微積分 第六章 定積分

第一節(jié)定積分的概念第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的積分方法第四節(jié)廣義積分第六章定積分

一、定積分的實(shí)際背景

二、定積分的概念三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)第一節(jié)定積分的概念

第一節(jié)定積分的概念

1.曲邊梯形的面積

曲邊梯形:若圖形的三條邊是直線段，其中有兩條垂直于第三條底邊，而其第四條邊是曲線，這樣的圖形稱為曲邊梯形，如左下圖所示.yOMPQNBxCAA推廣為一、定積分的實(shí)際背景

曲邊梯形面積的確定方法：把該曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄的長(zhǎng)條，把每個(gè)長(zhǎng)條近似看作一個(gè)矩形，用長(zhǎng)乘寬求得小矩形面積，加起來就是曲邊梯形面積的近似值，分割越細(xì)，誤差越小，于是當(dāng)所有的長(zhǎng)條寬度趨于零時(shí)，這個(gè)階梯形面積的極限就成為曲邊梯形面積的精確值了.如下圖所示：

0x1x2xxn

Oxy

y=f(x)0x=axn=b2．變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

二、定積分的概念

三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)仍有思考題

一、變上限的定積分二、牛頓-萊布尼茨

（Newton-Leibniz）公式

第二節(jié)微積分基本公式第二節(jié)微積分基本公式

一、變上限的定積分如右圖所示:例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

二、牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式

例1求定積分：

思考題

一、定積分的換元積分法

二、定積分的分部積分法

第三節(jié)定積分的積分方法第三節(jié)定積分的積分方法一、定積分的換元積分法注意:求定積分一定要注意定積分的存在性.

二、定積分的分部積分法一、無窮區(qū)間上的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分

第四節(jié)廣義積分第四節(jié)廣義積分一、無窮區(qū)間上的廣義積分二、被積函數(shù)有無窮間斷點(diǎn)的廣義積分第六章定積分一、本章提要1.基本概念定積分，曲邊梯形，定積分的幾何意義，變上限的定積分，廣義積分，無窮區(qū)間上的廣義積分，被積函數(shù)有無窮區(qū)間斷點(diǎn)的廣義積分.2．基本公式牛頓-萊布尼茨公式.3．基本方法(1).積分上限函數(shù)的求導(dǎo)方法，(2).直接應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分的方法(3).借助于換元積分法及分部積分法計(jì)算定積分的方法，(4).兩類廣義積分的計(jì)算方法.4．定理定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)，定積分對(duì)積分區(qū)間的分割性質(zhì)，定積分的比較性質(zhì)，定積分的估值定理，定積分的中值定理，變上限積分對(duì)上限的求導(dǎo)定理

二、要點(diǎn)解析問題1應(yīng)用換元積分法計(jì)算定積分時(shí)應(yīng)注意什么問題？

解析換元積分法包括第一換元法與第二換元法，具體應(yīng)用時(shí)應(yīng)注意如下3點(diǎn)：（1）應(yīng)用第一換元法（湊微分法）時(shí)，一般不需引入新的積分變量，所以積分限不變.（2）應(yīng)用第二換元法時(shí)，由于必須引入新的積分變量，所以，換元必?fù)Q限.（3）所作代換必須滿足換元法中所限定的條件.，

例1計(jì)算定積分

解一令,則且時(shí),時(shí),.所以

．

；

解二令，則且

時(shí)

時(shí)，，所以．問題2被積分函數(shù)中含絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，應(yīng)如計(jì)算定積分？解析當(dāng)被積函數(shù)中含絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，被積函數(shù)一般在積分區(qū)間上為分段函數(shù)，計(jì)算分段函數(shù)的定積分必須分段積分.例2計(jì)算

.解

=三、例題精解例3比較

與的大小.解一令，因?yàn)樗?，?dāng)時(shí),

則當(dāng)時(shí),

所以在又因?yàn)樵赱1，2]上連續(xù),

上單增.

，即所以

解二因?yàn)?

所以

例4證明

,

證令則且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.于是=

==

例5求

解

（C為常數(shù)）練習(xí)題判斷正誤(