北師大版高中數(shù)學必修第二冊第五章復數(shù)_第1頁
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文檔簡介

1.1復數(shù)的概念第五章復數(shù)課標闡釋

1.了解數(shù)系的擴充與引進復數(shù)的必要性.(數(shù)學抽象)2.理解復數(shù)的有關概念及其代數(shù)形式.(數(shù)學抽象)3.掌握復數(shù)相等的充要條件及其應用.(數(shù)學運算)思維脈絡

激趣誘思知識點撥數(shù)的概念是不斷發(fā)展的.由于計數(shù)的需求產(chǎn)生了自然數(shù);為了使方程x+4=0有解,引入了負數(shù);為了使方程3x-2=0有解,引入了分數(shù);為了使方程x2=2有解,引入了無理數(shù),數(shù)系擴充到了實數(shù)集;引進無理數(shù)以后,我們已經(jīng)能使方程x2=a(a>0)永遠有解,但是當a<0時,方程x2=a(a<0)在實數(shù)范圍內無解,為了使方程x2=a(a<0)有解,就必須把實數(shù)概念進一步擴大,至此引入了復數(shù).這一節(jié)我們就學習一下復數(shù)的概念.激趣誘思知識點撥一、復數(shù)的概念形如a+bi(其中a,b∈R)的數(shù)叫作復數(shù),通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a稱為復數(shù)z的實部,記作Rez,b稱為復數(shù)z的虛部,記作Imz.對于復數(shù)a+bi,當且僅當b=0時,它是實數(shù);當且僅當a=b=0時,它是實數(shù)0;當b≠0時,叫作虛數(shù);當a=0且b≠0時,叫作純虛數(shù).名師點析1.因為i2=-1,所以虛數(shù)單位i實質是-1的一個平方根,當然i也可看做是方程x2=-1的一個根.2.對于復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),注意其虛部是b,而不是bi.激趣誘思知識點撥微思考1兩個復數(shù)一定能比較大小嗎?提示不一定,只有當這兩個復數(shù)是實數(shù)時,才能比較大小.微思考2復數(shù)a+bi的實部是a,虛部是b嗎?提示不是,對于復數(shù)z=a+bi,只有當a,b∈R時,才能得出z的實部為a,虛部為b,若沒有a,b∈R的條件,則不能說a,b就是z的實部與虛部.激趣誘思知識點撥二、復數(shù)的分類根據(jù)復數(shù)中a,b的取值不同,復數(shù)可以有以下的分類:全體復數(shù)構成的集合稱為復數(shù)集,記作C,顯然R?C.名師點析1.形如z=bi的數(shù)不一定是純虛數(shù),只有b∈R,且b≠0時,bi才是純虛數(shù),否則不一定是純虛數(shù).2.若z是純虛數(shù),可設z=bi(b∈R,b≠0);若z是虛數(shù),可設z=a+bi(b∈R,且b≠0);若z是復數(shù),可設z=a+bi(a,b∈R).激趣誘思知識點撥3.復數(shù)分類的集合表示如右圖所示.4.正整數(shù)集N+,自然數(shù)集N,整數(shù)集Z,有理數(shù)集Q,實數(shù)集R,復數(shù)集C的關系為N+?N?Z?Q?R?C.激趣誘思知識點撥微練習1若復數(shù)z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數(shù),則實數(shù)x的值為(

)A.-1

B.0C.1 D.-1或1答案A激趣誘思知識點撥微練習2已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},若M∩P={3},則實數(shù)m的值為(

)A.-1

B.-1或4C.6 D.6或-1解析因為M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以m=-1.故選A.答案A激趣誘思知識點撥三、復數(shù)相等的充要條件兩個復數(shù)a+bi與c+di(a,b,c,d∈R)相等定義為:它們的實部相等且虛部相等,即a+bi=c+di當且僅當a=c且b=d.名師點析兩個復數(shù)不一定能比較大小1.若兩個復數(shù)全是實數(shù),則可以比較大小;反之,若兩個復數(shù)能夠比較大小,說明這兩個復數(shù)都是實數(shù).2.當兩個復數(shù)不全是實數(shù)時,就不能比較它們的大小,只能說它們相等還是不相等.3.根據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件,如果a=c,b=d兩式中至少有一個不成立,那么就有a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).激趣誘思知識點撥微練習若(x+y)i=x-1,則實數(shù)x,y的值分別是(

)A.1,1

B.-1,1C.1,0 D.1,-1答案D探究一探究二探究三當堂檢測對復數(shù)相關概念的理解例1(多選)下列命題中,錯誤的是(

)A.復數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構成B.若復數(shù)z=3m+2ni,則其實部與虛部分別為3m,2nC.在復數(shù)z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,則復數(shù)z一定不是純虛數(shù)D.若a∈R,且a≠0,則(a+3)i是純虛數(shù)解析A錯,復數(shù)由實數(shù)與虛數(shù)構成,在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù).B錯,只有當m,n∈R時,才能說復數(shù)z=3m+2ni的實部與虛部分別為3m,2n.C正確,復數(shù)z=x+yi(x,y∈R)為純虛數(shù)的條件是x=0且y≠0,只要x≠0,則復數(shù)z一定不是純虛數(shù).D錯,只有當a∈R,且a≠-3時,(a+3)i才是純虛數(shù).答案ABD探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

判斷復數(shù)概念方面的命題真假的注意點1.正確理解復數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、實部、虛部、復數(shù)相等的概念,注意它們之間的區(qū)別與聯(lián)系;2.注意復數(shù)集與實數(shù)集中有關概念與性質的不同;3.注意通過列舉反例來說明一些命題的真假.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練1下列命題中,正確的是(

)A.1-ai(a∈R)是一個復數(shù)B.形如a+bi(b∈R)的數(shù)一定是虛數(shù)C.兩個復數(shù)一定不能比較大小D.若a>b,則a+i>b+i解析由復數(shù)的定義知A正確;當a∈R,且b=0時a+bi(b∈R)表示實數(shù),故B錯誤;如果兩個復數(shù)同時是實數(shù)時,可以比較大小,故C錯誤;a+i與b+i不能比較大小,故D錯誤.答案A探究一探究二探究三當堂檢測復數(shù)分類及其應用

探究一探究二探究三當堂檢測探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

利用復數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項1.利用復數(shù)的分類求參數(shù)時,首先應將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),若不是這種形式,應先化為這種形式,得到實部與虛部,再求解;2.要注意確定使實部、虛部的式子有意義的條件,再結合實部與虛部的取值求解;3.要特別注意復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a=0,且b≠0.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練2已知m∈R,復數(shù)z=lgm+(m2-1)i,當m為何值時,(1)z為實數(shù)?(2)z為虛數(shù)?(3)z為純虛數(shù)?探究一探究二探究三當堂檢測復數(shù)相等的充要條件及其應用例3已知關于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有實數(shù)根,則實數(shù)m的值為

,方程的實根x為

.

解析設x=a是原方程的實根,則a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,由于a,m∈R,由復數(shù)相等的充要條件,探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

復數(shù)相等問題的解題技巧(1)必須是復數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程組求解.(2)根據(jù)復數(shù)相等的條件,將復數(shù)問題轉化為實數(shù)問題,為應用方程思想提供了條件,同時這也是復數(shù)問題實數(shù)化思想的體現(xiàn).探究一探究二探究三當堂檢測延伸探究若將本例中的方程改為:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解?探究一探究二探究三當堂檢測答案D探究一探究二探究三當堂檢測2.下列命題中:①若a∈R,則ai為純虛數(shù);②若a,b∈R,且a>b,則a+i>b+i;③兩個虛數(shù)不能比較大小;④x+yi的實部、虛部分別為x,y.其中正確命題的序號是

.

解析①當a=0時,0i=0,故①不正確;②虛數(shù)不能比較大小,故②不正確;③正確;④x+yi中未標注x,y∈R,故若x,y為復數(shù),則x+yi的實部、虛部未必是x,y,④不正確.答案③探究一探究二探究三當堂檢測3.設復數(shù)z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,如果z是純虛數(shù),求m的值.1.2復數(shù)的幾何意義課標闡釋

1.了解復平面的概念.(數(shù)學抽象)2.理解復數(shù)、復平面內的點、復平面內的向量之間的對應關系.(數(shù)學抽象)3.掌握復數(shù)模的概念,會求復數(shù)的模.(數(shù)學運算)4.掌握共軛復數(shù)的概念及幾何意義.(數(shù)學抽象)思維脈絡

激趣誘思知識點撥19世紀末20世紀初,著名的德國數(shù)學家高斯在證明代數(shù)基本定理時,首次引進“復數(shù)”這個名詞.他把復數(shù)與平面內的點一一對應起來,創(chuàng)立了復平面,依賴平面內的點或有向線段(向量)建立了復數(shù)的幾何基礎.復數(shù)的幾何意義,從形的角度表明了復數(shù)的“存在性”,為進一步研究復數(shù)奠定了基礎.激趣誘思知識點撥一、復平面如圖,點Z的橫坐標是a,縱坐標是b,復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用點Z(a,b)表示.這個通過建立平面直角坐標系來表示復數(shù)的平面稱為復平面,x軸稱為實軸,y軸稱為虛軸.顯然,實軸的點都表示實數(shù);除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù).微思考虛軸上的點都對應著唯一的純虛數(shù)嗎?提示不是.激趣誘思知識點撥二、復數(shù)的幾何意義1.復數(shù)與點的對應復數(shù)z=a+bi與復平面內的點Z(a,b)是一一對應的,即復數(shù)z=a+bi

復平面內的點Z(a,b).2.復數(shù)與向量的對應如圖,復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復平面內的

也是一一對應的,即復數(shù)z=a+bi

平面向量

.激趣誘思知識點撥名師點析1.復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)用復平面內的點Z(a,b)表示,復平面內點Z的坐標是(a,b),而非(a,bi).也就是說復平面內的虛軸上的單位長度是1,而不是i.2.復數(shù)與平面向量建立一一對應關系的前提是向量的起點是原點.若起點不是原點,則復數(shù)與向量就不能建立一一對應關系.激趣誘思知識點撥微練習A.(1,2)

B.(-1,2)C.(-1,-2) D.(1,-2)答案C激趣誘思知識點撥三、復數(shù)的模

激趣誘思知識點撥微練習1已知0<a<2,復數(shù)z的實部為a,虛部為1,則|z|的取值范圍是(

)A.(1,5)

B.(1,3)答案C激趣誘思知識點撥微練習2復數(shù)z=-3+2i的模為(

)A.1 B.3答案C激趣誘思知識點撥四、共軛復數(shù)若兩個復數(shù)的實部相等,而虛部互為相反數(shù),則稱這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).復數(shù)z的共軛復數(shù)用

表示.當z=a+bi(a,b∈R)時,=a-bi.顯然,在復平面內,表示兩個共軛復數(shù)的點關于實軸對稱,并且它們的模相等.另外,當復數(shù)z=a+bi的虛部b=0時,有

=z.也就是說,任意一個實數(shù)的共軛復數(shù)仍是它本身,反之亦然.名師點析1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,則z1,z2互為共軛復數(shù)的充要條件是a=c且b=-d.2.共軛復數(shù)的特點(1)在復平面內,表示兩個共軛復數(shù)的點到坐標原點的距離相等.激趣誘思知識點撥微練習1(多選)下列互為共軛復數(shù)的是(

)A.1+i與1-i

B.2i與-2iC.2與2 D.3+2i與-3+2i解析A中,1+i與1-i滿足實部相等,虛部互為相反數(shù);B中,2i與-2i的實部都是0,虛部互為相反數(shù);C中,2與2的實部相等都是2,虛部都是0,互為相反數(shù);D中,3+2i與-3+2i的實部不相等,虛部也不是互為相反數(shù),不是互為共軛復數(shù).綜上,故選ABC.答案ABC微練習2若x-2+yi和3x-i(x,y∈R)互為共軛復數(shù),則x=

,y=

.

答案-1

1探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數(shù)與點的對應關系例1求實數(shù)a分別取何值時,復數(shù)

+(a2-2a-15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件:(1)在復平面的第二象限內.(2)在復平面內的x軸上方.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

利用復數(shù)與點的對應關系的解題步驟(1)找對應關系:復數(shù)的幾何表示法即復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復平面內的點Z(a,b)來表示,是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程:此類問題可建立復數(shù)的實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.探究一探究二探究三探究四當堂檢測延伸探究(1)本例中題設條件不變,求復數(shù)z表示的點在x軸上時,實數(shù)a的值.(2)本例中條件不變,如果點Z在直線x+y+7=0上,求實數(shù)a的值.解(1)因為點Z在x軸上,所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.故a=5時,點Z在x軸上.探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數(shù)與復平面內向量的對應例2在復平面上,點A,B,C對應的復數(shù)分別為1+4i,-3i,2,O為復平面的坐標原點.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

1.若復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則復數(shù)z在復平面內對應的向量2.復平面內向量對應的復數(shù)可以通過向量的坐標運算求得.3.一個向量不管怎樣平移,它所對應的復數(shù)是不變的,但其起點與終點對應的復數(shù)改變.探究一探究二探究三探究四當堂檢測變式訓練1四邊形ABCD是復平面內的平行四邊形,A,B,C三點對應的復數(shù)分別是1+3i,-i,2+i.(1)求點D對應的復數(shù);(2)求△ABC的邊BC上的高.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數(shù)的模及其應用

反思感悟

1.計算復數(shù)的模時,應先確定其實部與虛部,再套用公式計算.2.兩個復數(shù)不一定能夠比較大小,但兩個復數(shù)的模一定可以比較大小.探究一探究二探究三探究四當堂檢測答案1+2i或-1-2i探究一探究二探究三探究四當堂檢測共軛復數(shù)及其應用例4(2019全國Ⅱ高考)設z=-3+2i,則在復平面內

對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由z=-3+2i,得

=-3-2i,則在復平面內

對應的點(-3,-2)位于第三象限,故選C.答案C反思感悟

本節(jié)內容對共軛復數(shù)的要求有兩點:一是會利用定義寫出已知復數(shù)的共軛復數(shù);二是明確互為共軛的兩個復數(shù)表示的點的對稱關系.探究一探究二探究三探究四當堂檢測變式訓練3已知i是虛數(shù)單位,復數(shù)z=1+i,則

的實部與虛部之和為(

)A.1 B.0 C.-2 D.2解析

=1-i,實部為1,虛部為-1,所以實部與虛部之和為1+(-1)=0.答案B探究一探究二探究三探究四當堂檢測1.(多選)已知復數(shù)z=1+i,則下列命題中正確的為(

)A.|z|=B.=1-iC.z的虛部為iD.z在復平面上對應點在第一象限解析復數(shù)z=1+i,則|z|=.故A正確;=1-i,故B正確;z的虛部為1,故C錯誤;z在復平面上對應點的坐標為(1,1),在第一象限,故D正確.故選ABD.答案ABD探究一探究二探究三探究四當堂檢測2.若復數(shù)z的共軛復數(shù)是2+3i,則|z|=

.

答案92.1復數(shù)的加法與減法課標闡釋

1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算法則.(數(shù)學運算)2.理解復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算的幾何意義.(數(shù)學抽象)3.能夠利用復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算法則及幾何意義解決問題.(數(shù)學抽象)思維脈絡

激趣誘思知識點撥乘飛機從上海到香港約2.5小時,從香港到臺北約4小時,因此從上海經(jīng)香港轉航到臺北約6.5小時.在兩岸同胞的共同努力下,現(xiàn)在實現(xiàn)兩岸直航,上海到臺北只需約90分鐘,比直航前節(jié)省約5小時.有關航行節(jié)時的多少,體現(xiàn)了實數(shù)集內的代數(shù)運算.復數(shù)集內可進行復數(shù)的四則運算嗎?激趣誘思知識點撥一、復數(shù)加、減法的運算法則與運算律1.兩個復數(shù)的和仍是一個復數(shù).兩個復數(shù)的和的實部是它們的實部的和,兩個復數(shù)的和的虛部是它們的虛部的和.(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2.兩個復數(shù)的差仍是一個復數(shù).兩個復數(shù)的差的實部是它們的實部的差,兩個復數(shù)的差的虛部是它們的虛部的差.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3.復數(shù)加法運算滿足如下運算律(1)結合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(2)交換律:z1+z2=z2+z1.激趣誘思知識點撥名師點析1.復數(shù)的加、減法是一種規(guī)定,減法是加法的逆運算,可以推廣到多個復數(shù)相加減.2.當復數(shù)的虛部為零時,與實數(shù)的加、減法完全一致.3.實數(shù)加法的交換律、結合律在復數(shù)集中仍然成立.激趣誘思知識點撥微練習1已知復數(shù)z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2等于(

)A.8i B.6C.6+8i D.6-8i解析z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6,故選B.答案B微練習2若復數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于(

)A.0 B.2iC.6 D.6-2i解析因為z+i-3=3-i,所以z=3+3-i-i=6-2i,故選D.答案D激趣誘思知識點撥二、復數(shù)加法的幾何意義

名師點析復數(shù)加法運算的幾何意義類似于向量加法運算的平行四邊形法則.激趣誘思知識點撥微思考兩個復數(shù)的和是個什么數(shù),它的值唯一確定嗎?提示是復數(shù),唯一確定.微練習解析(5-4i)+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0.答案0激趣誘思知識點撥三、復數(shù)減法的幾何意義

激趣誘思知識點撥名師點析1.復數(shù)減法的幾何定義的實質(1)根據(jù)復數(shù)減法的幾何意義知,兩個復數(shù)對應向量的差所對應的復數(shù)就是這兩個復數(shù)的差.(2)在確定兩復數(shù)的差所對應的向量時,應按照“首同尾連向被減”的方法確定.2.由復數(shù)加減法的幾何意義可得結論:||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.激趣誘思知識點撥微思考若復數(shù)z1,z2滿足z1-z2>0,能否認為z1>z2?提示不能,如3+2i-2i>0,但3+2i與2i不能比較大小.微練習A.2+4i

B.-2+4iC.-4+2i D.4-2i答案D探究一探究二探究三當堂檢測復數(shù)的加法、減法運算

答案1+i(2)解(方法一)設z=x+yi(x,y∈R),因為z+1-3i=5-2i,所以x+yi+(1-3i)=5-2i,即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i.(方法二)因為z+1-3i=5-2i,所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

復數(shù)加、減運算的方法技巧1.可把復數(shù)運算類比實數(shù)運算.若有括號,先計算括號里面的;若沒有括號,可以從左到右依次進行.2.當利用交換律、結合律抵消掉某些項的實部或虛部時,可以利用運算律簡化運算,注意正負號法則與實數(shù)相同,不能弄錯.探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練1(1)計算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=

.

(2)若(1-3i)+z=6+2i,則復數(shù)z=

.

解析(1)(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i.(2)由已知得z=(6+2i)-(1-3i)=5+5i.答案(1)-2-4i

(2)5+5i探究一探究二探究三當堂檢測復數(shù)加、減運算的幾何意義

探究一探究二探究三當堂檢測探究一探究二探究三當堂檢測反思感悟

向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù).利用向量加法“首尾相接”和向量減法“指向被減向量”的特點,在三角形內可求得第三個向量及其對應的復數(shù).注意向量

對應的復數(shù)是zB-zA(終點對應的復數(shù)減去起點對應的復數(shù)).探究一探究二探究三當堂檢測變式訓練2如圖所示,平行四邊形OABC的頂點O,A,C分別對應復數(shù)0,3+2i,-2+4i.求:探究一探究二探究三當堂檢測復數(shù)模的最值問題

反思感悟

復數(shù)模的問題求解策略|z1-z2|表示復平面內z1,z2對應的兩點間的距離.利用此性質,可把復數(shù)模的問題轉化為復平面內兩點間的距離問題,數(shù)形結合把復數(shù)問題轉化為幾何圖形問題求解.探究一探究二探究三當堂檢測延伸探究若本例中條件改為已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值.解因為|z|=1且z∈C,如圖:所以|z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復平面上的點P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.探究一探究二探究三當堂檢測1.若復數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z等于(

)A.0 B.2iC.6 D.6-2i解析z=3-i-(i-3)=6-2i.答案D探究一探究二探究三當堂檢測答案C探究一探究二探究三當堂檢測3.若復數(shù)z滿足|z-i|=3,則復數(shù)z對應的點Z的軌跡所圍成的圖形的面積為

.

解析由條件知|z-i|=3,所以點Z的軌跡是以點(0,1)為圓心,以3為半徑的圓,故其面積為S=9π.答案9π4.已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,求|z1-z2|.2.2

復數(shù)的乘法與除法

*2.3

復數(shù)乘法幾何意義初探課標闡釋

1.掌握復數(shù)的乘法與除法,能夠進行復數(shù)的乘、除運算.(數(shù)學運算)2.掌握虛數(shù)單位i冪值的周期性,能進行有關的運算.(數(shù)學運算)3.能在復數(shù)范圍內解有關方程問題.(數(shù)學運算)思維脈絡

激趣誘思知識點撥我們知道,兩個實數(shù)的乘法對加法來說滿足分配律,即a,b,c∈R時,有(a+b)c=ac+bc,而且,實數(shù)的正整數(shù)次冪滿足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均為正整數(shù),那么,復數(shù)的乘法應該如何規(guī)定,才能使得類似的運算法則仍成立呢?激趣誘思知識點撥一、復數(shù)的乘法及其運算律1.定義復數(shù)的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律及乘法對加法的分配律,即對任意z1,z2,z3∈C,有(1)交換律:z1·z2=z2·z1;(2)結合律:(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)乘法對加法的分配律:z1·(z2+z3)=z1·z2+z1·z3.3.對復數(shù)z,z1,z2和正整數(shù)m,n有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=4.互為共軛復數(shù)的兩個復數(shù)的乘積是實數(shù),等于這個復數(shù)(或其共軛復數(shù))模的平方.即若z=a+bi(a,b∈R),則z·=|z|2=||2=a2+b2.激趣誘思知識點撥名師點析1.對復數(shù)乘法的三點說明(1)類比多項式運算:復數(shù)的乘法運算與多項式乘法運算很類似,可仿多項式乘法進行,但結果要將實部、虛部分開(i2換成-1).(2)運算律:多項式乘法的運算律在復數(shù)乘法中仍然成立,乘法公式也適用.(3)常用結論:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.2.共軛復數(shù)的性質激趣誘思知識點撥微練習1復數(shù)i(2-i)=(

)A.1+2i

B.1-2iC.-1+2i D.-1-2i解析i(2-i)=1+2i.答案A微練習2如果復數(shù)(m2+i)(1+mi)是實數(shù),則實數(shù)m等于(

)A.1 B.-1解析因為(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是實數(shù),m∈R,所以得m3+1=0,即m=-1.答案B激趣誘思知識點撥微練習3A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i答案A激趣誘思知識點撥二、復數(shù)范圍內一元二次方程的解法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在復數(shù)范圍內的根名師點析復數(shù)集內一元二次方程的解法類型實系數(shù)一元二次方程復系數(shù)一元二次方程Δ的作用可以用來判斷根的情況不能用來判斷根的情況求根公式適用適用韋達定理適用適用激趣誘思知識點撥微練習1若關于x的方程x2+(1-2i)x+a-i=0(a∈R)有實數(shù)根,則這個實數(shù)根等于(

)答案B激趣誘思知識點撥微練習2已知1+i是關于x的方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實數(shù)),則b,c的值分別為(

)A.-2,2 B.2,-2C.-1,1 D.1,-1解析因為1+i是關于x的方程x2+bx+c=0的一個根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.答案A激趣誘思知識點撥三、復數(shù)的除法

激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥微練習1答案B激趣誘思知識點撥微練習2答案D激趣誘思知識點撥四、in的周期性激趣誘思知識點撥微練習1i2020=

.

解析i2

020=i4×505=1.答案1激趣誘思知識點撥*五、復數(shù)乘法幾何意義初探

探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數(shù)的乘法與除法運算例1計算下列各題:解(1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15;(2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i;探究一探究二探究三探究四當堂檢測反思感悟

1.復數(shù)乘法運算的技巧(1)復數(shù)乘法與實數(shù)多項式乘法類似,在計算兩個復數(shù)的乘積時,先按照多項式的乘法展開,再將i2換成-1,最后合并同類項.(2)三個或三個以上的復數(shù)相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算,混合運算和實數(shù)的運算順序一致.(3)在復數(shù)乘法運算時,若符合乘法公式,則可直接運用公式計算.例如(a±b)2=a2±2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)對于復數(shù)的高次乘方運算,可以利用公式

=zmn(m,n∈Z)進行轉化求解.探究一探究二探究三探究四當堂檢測2.復數(shù)除法運算的技巧(1)根據(jù)復數(shù)的除法,通過分子、分母都乘分母的共軛復數(shù),使“分母實數(shù)化”,這個過程與“分母有理化”類似.(2)復數(shù)除法運算的結果要進行化簡,通常要寫成復數(shù)的代數(shù)形式,即實部與虛部要完全分開的形式.探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測i的乘方的周期性及應用例2(1)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復數(shù)為(

)A.i B.-i C.1 D.-1(2)計算i1+i2+i3+…+i2019+i2020=

.

解析(1)因為i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共軛復數(shù)為i.故選A.(2)因為i1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2

019+i2

020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

013+i2

014+i2

015+i2

016)+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)=0.答案(1)A

(2)0反思感悟

虛數(shù)單位i的周期性(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推廣到整數(shù)集.(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).探究一探究二探究三探究四當堂檢測探究一探究二探究三探究四當堂檢測與復數(shù)有關的方程問題例3設關于x的一元二次方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實數(shù)根,則銳角θ以及實數(shù)根分別為(

)探究一探究二探究三探究四當堂檢測答案C反思感悟

與復數(shù)有關的方程問題,一般是利用復數(shù)相等的充要條件,把復數(shù)問題實數(shù)化進行求解,此時根與系數(shù)的關系仍適用,但判別式“Δ”不再適用.探究一探究二探究三探究四當堂檢測變式訓練2已知關于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實根b,求實數(shù)a,b的值.探究一探究二探究三探究四當堂檢測復數(shù)乘法幾何意義初探

反思感悟

求解此類題目關鍵是要理解所求復數(shù)表示的向量是如何由已知復數(shù)所表示的向量旋轉得到的,可利用數(shù)形結合的方法,將已知或所求復數(shù)所表示的向量在復平面內表示出來,可直觀地觀察旋轉的角度.探究一探究二探究三探究四當堂檢測延伸探究若將z3后面表達式中的3變?yōu)?,其結果如何?探究一探究二探究三探究四當堂檢測1.對于非零復數(shù)a,b,有以下四個命題②(a+b)2=a2+2ab+b2.③若|a|=|b|,則a=±b.④若a2=ab,則a=b.則一定為真的有(

)A.②④ B.①③ C.①② D.③④解析對于①,取a=-i,則a+=0,①不正確;對于②,對于任意復數(shù)a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2,②正確;對于③,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,③錯誤;對于④,由a2=ab及a≠0,得a=b,命題④正確.所以正確的命題是②④,故選A.答案A探究一探究二探究三探究四當堂檢測答案B探究一探究二探究三探究四當堂檢測答案-1-2i答案1+I3.1復數(shù)的三角表示式

3.2復數(shù)乘除運算的幾何意義課標闡釋

1.通過復數(shù)的幾何意義,了解復數(shù)的三角表示.(數(shù)學抽象)2.了解復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間的關系.(數(shù)學抽象)3.了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.(數(shù)學運算)思維脈絡

激趣誘思知識點撥建筑表皮設計是地產(chǎn)黃金十年期間的熱門領域.在眾多新建筑和國際設計競賽中,建筑表皮設計或是成為建筑方案的特點之一,或是成為建筑師的創(chuàng)意核心.建筑表皮設計古已有之,并不是近年涌現(xiàn)的新生事物.從古代宗教建筑的立面裝飾處理到密斯設計的玻璃幕墻立面都屬于建筑表皮設計.20世紀后半葉,現(xiàn)代建筑的一元化局面遭遇挑戰(zhàn),建筑表皮開始呈現(xiàn)多元化傾向.那么,復數(shù)有哪些表現(xiàn)形式呢?除了坐標表示,還有什么表示方法呢?激趣誘思知識點撥一、復數(shù)的三角表示式

激趣誘思知識點撥于是,任何復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)都可以表示為z=r(cosθ+isinθ),其中這個式子稱為復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的三角表示式,簡稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分,a+bi稱為復數(shù)的代數(shù)表示式,簡稱代數(shù)形式.當z=r(cosθ+isinθ)≠0時,z的輻角有無窮多個值,這些值相差2π的整數(shù)倍.為確定起見,將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱為輻角的主值,記作argz,即0≤argz<2π.每一個非零復數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個非零復數(shù)相等,當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.顯然當a>0時,arga=0,arg(-a)=π,arg(ai)如果z=0,那么與它對應的向量

縮成一個點(零向量),它的方向是任意的,所以復數(shù)0的輻角也是任意的.激趣誘思知識點撥名師點析(1)復數(shù)的三角形式的特征:①模r≥0.②括號內需滿足:前余弦,后正弦,角相同.③cos

θ與isin

θ之間用加號連結.簡單地說,復數(shù)三角形式的結構特征是:模非負,角相同,余弦前,加號連.不符合條件的都不是三角形式.(2)在復數(shù)的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但為了簡單起見,復數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式時,一般將θ寫成主值.激趣誘思知識點撥微思考(1)復數(shù)a+bi(a,b∈R)與復平面內的點和向量是如何一一對應的?提示根據(jù)復平面的建立原則,復數(shù)a+bi與復平面內的點Z(a,b)是一一對應的,與平面向量

=(a,b)也是一一對應的.(2)若角θ的頂點在坐標原點,始邊在x軸非負半軸上,已知終邊上一點P(x,y),如何表示角θ的三角函數(shù)?(3)終邊相同的角有什么關系?提示終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍.激趣誘思知識點撥微練習1寫出下列復數(shù)的輻角主值:激趣誘思知識點撥答案A激趣誘思知識點撥二、復數(shù)三角形式的乘法法則與幾何意義1.復數(shù)乘法運算的三角表示若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),則z1z2=r1r2·[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].兩個復數(shù)相乘,積的模等于它們模的積,積的輻角等于它們輻角的和.簡單地說,兩個復數(shù)三角形式相乘的法則為:模數(shù)相乘,幅角相加.2.復數(shù)乘法

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