線性系統(tǒng)理論第三章

第三章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析3．1引言

數(shù)學(xué)的角度，運(yùn)動(dòng)分析的實(shí)質(zhì)就是求解系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以解析形式或數(shù)值分析形式，建立系統(tǒng)狀態(tài)隨輸入和初始狀態(tài)的演化規(guī)律。解的存在性和唯一性條件

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程如果系統(tǒng)矩陣A(t),B(t)的所有元在時(shí)間定義區(qū)間[t0,tα]上為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，輸入u(t)的所有元為時(shí)間t的連續(xù)實(shí)函數(shù)，那么狀態(tài)方程的解x(t)存在且唯一。從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，上述條件可減弱為：①系統(tǒng)矩陣A(t)的各個(gè)元aij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為絕對(duì)可積，即：當(dāng)且僅當(dāng)狀態(tài)方程的解為存在和唯一，對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析才有意義。③輸入u(t)的各個(gè)元uk(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：條件②③可一步合并為要求B(t)、u(t)的各元在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上絕對(duì)可積。本章隨后各節(jié)中，均加設(shè)系統(tǒng)滿足上述解的存在性和唯一性條件。②輸入矩陣B(t)的各個(gè)元bij(t)在時(shí)間區(qū)間[t0,tα]上為平方可積，即：線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)＝零輸入響應(yīng)＋零初態(tài)響應(yīng)3．2連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)令輸入u(t)=0而得到系統(tǒng)自治狀態(tài)方程結(jié)論1.系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的解，具有以下形式其中若初始時(shí)間取為t0≠0則連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析是本章討論的重點(diǎn)

設(shè)其解是t的向量?jī)缂?jí)數(shù)則由對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等關(guān)系有式中x0，b1，…，bk，都是n維向量，且x(0)=b0，故定義：矩陣指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

(4)

設(shè)A和F為兩個(gè)同維可交換方陣，即AF=FA則有矩陣指數(shù)函數(shù)的算法

1：定義法2：特征值法1）若A的特征值為兩兩互異則

只能得到eAt的數(shù)值結(jié)果，難以獲得eAt解析表達(dá)式，但用計(jì)算機(jī)計(jì)算，具有編程簡(jiǎn)單和算法迭代的優(yōu)點(diǎn)。P為變換A為約當(dāng)規(guī)范型的變換矩陣p=[v1、v2、…vn]其中v1、v2、…vn為A的n個(gè)特征向量。2）若A的特征值出現(xiàn)重根其中則其中假設(shè)的i幾何重?cái)?shù)為1例三個(gè)互異特征根1＝－1，2＝－2，3＝－3例

三個(gè)重特征根1＝2＝3＝1，i=3，=23：有限項(xiàng)展開(kāi)法設(shè)根1、2、…

n

為A的n個(gè)互異特征值若1為n重特征值例

4：預(yù)解矩陣法例:已知，求eAt解：證明：其解為：系統(tǒng)的零初態(tài)響應(yīng)當(dāng)x(0)=0時(shí)，線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)方程系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，具有以下形式系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基本表達(dá)式

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為其解為：對(duì)初始時(shí)刻t0=0情形有表達(dá)式3.3連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為：基本解陣

矩陣方程的解陣稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的基本解陣。其中H為任意非奇異實(shí)常陣結(jié)論：(1)基本解陣不唯一

(2)由系統(tǒng)自治方程的任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)解為列可構(gòu)成一個(gè)基本解陣。(3)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的一個(gè)可能的基本解陣為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

矩陣方程的解陣(t-t0)

稱為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：1:連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)(1)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可由基本解陣定出2:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t-t0)

唯一，與基本解陣的選取無(wú)關(guān)。3:狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式為基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的系統(tǒng)響應(yīng)表達(dá)式

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特性3.5連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程為對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，矩陣方程：的解矩陣(t,t0)稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程的解矩陣(t)稱為基本解陣,其中H為任意非奇異實(shí)常值矩陣。線性時(shí)變系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不管是規(guī)律形態(tài)還是分析方法都要復(fù)雜得多，但運(yùn)動(dòng)規(guī)律表達(dá)式形式上十分類似于線性時(shí)不變系統(tǒng)。結(jié)論：①基本解陣不唯一②對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣可由系統(tǒng)自治狀態(tài)方程的任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)解為列構(gòu)成③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，其一個(gè)基本解陣結(jié)論：①狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為唯一②狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的形式狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)

系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)方程的解狀態(tài)運(yùn)動(dòng)計(jì)算上的困難對(duì)連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，一般難以確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的解析表達(dá)式，主要用于理論分析中。可用數(shù)值方法求解。

線性系統(tǒng)狀態(tài)運(yùn)動(dòng)表達(dá)式在形式上的統(tǒng)一性。3.6連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化基本約定：

1）對(duì)采樣方式的約定采樣方式取為以常數(shù)T為周期的等間隔采樣，采樣時(shí)間寬度△比采樣周期T小得多。2）對(duì)采樣周期T大小的約定滿足Shamnon采樣定理給出的條件3）對(duì)保持方式的約定零階保持方式

無(wú)論是采用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為，還是采用離散控制裝置控制連續(xù)時(shí)間受控系統(tǒng)，都會(huì)遇到將連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為離散時(shí)間系統(tǒng)的問(wèn)題。基本結(jié)論：

給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為其中結(jié)論：

給定連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)則其在基本約定下的時(shí)間離散化描述為其中結(jié)論：①時(shí)間離散化屬性：時(shí)間離散化不改變系統(tǒng)的時(shí)變或時(shí)不變屬性②離散化系統(tǒng)屬性：不管系統(tǒng)矩陣A(t)或A是非奇異或奇異，其離散化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣G(k)和G必為非奇異。例：線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)采樣周期T=1秒，試求其離散化狀態(tài)方程。解

3.7離散時(shí)間線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

不管是時(shí)變差分方程，還是時(shí)不變差分方程，都可采用迭代法求解。其思路是：基于系統(tǒng)狀態(tài)方程，利用給定的或定出的上一采樣時(shí)刻狀態(tài)值，迭代地定出下一個(gè)采樣時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。定義：矩陣方程(k+1)=G(k)(k,m),(m,m)=I的解陣(k,m)稱為離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。矩陣方程(k+1)=G(k),(0)=I的解陣(k),稱為離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。結(jié)論：離散時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：

(k,m)=G(k-1)G(k-2)…G(m)

離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：結(jié)論：①(k,m)非奇異G(i),i=m,m+1,…k-1均為非奇異②(k)非奇異G非奇異③對(duì)連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化系