高中數(shù)學蘇教版1第1章常用邏輯用語1．3全稱量詞與存在量詞 第1章

全稱量詞與存在量詞1.3.1量詞1.3.2含有一個量詞的命題的否定1.理解全稱量詞和存在量詞的意義.(重點)2.能判定全稱命題與存在性命題的真假.(難點)3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.(重點、易混點)[基礎·初探]教材整理1全稱量詞、存在量詞與全稱命題、存在性命題閱讀教材P13，完成下列問題.1.全稱量詞與全稱命題(1)“所有”、“任意”、“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“對任意x”.(2)含有全稱量詞的命題稱為全稱命題，一般形式為：?x∈M，p(x).2.存在量詞和存在性命題(1)“有一個”、“有些”、“存在一個”等表示部分的量詞在邏輯中稱為存在量詞，通常用符號“?x”表示“存在x”.(2)含有存在量詞的命題稱為存在性命題，一般形式為：?x∈M，p(x).判斷正誤：(1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞.()(2)全稱量詞的含義是“任意性”，存在量詞的含義是“存在性”.()(3)全稱命題一定含有全稱量詞，存在性命題一定含有存在量詞.()(4)?x∈M，p(x)與?x∈M，綈p(x)的真假性相反.()【解析】(1)×.“有些”“某個”“有的”都表示部分，是存在量詞.(2)√.由全稱量詞與存在量詞的定義可知(2)正確.(3)×.有些全稱命題與存在性命題可能省略量詞.(4)√.命題p與其否定綈p真假性相反.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2全稱命題與存在性命題的否定閱讀教材P15例1以上部分，完成下列問題.1.全稱命題的否定全稱命題p綈p結論?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)全稱命題的否定是存在性命題2.存在性命題的否定存在性命題p綈p結論?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)存在性命題的否定是全稱命題(2023·安徽高考改編)命題“?x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________.【導學號：24830013】【解析】原命題為全稱命題其否定為“?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0”.【答案】?x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]用量詞表示命題判斷下列命題是否為全稱命題或存在性命題，若是，用符號表示.并判斷其真假.(1)對任意實數(shù)α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一條直線，其斜率不存在；(3)對所有的實數(shù)a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在實數(shù)x0，使得eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2.【精彩點撥】判斷全稱命題還是存在性命題→用符號“?”或“?”表示【自主解答】(1)是全稱命題，用符號表示為“?α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命題.(2)是存在性命題，用符號表示為“?直線l，l的斜率不存在”，是真命題.(3)是全稱命題，用符號表示為“?a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命題.(4)是存在性命題，用符號表示為“?x0∈R，eq\f(1,x\o\al(2,0)－x0＋1)＝2”，是假命題.1.有些命題不是典型的全稱命題或存在性命題，卻表達了相應的意義，這時可適當引入量詞，用量詞表示命題，準確體會命題的含義.2.用符號“?”“?”表示含有量詞的命題時，將存在量詞改為“?”，全稱量詞改為“?”，注意必要時需引入字母來表達命題的含義.[再練一題]1.用符號“?”與“?”表示下列命題：(1)實數(shù)的絕對值大于等于0；(2)存在實數(shù)對，使兩數(shù)的平方和小于1；(3)任意的實數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.【解】(1)?x∈R，|x|≥0.(2)?(x，y)∈R，x2＋y2＜1.(3)?a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.含有量詞的命題的真假判斷判斷下列命題的真假：(1)若a＞0且a≠1，則?x0∈R，ax0＞0；(2)?x∈R，都有x2－x＋1>eq\f(1,2)；(3)?x0，y0∈N，使eq\r(2)x0＋y0＝3.【精彩點撥】結合全稱命題與存在性命題的含義及相關數(shù)學知識進行判斷.【自主解答】(1)∵a>0，∴當x＝1時，ax＝a>0，成立，∴(1)為真命題.(2)∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>eq\f(1,2)，∴x2－x＋1>eq\f(1,2)恒成立，∴(2)是真命題.(3)當x0＝0，y0＝3時，eq\r(2)x0＋y0＝3滿足題意，∴(3)是真命題.全稱命題與存在性命題真假判斷的方法：(1)對于全稱命題“?x∈M，p(x)”：①要證明它是真命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)成立；②要判斷它是假命題，只要在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)不成立即可.(通常舉反例)(2)存在性命題的真假判斷要結合存在量詞來進行，在限定的集合內(nèi)，看能否找到相應的元素使命題成立，能找到，命題為真，否則為假.[再練一題]2.判斷下列命題中的真假：(1)?x∈R,2x－1>0；(2)?x∈N*，(x－1)2>0；(3)?x0∈R，lgx0<1；(4)?x0∈R，tanx0＝2.【解】(1)命題“?x∈R,2x－1>0”是全稱命題，易知2x－1>0恒成立，故是真命題；(2)命題“?x∈N*，(x－1)2>0”是全稱命題，當x＝1時，(x－1)2(3)命題“?x0∈R，lgx0<1”是存在性命題，當x＝1時，lgx(4)命題“?x0∈R，tanx0＝2”含有一個量詞的命題的否定寫出下列命題的否定，并判斷真假：(1)p：?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一個實數(shù)x0，使xeq\o\al(3,0)＋1＝0.【精彩點撥】首先弄清楚所給命題是全稱命題還是存在性命題，然后針對量詞和結論兩個方面進行否定.【自主解答】(1)綈p：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0，假命題.∵?x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0恒成立，∴綈p是假命題.(2)綈q：至少存在一個正方形不是矩形，假命題.(3)綈r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命題.∵?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0恒成立∴綈r是真命題.(4)綈s：?x∈R，x3＋1≠0，假命題.∵x＝－1時，x3＋1＝0，∴綈s是假命題.1.寫一個命題的否定的步驟：首先判定該命題是“全稱命題”還是“存在性命題”，并確定相應的量詞，其次把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞同時否定結論.2.對于省略量詞的命題，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定.[再練一題]3.寫出下列命題的否定：(1)p：一切分數(shù)都是有理數(shù)；(2)q：有些三角形是銳角三角形；(3)r：?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝x0＋2;(4)s：?x∈R,2x＋4≥0.【導學號：24830014】【解】(1)綈p：有些分數(shù)不是有理數(shù)；(2)綈q：所有的三角形都不是銳角三角形；(3)綈r：?x∈R，x2＋x≠x＋2；(4)綈s：?x0∈R,2x0＋4＜0.[探究共研型]全稱命題與存在性命題的綜合應用探究1(1)“?x∈R，a＝x2”的含義是什么？(2)“?x∈[1,2]，a＝x2”若上述兩個命題是真命題，試分別求出a的取值范圍.【提示】(1)“?x∈R，a＝x2”的含義是方程x2－a＝0有實數(shù)根，所以其判別式Δ＝4a≥0，解得a≥0；(2)“?x∈[1,2]，a＝x2”的含義是方程x2－a＝0在[1,2]內(nèi)有實數(shù)根，也就是函數(shù)y＝x2，x∈[1,2]和函數(shù)y＝a的圖象有交點，因為x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a的取值范圍是1≤a≤探究2(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是什么？(2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是什么？若上述兩個命題是真命題，試分別求出a【提示】(1)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是對于所有的，一切在[1,2]內(nèi)的x，不等式a＜x2都恒成立，所以a要小于x2的最小值.因為x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a＜1；(2)“?x∈[1,2]，a＜x2”的含義是在[1,2]內(nèi)至少有一個x，使不等式a＜x2成立，此時只要a不大于x2的最大值即可.因為x∈[1,2]，所以x2∈[1,4]，所以a≤(1)若命題p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.(2)若“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝m”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍是________.【精彩點撥】(1)轉化為不等式的恒成立問題；(2)轉化為方程有實數(shù)根的問題.【自主解答】(1)ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命題，即不等式ax2＋4x＋a≥－2x2＋1對?x∈R恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋(a－1)≥0恒成立.當a＋2＝0時，不符合題意.故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,Δ≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2>0，,16－4a＋2a－1≤0，))解得a≥2.(2)方法一：由于“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2＝m”是真命題，則實數(shù)m的取值集合就是二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋2的值域，即{m|m≥1}.方法二：依題意，方程x2＋2x＋2－m＝0有實數(shù)解，∴Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1.【答案】(1)[2，＋∞)(2)[1，＋∞)應用全稱命題與存在性命題求參數(shù)范圍的常見題型1.全稱命題的常見題型是“恒成立”問題，全稱命題為真時，意味著命題對應的集合中的每一個元素都具有某種性質，所以可以代入，也可以根據(jù)函數(shù)等數(shù)學知識來解決.2.存在性命題的常見題型是以適合某種條件的結論“存在”“不存在”“是否存在”等語句表達.解答這類問題，一般要先對結論作出肯定存在的假設，然后從肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理證明，若推出合理的結論，則存在性隨之解決；若導致矛盾，則否定了假設.[再練一題]4.若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，則實數(shù)a的取值范圍是________.【導學號：24830015】【解析】當a≤0時，顯然存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0；當a>0時，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a<1.【答案】a<11.下列命題是全稱命題的是________.(1)有一個向量a0，a0的方向不能確定；(2)對任何實數(shù)a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.【解析】(1)中含有量詞“有一個”，是存在性命題，(2)中含有量詞“任何”，是全稱命題.【答案】(2)2.下列全稱命題：①實數(shù)都有倒數(shù)；②自然數(shù)都是正整數(shù)；③小數(shù)都是有理數(shù)；④無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù).其中真命題的是________.【解析】由于0沒有倒數(shù)，故①錯誤；由于0不是正整數(shù)，故②錯誤；由于無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，故③錯誤，④正確.【答案】④3.已知命題p：?x∈R，cosx≤1，則綈p是________.【解析】p為全稱命題，綈p應為存在性命題.【答案】?x0∈R，cosx0＞14.對任意x>3，x>a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【解析】對任意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.【答案】(－∞，3]5.將下列命題用量詞符號“?”或“?”表示.(1)整數(shù)中1最??；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一個負根；(3)對于某些實數(shù)x，有2x＋1>0；(4)若l⊥α，則直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線.【解】(1)?x∈Z，x≥1.(2)?x0<0，axeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0(a<1).(3)?x0∈R,2x0＋1>0.(4)若l⊥