微積分 第六章 定積分_第1頁(yè)
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第一節(jié)定積分的概念第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的積分方法第四節(jié)廣義積分第六章定積分

一、定積分的實(shí)際背景

二、定積分的概念三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念

第一節(jié)定積分的概念

1.曲邊梯形的面積

曲邊梯形:若圖形的三條邊是直線段,其中有兩條垂直于第三條底邊,而其第四條邊是曲線,這樣的圖形稱為曲邊梯形,如左下圖所示.yOMPQNBxCAA推廣為一、定積分的實(shí)際背景

曲邊梯形面積的確定方法:把該曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄的長(zhǎng)條,把每個(gè)長(zhǎng)條近似看作一個(gè)矩形,用長(zhǎng)乘寬求得小矩形面積,加起來(lái)就是曲邊梯形面積的近似值,分割越細(xì),誤差越小,于是當(dāng)所有的長(zhǎng)條寬度趨于零時(shí),這個(gè)階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示:

0x1x2xxn

Oxy

y=f(x)0x=axn=b2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

二、定積分的概念

三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)仍有思考題

一、變上限的定積分二、牛頓-萊布尼茨

(Newton-Leibniz)公式

第二節(jié)微積分基本公式第二節(jié)微積分基本公式

一、變上限的定積分如右圖所示:例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

二、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式

例1求定積分:

思考題

一、定積分的換元積分法

二、定積分的分部積分法

第三節(jié)定積分的積分方法第三節(jié)定積分的積分方法一、定積分的換元積分法注意:求定積分一定要注意定積分的存在性.

二、定積分的分部積分法一、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分二、無(wú)界函數(shù)的廣義積分

第四節(jié)廣義積分第四節(jié)廣義積分一、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分二、被積函數(shù)有無(wú)窮間斷點(diǎn)的廣義積分第六章定積分一、本章提要1.基本概念定積分,曲邊梯形,定積分的幾何意義,變上限的定積分,廣義積分,無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分,被積函數(shù)有無(wú)窮區(qū)間斷點(diǎn)的廣義積分.2.基本公式牛頓-萊布尼茨公式.3.基本方法(1).積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法,(2).直接應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分的方法(3).借助于換元積分法及分部積分法計(jì)算定積分的方法,(4).兩類廣義積分的計(jì)算方法.4.定理定積分的線性運(yùn)算性質(zhì),定積分對(duì)積分區(qū)間的分割性質(zhì),定積分的比較性質(zhì),定積分的估值定理,定積分的中值定理,變上限積分對(duì)上限的求導(dǎo)定理

二、要點(diǎn)解析問(wèn)題1應(yīng)用換元積分法計(jì)算定積分時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題?

解析換元積分法包括第一換元法與第二換元法,具體應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意如下3點(diǎn):(1)應(yīng)用第一換元法(湊微分法)時(shí),一般不需引入新的積分變量,所以積分限不變.(2)應(yīng)用第二換元法時(shí),由于必須引入新的積分變量,所以,換元必?fù)Q限.(3)所作代換必須滿足換元法中所限定的條件.,

例1計(jì)算定積分

解一令,則且時(shí),時(shí),.所以

解二令,則且

時(shí)

時(shí),,所以.問(wèn)題2被積分函數(shù)中含絕對(duì)值符號(hào)時(shí),應(yīng)如計(jì)算定積分?解析當(dāng)被積函數(shù)中含絕對(duì)值符號(hào)時(shí),被積函數(shù)一般在積分區(qū)間上為分段函數(shù),計(jì)算分段函數(shù)的定積分必須分段積分.例2計(jì)算

.解

=三、例題精解例3比較

與的大小.解一令,因?yàn)樗?,?dāng)時(shí),

則當(dāng)時(shí),

所以在又因?yàn)樵赱1,2]上連續(xù),

上單增.

,即所以

解二因?yàn)?

所以

例4證明

,

證令則且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.于是=

==

例5求

(C為常數(shù))練習(xí)題判斷正誤(

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