人教版九上24.1.2垂直于弦的直徑課件-人教新課標(biāo)版

24.1.2垂直于弦的直徑

問題：你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋,是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37.4m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m.問題情境你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．

一、實踐探究如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB于E點．（1）這個圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？?思考·OABCDE二、（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AE與BE重合，AC與BC重合，AD與BD重合．因此AE=BE

即直徑CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒⌒OBCD·AE⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂徑定理：垂直于弦的直徑，平分弦且平分弦所對的兩條?。畾w納條件結(jié)論換言之：垂徑定理：若一條直線滿足：條件（1）過圓心（2）垂直于弦，則它（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧，（5）平分弦所對的劣?。部梢哉f：直徑垂直于弦垂徑定理三種語言1.定理垂直于弦的直徑，平分弦且平分弦所的兩條弧●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒

AC=BC,⌒⌒

AD=BD.如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE（1）CD⊥AB嗎？為什么？（2）?思考·OABCDE⌒AC與BC相等嗎？AD與BD相等嗎？為什么？⌒⌒⌒三、③AM=BM,由①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直徑③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ幾何語言表達(dá)推論：·OABCDE若直徑平分弦（弦不是直徑），則這條直徑垂直于弦，且平分弦所對的兩條弧.歸納：或者說：若直徑平分一條不是直徑的弦，則這條直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言表述：AC=BCCD⊥AB,由CD是直徑AE=BE可推得⌒⌒AD=BD⌒⌒ＤＣＡＢＥＯ定理及推論，總結(jié)：一條直線只需滿足：條件（1）過圓心（2）垂直于弦，（3）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧，（5）平分弦所對的劣弧．中的任意兩個條件，就能推出其它三個.簡稱“知二推三”.駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.（）

(2)平分弦的直徑一定垂直于弦.（）.(3)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的弧.（）√小試牛刀：如圖，已知在⊙O中，弦AB的長為8厘米，圓心O到AB的距離為3厘米，求⊙O的半徑。解：連結(jié)OA，作OE⊥AB于點E，則OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，據(jù)勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半徑為5厘米。注意：圓心到弦的距離叫弦心距.AEBO⊙O中最長的弦是多少呢？解決求趙州橋拱半徑的問題如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R．過圓心O作弦AB

的垂線OC，垂足為D，OC與AB相交于點D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB

的中點，C是AB的中點，CD就是拱高．AB=48米，CD=16米BODACR實踐應(yīng)用：⌒⌒⌒⌒⌒⊙O半徑為10，弦AB=12，CD=16，且AB∥CD.求AB與CD之間的距離.

拓廣探索二.DBAC.DBAC如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是直徑，且AE=BEOE=5，AB=24，求⊙O的半徑·OABCDE練一練：駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我畫一畫2.已知：如圖,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.圖中相等的線段有:

.圖中相等的劣弧有:

.FEOMNABCD及時反饋

已知：如圖，直徑AB⊥CD，垂足為P。⑴若半徑R=5，CD=8，求OP、BP的長。⑵若半徑R=2，OP=1，求CD、BP的長。POCDBA1.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.提高練習(xí)

2.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE?！郃E－CE＝BE－DE

即AC＝BD.ACDBOE注意：解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，它是一種常用輔助線的添法．判斷下列說法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦

⑤平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑥在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧辨別是非4:在圓O中，直徑CE⊥AB于

D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圓O的半徑。

反思：在⊙O中，若⊙O的半徑r、圓心到弦的距離d、弦長a中，任意知道兩個量，可根據(jù)

定理求出第三個量：CDBAO3：如圖，圓O的弦AB＝8㎝，

DC＝2㎝，直徑CE⊥AB于D，求半徑OC的長。垂徑直徑MN⊥AB,垂足為E,交弦CD于點F.練習(xí)5:如圖，CD為圓O的直徑，弦

AB交CD于E，∠CEB=30°，

DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長。6已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD⌒⌒.MCDABON證明：作直徑MN⊥AB?！逜B∥CD，∴MN⊥CD。則AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直徑平分弦所對的?。?/p>

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒總結(jié):

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常是過圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連結(jié)半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。船能過拱橋嗎2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為7.2米,拱頂高出水面2.4米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里,此貨船能順利通過這座拱橋嗎？相信自己能獨(dú)立完成解答.船能過拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點,C是的中點,CD就是拱高.由題設(shè)得在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過這座拱橋.垂徑定