D3-1微分中值定理;D3-2洛必達法則

課前練習(xí)高等數(shù)學(xué)（上）一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一節(jié)中值定理

第三章四、三個中值定理的關(guān)系高等數(shù)學(xué)（上）1.費爾馬(Fermat)引理設(shè)f(x)在x0點的某個鄰域內(nèi)有定義,若f(x)滿足:(1)在x0點取得最大值(或最小值);(2)在x0可導(dǎo)(即f'(x0)存在);則有f'(x0)=0.一、羅爾中值定理高等數(shù)學(xué)（上）2.羅爾(Rolle)定理設(shè)函數(shù)f(x)滿足:(1)在[a,b]上連續(xù);(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b).則至少存在一點(a,b),使f'()=0.幾何解釋端點等高連綿不斷的光滑曲線必有水平切線.一、羅爾中值定理高等數(shù)學(xué)（上）注意Rolle定理的三個條件缺一不可,否則結(jié)論未必成立.例如一、羅爾中值定理高等數(shù)學(xué)（上）例1例2一、羅爾中值定理例3高等數(shù)學(xué)（上）★重要應(yīng)用

設(shè)輔助函數(shù)的步驟：1.將要證明的等式移項,使左端是的函數(shù),右端是零;2.用x代替,將左端化為某函數(shù)的導(dǎo)數(shù),或通過恒等變形化為某函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3.設(shè)此函數(shù)為F(x).一、羅爾中值定理但要構(gòu)造函數(shù)F(x),使F(x)滿足中值定理條件.證明含有的恒等式一般采取Rolle中值定理,高等數(shù)學(xué)（上）例4一、羅爾中值定理例5高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）規(guī)律:要證等式輔助函數(shù)例如高等數(shù)學(xué)（上）高等數(shù)學(xué)（上）右圖告訴我們,如果曲線弧AB是一條連續(xù)光滑的曲線,且端點處等高,那么在AB曲線段上,至少能找到一點P,過P點作曲線的切線恰好平行于x軸也平行于直線AB.二、拉格朗日中值定理高等數(shù)學(xué)（上）若函數(shù)f(x)滿足:(1)在[a,b]上連續(xù);(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則至少存在一點(a,b),使2.拉格朗日(Lagrange)中值定理-----拉格朗日中值公式的常用形式連續(xù)處處有切線的曲線,必有平行于兩個端點所在直線的切線.幾何解釋二、拉格朗日中值定理高等數(shù)學(xué)（上）拉格朗日公式的等價形式說明

拉格朗日中值公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間二、拉格朗日中值定理上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.在函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間架起了橋梁,為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ).高等數(shù)學(xué)（上）說明函數(shù)的增量可以精確的表示為函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某二、拉格朗日中值定理點處的導(dǎo)數(shù)與自變量改變量的乘積,因此拉格朗日中值定理又稱為有限增量定理.高等數(shù)學(xué)（上）推論2.定理的推論注意在開區(qū)間內(nèi)使用推論二、拉格朗日中值定理高等數(shù)學(xué)（上）例7證明:當(dāng)0<a<b時,二、拉格朗日中值定理例5證明等式例6證明不等式高等數(shù)學(xué)（上）設(shè)函數(shù)f(x),

g(x)滿足:(1)在[a,b]上連續(xù);(2)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且x(a,b),g'(x)0則至少存在一點(a,b),使三、柯西(Cauchy)中值定理三、柯西中值定理高等數(shù)學(xué)（上）f(a)=f(b)g(x)=xRolle定理Lagrange定理Cauchy定理微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理,拉四、三個中值定理的關(guān)系格朗日中值定理是羅爾定理的推廣,柯西定理是拉格朗日中值定理的推廣.高等數(shù)學(xué)（上）三、其他未定式的極限二、洛必達法則一、問題的提出第二節(jié)洛必達法則第三章高等數(shù)學(xué)（上）兩個無窮小量或兩個無窮大量之商的極限,隨著一、問題的提出函數(shù)形式的不同,其極限值可能存在,也可能不存在;可能是無窮小量,也可能是無窮大量,因此被稱之為“未定式”，記為型或型.高等數(shù)學(xué)（上）定理1((0/0)型的洛必達法則)若且則例1計算例2計算二、洛必達法則高等數(shù)學(xué)（上）注意1

洛必達法則是求解未定型極限的有效方法,1)等價無窮小替換法;洛必達法則的運算;3)使用洛必達法則的同時,結(jié)合化簡.但是要結(jié)合各種方法,以求最捷方式.2)將極限存在的非零因子分離出來不參與二、洛必達法則高等數(shù)學(xué)（上）注意2

只要滿足條件,可多次使用洛必塔法則.即但每次使用前都必須檢驗極限類型是否為型；

如二、洛必達法則高等數(shù)學(xué)（上）例4求例5例3求二、洛必達法則高等數(shù)學(xué)（上）例6求高等數(shù)學(xué)（上）定理2(型洛必達法則)若且則二、洛必達法則高等數(shù)學(xué)（上）例8計算例7計算二、洛必達法則例9計算例10計算高等數(shù)學(xué)（上）例11計算例12計算在使用洛必達法則時,若不存在,也不為,不能說明原極限不存在,此時洛必達法則“失效”,改用其他方法計算.高等數(shù)學(xué)（上）1)只有才有洛必達法則;5)其他類型的未定型,只有先轉(zhuǎn)化為后才有可二、洛必達法則2)

每用一次洛必達法則后,都要檢驗?zāi)芊窭^續(xù)使用;3)

要善于利用第一章中的方法,簡化極限的計算;4)

注意洛必達法則失效的情形;使用洛必達法則注意事項:能使用洛必達法則.高等數(shù)學(xué)（上）三、其它未定式極限未定式:基本類型:其他類型:高等數(shù)學(xué)（上）轉(zhuǎn)化方式:“化乘為除”例13通?？梢园凑铡胺磳缛浮迸判?排在前面的函數(shù)放在分子上,后面的函數(shù)放在分母上.例14例15三、其它未定式極限高等數(shù)學(xué)（上）轉(zhuǎn)化方式:例16計算三、其它未定式極限“合二為一”例17計算高等數(shù)學(xué)（上）轉(zhuǎn)化方式:冪指函數(shù)未定式,借助對數(shù)恒等式.例18計算高等數(shù)學(xué)（上）例20計算例21計算注意數(shù)列的極限,應(yīng)先轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)極限,才能例19計算三、其它未定式極限使用洛必達法則.高等數(shù)學(xué)（上）求極限是未定式嗎？N1.極限運算法則2.