對(duì)實(shí)數(shù)域的認(rèn)識(shí)

實(shí)數(shù)域認(rèn)識(shí)摘要:實(shí)數(shù)，是一種能和數(shù)軸上的點(diǎn)有一對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)。本來(lái)實(shí)數(shù)只喚作數(shù)，彳爰來(lái)引入的虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作，實(shí)數(shù)”一一意義是“實(shí)在的數(shù)”。關(guān)鍵詞：實(shí)數(shù)域，特性，傳遞性，公理系統(tǒng)阿基米德（Archimedes）性，稠密性，唯一性正文：實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，或代數(shù)數(shù)和超越數(shù)兩類，或正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)和零三類。有理數(shù)可以分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)，而整數(shù)可以分為正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。分?jǐn)?shù)可以分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。無(wú)理數(shù)可以分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)。實(shí)數(shù)集合通常用字母R或RAn表示。而RAn表示n為實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)分析的核心研究對(duì)象 實(shí)數(shù)可以用來(lái)測(cè)量連續(xù)的量的。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無(wú)窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)彳n位，n為正整數(shù)）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)（floatingpointnumbe）。實(shí)數(shù)可以用來(lái)測(cè)量連續(xù)的量。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無(wú)窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后n位，n為正整數(shù)，包括整數(shù)）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示。1） 相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，他們的和為零，我們就說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)）實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a。2） 絕對(duì)值（在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)a與原點(diǎn)0的距離）實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是：laia為正數(shù)時(shí)，lal=aa為0時(shí)，lal=0a為負(fù)數(shù)時(shí)，lal=a（任何數(shù)的絕對(duì)值都大于或等于0，因?yàn)榫嚯x沒有負(fù)的。）3） 倒數(shù)（兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是1，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)）實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是：1/a（a^04） 數(shù)軸（1） 數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。（2） 數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。實(shí)數(shù)域-歷史埃及人早在公元前1000年就開始運(yùn)用分?jǐn)?shù)了。在公元前500年左右，以畢達(dá)哥拉斯為首的希臘數(shù)學(xué)家們就意識(shí)到了無(wú)理數(shù)存在的必要性。印度人于公元600年左右發(fā)明了負(fù)數(shù)，據(jù)說(shuō)中國(guó)也曾發(fā)明負(fù)數(shù)，但稍晚于印度。在1871年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾最早地全面地給出了實(shí)數(shù)的定義。從有理數(shù)構(gòu)造實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)可以用通過(guò)收斂于一個(gè)唯一實(shí)數(shù)的十進(jìn)制或二進(jìn)制展開如{3,3.1,3.14,3.141,3.1415,...}所定義的序列的方式而構(gòu)造為有理數(shù)的補(bǔ)全。實(shí)數(shù)可以不同方式從有理數(shù)構(gòu)造出來(lái)。這里給出其中一種，其他方法請(qǐng)?jiān)斠妼?shí)數(shù)的構(gòu)造。公理的方法設(shè)R是所有實(shí)數(shù)的集合，則：集合R是一個(gè)域：可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等常見性質(zhì)。域R是個(gè)有序域，即存在全序關(guān)系土，對(duì)所有實(shí)數(shù)x,y和z：若x>y貝x+z>y+z；若x>0且y>0貝xy>0。集合R滿足完備性，即任意R的有空子集S（SER，S更①），若S在R內(nèi)有上界，那么S在R內(nèi)有上確界。最后一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于2的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上界，如1.5；但是不存在有理數(shù)上確界（因?yàn)榇?不是有理數(shù)）。實(shí)數(shù)通過(guò)上述性質(zhì)唯一確定。更準(zhǔn)確的說(shuō)，給定任意兩個(gè)有序域R1和R2,存在從R1到R2的唯一的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。實(shí)數(shù)域-公理系統(tǒng)實(shí)數(shù)可實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)算有加、減、乘、除、乘方等，對(duì)非負(fù)數(shù)（即正數(shù)和0）還可以進(jìn)行開方運(yùn)算。實(shí)數(shù)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）、平方后結(jié)果還是實(shí)數(shù)。任何實(shí)數(shù)都可以開奇次方，結(jié)果仍是實(shí)數(shù)，只有非負(fù)實(shí)數(shù)，才能開偶次方其結(jié)果還是實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)對(duì)于四則運(yùn)算封閉性實(shí)數(shù)集R對(duì)加、減、乘、除（除數(shù)不為零）四則運(yùn)算具有封閉性，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為零）仍然是實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)集有序性實(shí)數(shù)集是有序的，即任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b必定滿足下列三個(gè)關(guān)系之一:a<b,a=b,a>b.如果R是所有實(shí)數(shù)的集合，則：集合R是一個(gè)體：可以作加、減、乘、除運(yùn)算，且有如交換律，結(jié)合律等運(yùn)算規(guī)律。集合R是有序的：設(shè)x,y和z為實(shí)數(shù)，則：若x>y貝x+z>y+z;若x>0且y>0貝xy>0.集合R是完整的：設(shè)R的一個(gè)非空的子集合S（<math>S\inR,S\ne\emptyset</math>）,如果S在R內(nèi)有上限，那幺S在R內(nèi)有最小上限。最彳爰一條是區(qū)分實(shí)數(shù)和有理數(shù)的關(guān)鍵。例如所有平方小于2的有理數(shù)的集合存在有理數(shù)上限（1.5）,但是不存在有理數(shù)最小上限（<math>\sqrt2</math>）。實(shí)數(shù)是唯一適合似上等特性的集合：亦即如有兩個(gè)如此集合，則兩者之間必存在代數(shù)學(xué)上所稱的域同構(gòu)，即代數(shù)學(xué)上兩者可看作是相同的。特性實(shí)數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b,b>c，則有a>c.實(shí)數(shù)的阿基米德性實(shí)數(shù)具有阿基米德(Archimedes)性，即對(duì)任何a，bER，若b>a>0，則存在正整數(shù)n，使得na>b.實(shí)數(shù)的稠密性實(shí)數(shù)集R具有稠密性，即兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)之間必有另一個(gè)實(shí)數(shù)，既有有理數(shù)，也有無(wú)理數(shù).實(shí)數(shù)唯一性如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點(diǎn)，指定一個(gè)方向?yàn)檎较?通常把指向右的方向規(guī)定為正方向)，并規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)與數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)；反之，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)也都唯一的表示一個(gè)實(shí)數(shù)。于是，實(shí)數(shù)集R與數(shù)軸上的點(diǎn)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 完備性作為度量空間或一致空間，實(shí)數(shù)集合是個(gè)完備空間，它有以下性質(zhì)：所有實(shí)數(shù)的柯西序列都有一個(gè)實(shí)數(shù)極限。 有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1,1.4,1.41,1.414,1.4142,1.41421,...)是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實(shí)際上，它有個(gè)實(shí)數(shù)極限寸2。實(shí)數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構(gòu)造實(shí)數(shù)集合的一種方法。 極限的存在是微積分的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)的完備性等價(jià)于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”?！巴陚涞挠行蛴颉睂?shí)數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會(huì)是完備格。這是由于有序域沒有最大元素（對(duì)任意元素z，z+1將更大）。所以，這里的“完備”不是完備格的意思。另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。上述的唯一性也說(shuō)明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個(gè)完備性的意思非常接近采用戴德金分割來(lái)構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）有序域出發(fā)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的方法建立戴德金完備性。這兩個(gè)完備性的概念都忽略了域的結(jié)構(gòu)。然而，有序群（域是種特殊的群）可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個(gè)特例。（這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關(guān)的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實(shí)數(shù)的性質(zhì)。）當(dāng)然，R并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實(shí)際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的（當(dāng)然反之亦然）。這個(gè)完備性的意思非常接近采用柯西序列來(lái)構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從（有理數(shù)）阿基米德域出發(fā)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的方法建立一致完備性?！巴陚涞陌⒒椎掠颉弊钤缡怯上柌靥岢鰜?lái)的，他還想表達(dá)一些不同于上述的意思。他認(rèn)為，實(shí)數(shù)構(gòu)成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是R的子域。這樣R是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個(gè)完備性的意思非常接近用超實(shí)數(shù)來(lái)構(gòu)造實(shí)數(shù)的方法，即從某個(gè)包含所有（超實(shí)數(shù)）有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。高級(jí)性質(zhì)實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說(shuō)，實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)嚴(yán)格多于自然數(shù)的個(gè)數(shù)（盡管兩者都是無(wú)窮大）。這一點(diǎn)，可以通過(guò)康托爾對(duì)角線方法證明。實(shí)際上，實(shí)數(shù)集的勢(shì)為2co（請(qǐng)參見連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)），即自然數(shù)集的幕集的勢(shì)。由于實(shí)數(shù)集中只有可數(shù)集個(gè)數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實(shí)數(shù)是超越數(shù)。實(shí)數(shù)集的子集中，不存在其勢(shì)嚴(yán)格大于自然數(shù)集的勢(shì)且嚴(yán)格小于實(shí)數(shù)集的勢(shì)的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。該假設(shè)不能被證明是否正確，這是因?yàn)樗图险摰墓聿幌嚓P(guān)。所有非負(fù)實(shí)數(shù)的平方根屬于R，但這對(duì)負(fù)數(shù)不成立。這表明R上的序是由其代數(shù)結(jié)構(gòu)確定的。而且，所有奇數(shù)次多項(xiàng)式至少有一個(gè)根屬于R。這兩個(gè)性質(zhì)使R成為實(shí)封閉域的最主要的實(shí)例。證明這一點(diǎn)就是對(duì)代數(shù)基本定理的證明的前半部分。實(shí)數(shù)集擁有一個(gè)規(guī)范的測(cè)度，即勒貝格測(cè)度。實(shí)數(shù)集的上確界公理用到了實(shí)數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只采用一階邏輯來(lái)刻畫實(shí)數(shù)集：1.Löwenheim-Skolem定理說(shuō)明，存在一個(gè)實(shí)數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實(shí)數(shù)集自身完全相同的命題；2.超實(shí)數(shù)的集合遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于R，但也同樣滿足和R一樣的一階邏輯命題。滿足和R一樣的一階邏輯命題的有序域稱為R的非標(biāo)準(zhǔn)模型。這就是非標(biāo)準(zhǔn)分析的研究?jī)?nèi)容，在非標(biāo)準(zhǔn)模型中證明一階邏輯命題（可能比在R中證明要簡(jiǎn)單一些），從而確定這些命題在R中也成立。拓?fù)湫再|(zhì)實(shí)數(shù)集構(gòu)成一個(gè)度量空間：x和y間的距離定為絕對(duì)值lx-yl。作為一個(gè)全序集，它也具有序拓?fù)?。這里，從度量和序關(guān)系得到的拓?fù)湎嗤?。?shí)數(shù)集又是1維的可縮空間（所以也是連通空間）、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實(shí)數(shù)集不是緊致空間。這些可以通過(guò)特定的性質(zhì)來(lái)確定，例如，無(wú)限連續(xù)可分的序拓?fù)浔仨毢蛯?shí)數(shù)集同胚。以下是實(shí)數(shù)的拓?fù)湫再|(zhì)總覽：令a為一實(shí)數(shù)°a的鄰域是實(shí)數(shù)集中一個(gè)包括一段含有a的線段的子集。R是可分空間。Q在R中處處稠密。R的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點(diǎn)的有限線段都是緊子集。每個(gè)R中的有界序列都有收斂子序列。R是連通且單連通的。R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質(zhì)可迅速導(dǎo)出中間值定理。實(shí)數(shù)集可以在幾種不同的方面進(jìn)行擴(kuò)展和一般化：最自然的擴(kuò)展可能就是復(fù)數(shù)了。復(fù)數(shù)集包含了所有多項(xiàng)式的根。但是，復(fù)數(shù)集不是一個(gè)有序域。實(shí)數(shù)集擴(kuò)展的有序域是超實(shí)數(shù)的集合，包含無(wú)窮小和無(wú)窮大。它不是一個(gè)阿基米德域。有時(shí)候，形式元素+