二次函數(shù)與一元二次方程第一課時(shí)

義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)九年級(jí)上冊(cè)人民教育出版社22.2二次函數(shù)與一元二次方程（第1課時(shí)）問(wèn)題:如圖以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系h=20t－5t2考慮以下問(wèn)題：（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地需要用多少時(shí)間？

所以可以將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程，如果方程有合乎實(shí)際的解，則說(shuō)明球的飛行高度可以達(dá)到問(wèn)題中h的值；否則，說(shuō)明球的飛行高度不能達(dá)到問(wèn)題中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3當(dāng)球飛行1s和3s時(shí)，它的高度為15m．分析：由于球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2當(dāng)球飛行2s時(shí)，它的高度為20m．t1=2s20m（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因?yàn)椋ǎ?）2－4×4.1＜0，所以方程無(wú)解．球的飛行高度達(dá)不到20.5m．20m（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4當(dāng)球飛行0s和4s時(shí)，它的高度為0m，即0s時(shí)球從地面發(fā)出，4s時(shí)球落回地面．0ｓ４ｓ

從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反過(guò)來(lái)，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值．觀察下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？由此，你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？（1）y=x2＋x－2（2）y=x2－6x＋9（3）y=x2－x＋1（1）拋物線y=x2＋x－2與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)是－2，1.當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是0.由此得出方程x2＋x－2＝0的根是－2，1.（2）拋物線y=x2－6x＋9與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，這點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3.當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)的值是0．由此得出方程x2－6x＋9＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根3.（3）拋物線y=x2－x＋1與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，由此可知，方程x2－x＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．xyO1y=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－21．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(1)探究：觀察圖22-2-1：圖22-2-1①二次函數(shù)y＝x2＋x－1的圖象與x軸有______個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程x2＋x－1＝0的根的判別式Δ______0.2>②二次函數(shù)y＝x2－4x＋4的圖像與x軸有______個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的判別式Δ______0.1＝③二次函數(shù)y＝x2－x＋2的圖象與x軸________公共點(diǎn)，則一元二次方程x2－x＋2＝0的根的判別式Δ______0.無(wú)<

歸納：(1)如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝x0

時(shí)，函數(shù)的值是____，因此x＝x0

就是方程______________的一個(gè)根．0ax2＋bx＋c＝0(2)如下表：兩兩一一0判別式：b2－4ac二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸的公共點(diǎn)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根b2－4ac＞0與x軸有____個(gè)公共點(diǎn)有________個(gè)實(shí)數(shù)根b2－4ac＝0與x軸有____個(gè)公共點(diǎn)有________個(gè)實(shí)數(shù)根b2－4ac＜0與x軸有____個(gè)公共點(diǎn)有________個(gè)實(shí)數(shù)根0知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

【例1】已知二次函數(shù)y＝mx2－6x＋1(m是常數(shù))的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值．

思路點(diǎn)撥：“只有一個(gè)交點(diǎn)”等價(jià)于“方程只有一個(gè)根”．

解：當(dāng)m＝0時(shí)，函數(shù)y＝－6x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)m≠0時(shí)，∵函數(shù)y＝mx2－6x＋1的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)， ∴方程mx2－6x＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． ∴(－6)2－4m＝0，解得m＝9.

故m的值為9.【跟蹤訓(xùn)練】C1．函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)2．若拋線y＝(a－1)x2＋2x＋1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為_(kāi)_______．2知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系

【例2】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖22-2-3，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：

(1)寫(xiě)出關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集；

(2)寫(xiě)出關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集． 圖22-2-3

思路點(diǎn)撥：ax2

＋bx＋c>0的解集就是二次函數(shù)y＝ax2

＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值；反之，ax2＋bx＋c<0的解集就是二次函數(shù)y＝ax2

＋bx＋c的圖象在x軸下方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值．解：(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|1<x<3}．(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集為{x|x<1或x>3}．以a>0為例列表如下：b2－4ac的符號(hào)b2－4ac>0b2－4ac＝0b2－4ac<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象關(guān)于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}全體實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}無(wú)實(shí)數(shù)解無(wú)實(shí)數(shù)解【跟蹤訓(xùn)練】

5．如圖22-2-4，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交于(1,0)，(5,0)兩點(diǎn)，那么當(dāng)y≥0時(shí)，x的取值范圍_____________．圖22-2-4{x|x<1或x>5}

6．如圖22-2-5是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝1，若其與x軸一交點(diǎn)為A(3,0)，則由圖象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是__________．圖22-2-5

解析：∵二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，則另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)．∵不等式ax2＋bx＋c＜0即為y＜0的部分，∴不等式的解集是－1＜x＜3.（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共