高中數(shù)學北師大版2第一章推理與證明 第1章3反證法

§3反證法1.了解間接證明的一種基本方法——反證法.2.理解反證法的概念及思考過程和特點.(難點)3.掌握反證法證題的基本步驟，會用反證法證明相關(guān)的數(shù)學問題.(重點、難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理反證法閱讀教材P13～P14“例3”以上內(nèi)容，完成下列問題.1.反證法的定義在證明數(shù)學命題時，先假定命題結(jié)論的反面成立，在這個前提下，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題的結(jié)論成立.這種證明方法叫作反證法.2.反證法證明的思維過程反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導出邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程.用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示：eq\x(\a\al(肯定條件p，,否定結(jié)論q))→eq\x(\a\al(導致邏,輯矛盾))→eq\x(\a\al(“p且﹁q”,為假))→eq\x(\a\al(“若p則q”,為真))判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)反證法屬于間接證明問題的方法.()(2)反證法的證明過程既可以是合情推理，也可以是一種演繹推理.()(3)反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾.()【解析】(1)正確.反證法其實是證明其逆否命題成立，所以它屬于間接問題的方法.(2)錯誤.反證法從證明過程看是一種嚴謹?shù)难堇[推理.(3)錯誤.反證法推出的矛盾可以與已知相矛盾.【答案】(1)√(2)×(3)×[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]用反證法證明否定性命題等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.【精彩點撥】第(1)問應(yīng)用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d兩式求解.第(2)問先假設(shè)存在三項bp，bq，br成等比數(shù)列，再用反證法證明.【自主解答】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2)).(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))eq\s\up8(2)＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，這與p≠r矛盾.所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列.1.當結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適合應(yīng)用反證法.例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導出矛盾.2.反證法必須從否定結(jié)論進行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法.3.常見否定詞語的否定形式如下表所示：否定詞語否定詞語的否定形式?jīng)]有有不大于大于不等于等于不存在存在[再練一題]1.已知方程f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒有負數(shù)根.【證明】假設(shè)x0是方程f(x)＝0的負數(shù)根，則x0<0，x0≠－1且ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，所以ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1).又當x0<0時，0<ax0<1，故0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即0<－1＋eq\f(3,x0＋1)<1，1<eq\f(3,x0＋1)<2，解得eq\f(1,2)<x0<2.這與x0<0矛盾，所以假設(shè)不成立，故方程f(x)＝0沒有負數(shù)根.用反證法證明“至多”“至少”問題已知x，y，z均大于零，求證：x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)這三個數(shù)中至少有一個不小于4.【精彩點撥】本題中含有“至少”，不宜直接證明，故可采用反證法證明.【自主解答】假設(shè)x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)都小于4，即x＋eq\f(4,y)<4，y＋eq\f(4,z)<4，z＋eq\f(4,x)<4，于是得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))<12，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,z)))≥2eq\r(x·\f(4,x))＋2eq\r(y·\f(4,y))＋2eq\r(z·\f(4,z))＝12，這與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))<12矛盾，因此假設(shè)錯誤，即x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)中至少有一個不小于4.1.用反證法證明“至少”“至多”型命題，可減少討論情況，目標明確.否定結(jié)論時需弄清楚結(jié)論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯誤.2.用反證法證明“至多”“至少”問題時常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：結(jié)論詞反設(shè)詞結(jié)論詞反設(shè)詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n－1個p或q﹁p且﹁q至多有n個至少有n＋1個p且q﹁p或﹁q[再練一題]2.若x>0，y>0，且x＋y>2，求證：eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.【導學號：94210018】【證明】假設(shè)eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x，1＋x≥2y，兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，這與已知中x＋y>2矛盾，∴假設(shè)不成立，原命題成立.故eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.[探究共研型]用反證法證明“唯一性”命題探究1用反證法證明數(shù)學命題的步驟是什么？【提示】(1)反設(shè)：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真.(2)歸謬：從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果.(3)存真：由矛盾的結(jié)果斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.探究2如何證明兩條相交直線有且只有一個交點？【提示】假設(shè)兩條直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經(jīng)過點A，B的直線就有兩條，這與“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”相矛盾.所以兩條相交直線有且只有一個交點.已知一點A和平面α.求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面α垂直.【精彩點撥】【自主解答】根據(jù)點A和平面α的位置關(guān)系，分兩種情況證明.(1)如圖(1)，點A在平面α內(nèi)，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經(jīng)過點A的一條直線a.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，aα，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.(1)(2)如圖(2)，點A在平面α外，假設(shè)經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B，C為垂足)，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC，因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BCα，所以AB⊥BC，AC⊥BC.(2)在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經(jīng)過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.綜上，經(jīng)過一點A只能有一條直線和平面α垂直.證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性.當證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了.[再練一題]3.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點.【證明】由于f(x)在[a，b]上的圖像連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個零點，設(shè)零點為m，則f(m)＝0，假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個零點n，即f(n)＝0，則n≠m.若n>m，則f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，則f(n)<f(m)，即0<0，矛盾.因此假設(shè)不正確，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點.[構(gòu)建·體系]1.應(yīng)用反證法推出矛盾的推理過程中可作為條件使用的是()①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論.A.①② B.②③C.①②③ D.①②④【解析】根據(jù)反證法的基本思想，應(yīng)用反證法推出矛盾的推導過程中可把“結(jié)論的否定”“已知條件”“公理、定理、定義等”作為條件使用.【答案】C2.實數(shù)a，b，c不全為0等價于()，b，c均不為0，b，c中至多有一個為0，b，c中至少有一個為0，b，c中至少有一個不為0【解析】不全為0即至少有一個不為0，故選D.【答案】D3.命題“△ABC中，若A>B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()<b ≤b＝b ≥b【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故選B.【答案】B4.用反證法證明某命題時，對某結(jié)論：“自然數(shù)a，b，c中無偶數(shù)”，正確的假設(shè)為________.【導學號：94210019】【解析】a，b，c中無偶數(shù)，即a，b，c都是奇數(shù)，反設(shè)應(yīng)是“a，b，c中至少有一個偶數(shù)”.【答案】a，b，c中至少有一個偶數(shù)5.若a，b，c互不相等，證明：三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根.【證明】假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根，則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，這與a，b，c互不相等矛盾.∴假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(五)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.用反證法證明“三角形中最多只有一個內(nèi)角為鈍角”，下列假設(shè)中正確的是()A.有兩個內(nèi)角是鈍角B.有三個內(nèi)角是鈍角C.至少有兩個內(nèi)角是鈍角D.沒有一個內(nèi)角是鈍角【解析】“最多有一個”的反設(shè)是“至少有兩個”，故選C.【答案】C2.下列命題錯誤的是()A.三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°B.四面體的三組對棱都是異面直線C.閉區(qū)間[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)至多有一個零點D.設(shè)a，b∈Z，若a，b中至少有一個為奇數(shù)，則a＋b是奇數(shù)【解析】a＋b為奇數(shù)?a，b中有一個為奇數(shù)，另一個為偶數(shù)，故D錯誤.【答案】D3.“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定正確的為()，b，c都是奇數(shù)，b，c都是偶數(shù)，b，c中至少有兩個偶數(shù)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)【解析】自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數(shù)；(2)2個奇數(shù)，1個偶數(shù)；(3)1個奇數(shù)，2個偶數(shù)；(4)3個都是偶數(shù).所以否定正確的是a，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù).【答案】D4.設(shè)x，y，z都是正實數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個數(shù)()【導學號：94210020】A.至少有一個不大于2B.都小于2C.至少有一個不小于2D.都大于2【解析】若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6，②顯然①②矛盾，所以C正確.【答案】C5.(2023·溫州高二檢測)用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)三角形的三個內(nèi)角A，B，C中有兩個直角，不妨設(shè)A＝B＝90°，正確順序的序號為()A.①②③ B.①③②C.②③① D.③①②【解析】根據(jù)反證法的步驟，應(yīng)該是先提出假設(shè)，再推出矛盾，最后否定假設(shè)，從而肯定結(jié)論.【答案】D二、填空題6.(2023·南昌高二檢測)命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________.【解析】“至少有一個”的否定是“沒有一個”.【答案】任意多面體的面沒有一個是三角形或四邊形或五邊形7.(2023·汕頭高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是________.【解析】eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的關(guān)系有三種情況：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反設(shè)應(yīng)為“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”.【答案】eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)8.(2023·石家莊高二檢測)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號).【解析】若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出.對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1.【答案】③三、解答題9.已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明：a，b，c至少有一個不小于1.【證明】假設(shè)a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3.而與a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋3≥3矛盾，故假設(shè)不成立，即a，b，c至少有一個不小于1.10.已知三個正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不成等差數(shù)列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列.【證明】假設(shè)eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數(shù)列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，兩邊同時平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數(shù)列，這與a，b，c不成等差數(shù)列矛盾.所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數(shù)列.[能力提升]1.有以下結(jié)論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.下列說法中正確的是()A.①與②的假設(shè)都錯誤B.①與②的假設(shè)都正確C.①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯誤D.①的假設(shè)錯誤；②的假設(shè)正確【解析】用反證法證題時一定要將對立面找準.在①中應(yīng)假設(shè)p＋q>2，故①的假設(shè)是錯誤的，而②的假設(shè)是正確的.【答案】D2.已知命題“在△ABC中，A≠B.求證sinA