2021-2022學年廣東省深圳實驗學校高二上學期第二階段考試數(shù)學試題(Word版)

因為a+a>0,nn-1所以nn2時a—a因為a+a>0,nn-1所以nn2時a—a—2—0，即a—a—2nn-1nn-1所以數(shù)列｛a｝因為是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,na—1+2(n—1)—2n—1?n(2)b=a——(2n-1)■—,n2n2n2n6分T=1x—+3x丄+5xF(2n-1)x—①n2122232nT=1x+3x+5x+(2n—1)x2n2223242n+1①-②得：1T=—+2x—+2x-+2x——(2n—1)x丄2n2122232n2n+18分1=—+211齊1-2-)2n-1—(2n—1)x12n+112n-1—(2n—1)x12n+113所以一T———(2n+3)2n2L2n+1Tn-3-(2n+3)2n10分11分12分（本題滿分12分）在直線l:x—y+8—0上任取一點M，過M且以橢圓廠：竺+丘—1的焦點為焦點作259橢圓?（1）若所作的橢圓的長軸最短，求橢圓E的方程；（2）求（1）問所求橢圓E上的點到直線l距離的最大值.x2y2解：（I）橢圓-+才—1的焦點為*4,0）,A。）,2分（法一）因為點M在所求的橢圓上，所以長軸長2a—IMFI+1MFI?12又長軸要求最短，即在直線l:x—y+8—0上求一點M，使得IMFI+1MFI的值最小.12設(shè)點F（—4,0）關(guān)于直線l:x—y+8—0的對稱點為F'（%,y1），-2^所以F1'(所以F1'(—8,4).6分<1x-4—1I2所作的橢圓的長軸長2a—(IMFI+IMFI)—IF'FI—4丘0.12min12TOC\o"1-5"\h\z即a=2*0,c=4,b2=a2-c2=24，所求橢圓E的方程為蘭+止=1……8分4024x2y2(法二)設(shè)所求橢圓E的方程為一+=1(a2>16)2分a2a一16x-y+8=0貝卩由<x2y2，得(2a2一16)x2+16a2x+80a2一a4=04分一+—-——=1、a2a2一16a2>16,a2a2一16>0△=8a4一56x8a2+640x8>0解得：a2>40或a2<16(舍去)TOC\o"1-5"\h\z所求橢圓E的方程為竺+蘭=1.8分4024（11）（法一）設(shè)直線1':x-y+m=0與直線1平行且與橢圓E:40+釜=1相切,x一y+m=0即8x2+10mx+5m2一120=0,則由<x2y即8x2+10mx+5m2一120=0,1=1〔4024沁=100m2-32(5m2-120)=0，解得m=±8，所以1':x-y-8=0,11分亠|-8一81l1':x—y—8=0與1:x—y+8=0之間的距離d==8*2，v'2即橢圓E上的點到直線1距離的最大值為8<2.12分（注：也可以由（I）知1與橢圓E相切，又橢圓E關(guān)于原點對稱，所以1關(guān)于原點的對稱直線x-y-8=0即為1'.)(法二)設(shè)橢圓E上任點P(2、：10cos0,2x6sin0)，9分則點P到直線1距離d=|2"0cos0一￥6sin0+81=|2、虧cos0-^3sin0+4迓1

V2=l%2cos(0+9)+4運1，其中cos9=乂°，sin9二^6.44而-1<cos(0+9)<1，所以橢圓E上的點到直線1距離的最大值為8占.12分（本題滿分12分）已知動直線1:y=kx+b（b豐0）與拋物線x2=2py（p為常數(shù)，且p>0）相交于A,B兩點，以弦AB為直徑的圓C恒經(jīng)過坐標原點.（1）求證:直線1過定點，并求出這個定點；（2）求動圓C的圓心C的軌跡方程.解：（1）直線1:y=kx+b，設(shè)A（x，y），B（x，y），1丿1__2_2則以弦AB為直徑的圓恒經(jīng)過坐標原點oOA-OB=0oxx+yy=0.1分1212y二kx+b叫兀2二2py得X2-2PPX-2Pb二0'所以Xi十丁2Pk，T2一切?…3分yy=(kx+b)(kx+b)=k2xx+bk(x+x)+b212121212TOC\o"1-5"\h\z=k2-(-2pb)+bk-2pk+b2=b2.4分所以xx+yy=—2pb+b2=0，解得b=2p或b=0(舍去)5分1212所以l:y=kx+2p恒經(jīng)過定點(0,2p).6分(2)因為圓心C是線段AB的中點，設(shè)圓心C(x,y),A(xi,yi),B(x2,y2),因為A(xi,yi),B(x2,y2)在拋物線x2=2py上,所以x2=2py,x2=2py，相減得x