連續(xù)性與間斷點(diǎn)

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第一章可見,函數(shù)在點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;continue若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:證明:由定義知解:右連續(xù)但不左連續(xù),例討論函數(shù)在處的連續(xù)性.例設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),試求解:依題意于是練習(xí)設(shè)時(shí)為連續(xù)函數(shù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).在內(nèi)連續(xù).例證明在在(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一,函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)

.在無定義

;二、函數(shù)的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例如:顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).例：確定間斷點(diǎn)的類型.解:

間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).例討論函數(shù)所以x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.所以

x=1是第一類可去間斷點(diǎn);解:顯然x=1,x=2是函數(shù)的間斷點(diǎn)練習(xí)

1.指出函數(shù)的間斷點(diǎn),并判斷其類型.

2.確定函數(shù)的間斷點(diǎn),并判斷其類型.內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極