解直角三角形應(yīng)用舉例前三課時(shí)

新人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)(下冊(cè))第二十八章

§28.2解直角三角形（1）

解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問(wèn)題．

設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m問(wèn)：傾斜角∠A是多少？所以∠A≈5.48°

ABCABC問(wèn)題1.直角三角形中，除直角外還有幾個(gè)元素呢？解直角三角形ABabcC一，解直角三角形定義:在直角三角形中，由除直角外的已知元素求其他未知元素的過(guò)程．這五個(gè)元素有什么關(guān)系呢？（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）ABabcC關(guān)系：?jiǎn)栴}2：知道5個(gè)元素當(dāng)中幾個(gè)，就可以求其他元素？

1.已知兩條邊:2已知一邊一角:⑴兩直角邊⑵一直角邊和斜邊

⑴一直角邊和一銳角⑵斜邊和一銳角猜想歸納，解直角三角形的類型：例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解這個(gè)直角三角形解：ABC例2如圖，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（精確到0.1）解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°ABCabc2035°你還有其他方法求出c嗎？變式練習(xí)1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，求直角三角形的面積。DABC62如圖，在電線桿上離地面高度5m的C點(diǎn)處引兩根拉線固定電線桿，一根拉線AC和地面成60°角，另一根拉線BC和地面成45°角．求兩根拉線的總長(zhǎng)度（結(jié)果用帶根號(hào)的數(shù)的形式表示)在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；（1）a=30,b=20;練習(xí)解：根據(jù)勾股定理ABCb=20a=30c

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形；

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：28.2.2第二課時(shí)應(yīng)用舉例

解決有關(guān)比薩斜塔傾斜的問(wèn)題．

設(shè)塔頂中心點(diǎn)為B，塔身中心線與垂直中心線的夾角為A，過(guò)B點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)C（如圖），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m所以∠A≈5°28′

可以求出2001年糾偏后塔身中心線與垂直中心線的夾角．你愿意試著計(jì)算一下嗎？ABCABC例4：

2008年10月15日“神舟”7號(hào)載人航天飛船發(fā)射成功．當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運(yùn)行．如圖，當(dāng)飛船運(yùn)行到地球表面上P點(diǎn)的正上方時(shí)，從飛船上最遠(yuǎn)能直接看到地球上的點(diǎn)在什么位置？這樣的最遠(yuǎn)點(diǎn)與P點(diǎn)的距離是多少？（地球半徑約為6400km，結(jié)果精確到0.1km）

分析：從飛船上能最遠(yuǎn)直接看到的地球上的點(diǎn)，應(yīng)是視線與地球相切時(shí)的切點(diǎn)．·OQFPα

如圖，⊙O表示地球，點(diǎn)F是飛船的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點(diǎn)Q是從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)．的長(zhǎng)就是地面上P、Q兩點(diǎn)間的距離，為計(jì)算的長(zhǎng)需先求出∠POQ（即a）解：在圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∴PQ的長(zhǎng)為

當(dāng)飛船在P點(diǎn)正上方時(shí)，從飛船觀測(cè)地球時(shí)的最遠(yuǎn)點(diǎn)距離P點(diǎn)約2009.6km·OQFPα1.如圖，沿AC方向開(kāi)山修路．為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D多遠(yuǎn)正好能使A，C，E成一直線（精確到0.1m）50°140°520mABCED∴∠BED=∠ABD－∠D=90°答：開(kāi)挖點(diǎn)E離點(diǎn)D332.8m正好能使A，C，E成一直線.解：要使A、C、E在同一直線上，則∠ABD是△BDE

的一個(gè)外角

2.如圖所示，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面10米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根24米處.大樹(shù)在折斷之前高多少？解

利用勾股定理可以求出折斷倒下部分的長(zhǎng)度為:26＋10＝36（米）.答:大樹(shù)在折斷之前高為36米.3.如圖,太陽(yáng)光與地面成60度角,一棵傾斜的大樹(shù)AB與地面成30度角,這時(shí)測(cè)得大樹(shù)在地面上的影長(zhǎng)為10m,請(qǐng)你求出大樹(shù)的高.ABC30°地面太陽(yáng)光線60°30AB的長(zhǎng)D（2）兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°（3）邊角之間的關(guān)系（1）三邊之間的關(guān)系（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用到下面一些關(guān)系：復(fù)習(xí)30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana對(duì)于sinα與tanα，角度越大，函數(shù)值也越大；（帶正）對(duì)于cosα，角度越大，函數(shù)值越小。問(wèn)題：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角a一般要滿足50°≤a≤75°.現(xiàn)有一個(gè)長(zhǎng)6m的梯子，問(wèn)：（1）使用這個(gè)梯子最高可以安全攀上多高的墻（精確到0.1m）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角a等于多少（精確到1°）？這時(shí)人是否能夠安全使用這個(gè)梯子？這樣的問(wèn)題怎么解決問(wèn)題（1）可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，斜邊AB＝6，求∠A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)．

問(wèn)題（1）當(dāng)梯子與地面所成的角a為75°時(shí)，梯子頂端與地面的距離是使用這個(gè)梯子所能攀到的最大高度．因此使用這個(gè)梯子能夠安全攀到墻面的最大高度約是5.8m所以BC≈6×0.97≈5.8由計(jì)算器求得sin75°≈0.97由得ABαC對(duì)于問(wèn)題（2），當(dāng)梯子底端距離墻面2.4m時(shí)，求梯子與地面所成的角a的問(wèn)題，可以歸結(jié)為：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜邊AB＝6，求銳角a的度數(shù)由于利用計(jì)算器求得a≈66°

因此當(dāng)梯子底墻距離墻面2.4m時(shí)，梯子與地面所成的角大約是66°由50°＜66°＜75°可知，這時(shí)使用這個(gè)梯子是安全的．ABCα在圖中的Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能6=75°在圖中的Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？探究ABCα能62.4第三課時(shí)應(yīng)用舉例例2:熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°,看這棟高樓底部的俯角為60°,熱氣球與高樓的水平距離為120m,這棟高樓有多高?α=30°β=60°120ABCD答案:

米

合作與探究變題1：如圖，直升飛機(jī)在長(zhǎng)400米的跨江大橋AB的上方P點(diǎn)處，且A、B、O三點(diǎn)在一條直線上，在大橋的兩端測(cè)得飛機(jī)的仰角分別為30°和45°，求飛機(jī)的高度PO.ABO30°45°400米P45°30°OBA200米

合作與探究例2：如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓AB上方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測(cè)得飛機(jī)的仰角為30°和45°，求飛機(jī)的高度PO.LUD答案:

米P

合作與探究例2：如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓AB上方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測(cè)得飛機(jī)的仰角為30°和45°，求飛機(jī)的高度PO.45°30°POBA200米C

合作與探究45°30°POBA200米C例2：如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓AB上方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測(cè)得飛機(jī)的仰角為30°和45°，求飛機(jī)的高度PO.

合作與探究例2：如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓AB上方P點(diǎn)處，從大樓的頂部和底部測(cè)得飛機(jī)的仰角為30°和45°，求飛機(jī)的高度PO.45°30°POBA200米C200米POBA45°30°D答案:

米

合作與探究變題2：如圖，直升飛機(jī)在高為200米的大樓AB左側(cè)P點(diǎn)處，測(cè)得大樓的頂部仰角為45°,測(cè)得大樓底部俯角為30°，求飛機(jī)與大樓之間的水平距離.典型例題解析【例1】(2004年·南京市)天空中有一個(gè)靜止的廣告氣球C，從地面A點(diǎn)測(cè)得C的仰角為45°，從地面B點(diǎn)測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°，已知AB=20m，點(diǎn)C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度?(結(jié)果保留根號(hào)）45°30°200米POBD

歸納與提高45°30°PA200米CBO45°30°45060°45°20020045°30°βαABOPABOP30°45°450作業(yè)

更上一層樓必做題：書本P96/4、P97/7題．選做題：1.一架直升機(jī)從某塔頂Ａ測(cè)得地面C、D兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°，若C、D與塔底Ｂ共線，CD＝200米，求塔高AB？2.有一塊三形場(chǎng)地ABC，測(cè)得其中AB邊長(zhǎng)為60米，AC邊長(zhǎng)50米，∠ABC=30°，試求出這個(gè)三角形場(chǎng)地的面積．3.學(xué)生小王幫在測(cè)繪局工作的爸爸買了一些儀器后與同學(xué)在環(huán)西文化廣場(chǎng)休息，看到濠河對(duì)岸的電視塔，他想用手中的測(cè)角儀和卷尺不過(guò)河測(cè)出電視塔空中塔樓的高度.現(xiàn)已測(cè)出∠ADB=40°，由于不能過(guò)河，因此無(wú)法知道BD的長(zhǎng)度，于是他向前走50米到達(dá)C處測(cè)得∠ACB=55°，但他們?cè)谟?jì)算中碰到了困難，請(qǐng)大家一起想想辦法，求出電視塔塔樓AB的高.

更上一層樓（參考數(shù)據(jù)：）答案：空中塔樓AB高約為105米塔樓濠河ABCD50m

55°40°1.如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC=1200米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角α=16031`，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離.(精確到1米）αABC2.兩座建筑AB及CD，其地面距離AC為50.4米，從AB的頂點(diǎn)B測(cè)得CD的頂部D的仰角β＝250,測(cè)得其底部C的俯角a＝500,求兩座建筑物AB及CD的高.（精確到0.1米）課本P92

例4挑戰(zhàn)自我3.國(guó)外船只，除特許外，不得進(jìn)入我國(guó)海洋100海里以內(nèi)的區(qū)域，如圖，設(shè)A、B是我們的觀察站，A和B之間的距離為157.73海里，海岸線是過(guò)A、B的一條直線，一外國(guó)船只在P點(diǎn)，在A點(diǎn)測(cè)得∠BAP=450，同時(shí)在B點(diǎn)測(cè)得∠ABP=600，問(wèn)此時(shí)是否要向外國(guó)船只發(fā)出警告，令其退出我國(guó)海域.PAB挑戰(zhàn)自我4、如圖，為了測(cè)量高速公路的保護(hù)石堡坎與地面的傾斜角∠BDC是否符合建筑標(biāo)準(zhǔn)，