\r(3)b22－2a,3a2＋b2)，因?yàn)閑q\o(AF