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第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法主要內(nèi)容:(1)介紹頻率特性的基本概念和開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制方法。(2)研究頻率域穩(wěn)定判據(jù)、頻率性能指標(biāo)的估算、頻率特性與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及暫態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系。第一節(jié)頻率特性一、頻率特性的基本概念系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為頻率響應(yīng),頻率響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)復(fù)振幅之比稱(chēng)為頻率特性。 設(shè)圖5-1表示線性定常控制 系統(tǒng),其傳遞函數(shù)一般是具 有實(shí)系數(shù)的有理真分式,可 以表達(dá)為式中,為s的多項(xiàng)式。當(dāng)正弦輸入信號(hào) 時(shí),其拉氏變換為 (5-1)則輸出的拉氏變換為 (5-2)若所有極點(diǎn)互異,即沒(méi)有重根,上式展成部分分式為 (5-3)對(duì)式(5-3)取拉氏反變換,可得正弦信號(hào)的響應(yīng)為 (5-4)中前兩項(xiàng)是中的極點(diǎn)所決定的穩(wěn)態(tài)分量;后面的項(xiàng)是中的極點(diǎn)所決定的暫態(tài)分量。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),閉環(huán)極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部根,暫態(tài)分量在 時(shí)衰減為零,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為 (5-5)式中代入式(5-5)得 (5-6)由于是的實(shí)系數(shù)有理函數(shù),所以與 是共軛的,若將 表達(dá)為 (5-7)式中 ; ,則的極坐標(biāo)形式一定為 (5-8)將式(5-7)和式(5-8)代入式(5-6)得 (5-9)式中 。 由(5-9)分析可得,對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),在正弦輸入信號(hào)作用下,其穩(wěn)態(tài)輸出也是一個(gè)同頻率的正弦信號(hào)。如果用復(fù)振幅 和 分別表示兩個(gè)同頻率的正弦 和 ,則有 (5-10) 即G(jω)
是線性定常系統(tǒng)在穩(wěn)定條件下正弦輸出信號(hào)的復(fù)振幅與正弦輸入信號(hào)的復(fù)振幅之比,它描述了線性定常系統(tǒng)傳遞正弦信號(hào)的能力。 將傳遞函數(shù) 中的用取代求得,即 (5-11) 因?yàn)轭l率特性 是在 下的傳遞函數(shù),所以用頻率特性 描述系統(tǒng)的性能與傳遞函數(shù)具有同等效果,且有關(guān)傳遞函數(shù)的概念和運(yùn)算法則對(duì)于頻率特性均適用。 頻率特性不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能,而且可以用于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和暫態(tài)性能,這一點(diǎn)可以用富氏變換來(lái)說(shuō)明。 在零初始條件下輸出信號(hào)與輸入信號(hào)富氏變換之比即為頻率特性,即 (5-14) 顯然,在已知頻率特性 時(shí),其輸出信號(hào)可以通過(guò)富氏反變換獲得。即 (5-15) 式(5-15)給出了頻率特性 、輸入信號(hào) 與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,說(shuō)明 中包含著的信息,這也是用頻率特性描述線性系統(tǒng)時(shí)域暫態(tài)響應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。式(5-10)和(5-14)是兩種頻率特性的定義:式(5-10)是在零初始條件時(shí)線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下,其輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量與輸入信號(hào)復(fù)振幅之比;式(5-14)是在零初始條件時(shí)線性系統(tǒng)輸出的富氏變換 與輸入信號(hào)富氏變換之比。但頻率特性的求取一般采用式(5-11),即用虛數(shù)“ ”代換環(huán)節(jié)或系統(tǒng)傳遞函數(shù)中的復(fù)數(shù)“”。二、頻率特性的幾何圖示法頻率特性 是復(fù)數(shù),它既可以用實(shí)部、虛部表示,也可以用幅值(模)和相角來(lái)表示,即 (5-16) 式中 = ——幅頻特性
——相頻特性
——實(shí)頻特性
——虛頻特性 不難看出,和是的偶函數(shù),和 是的奇函數(shù),這些性質(zhì)對(duì)頻率特性作圖有很大幫助。(一)幅相頻率特性圖或極坐標(biāo)圖 頻率特性 的幅相頻率特性圖是當(dāng)由零變化到無(wú)窮大時(shí),在復(fù)平面上描繪出的的幅值 與相角 的關(guān)系圖,也可以說(shuō)是以為參變量的的軌跡圖。(二)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖或伯德圖 對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是將幅頻特性和相頻特性分別用兩個(gè)圖表示。對(duì)數(shù)幅頻特性圖的縱坐標(biāo)為 ,單位為分貝(db),采用線性分度;橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度表示角頻率,單位為弧度/秒(rad/s);對(duì)數(shù)相頻特性圖的縱坐標(biāo)為 ,單位為度(),采用線性分度,橫坐標(biāo)同樣采用對(duì)數(shù)分度表示角頻率。(三)對(duì)數(shù)幅相圖或尼柯?tīng)査箞D 對(duì)數(shù)幅相圖的特點(diǎn)是縱坐標(biāo)為 ,單位為分貝(dB),橫坐標(biāo)為,單位為度(),均采用線性分度,頻率為參變量。例5-1
試?yán)L制圖5-2所示RC電路的幅相頻率特性圖、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)幅相圖。 解根據(jù)電路知識(shí)可知RC電路的傳遞函數(shù)為
式中,T=RC為時(shí)間常數(shù)。在G(s) 中,令s=jω得頻率特性為w100?w¥?wjVUa)極坐標(biāo)圖T01.0T1T10020020-40-045-090-0b))rad/s(w對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖20lgG(ω)(dB)Ф(ω)40040-0180-00180)(ωfc)20lgG(ω)(dB)對(duì)數(shù)幅相圖從圖中可以直觀的看出該電路傳遞不同頻率正弦信號(hào)的能力,這就是頻率特性圖的優(yōu)越性。對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng),這一優(yōu)越性尤其明顯。在以上三種頻率特性圖中,幅相頻率特性圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是應(yīng)用最廣泛的。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)及控制系統(tǒng)的頻率特性
一、典型環(huán)節(jié)的頻率特性(一)比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)放大環(huán)節(jié),其傳遞函數(shù)為其頻率特性為 (5-17)由于頻率ω為任何值時(shí), , ,因此比例環(huán)節(jié)的幅相頻率特性為點(diǎn) 。對(duì) 取分貝可得比例環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (dB)(5-18) 這是一條平行于橫軸且縱軸為 的直線。由于 ,所以比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性是一條與橫軸重合的直線。(二)積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為 (5-19) , ,頻率ω增大,單調(diào)減,不變,因此積分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一條與負(fù)虛軸重合的直線。對(duì) 取分貝可得積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-20) 由上式可知ω=1, ,ω每增大10倍,下降20分貝,所以積分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為每十倍頻程 -20分貝的直線(簡(jiǎn)稱(chēng) ),且過(guò)零分貝的ω為1。由于 ,所以積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性是一條與橫軸平行且縱軸為的直線。
(三)微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為 (5-21) , ,頻率ω增大,單調(diào)增,不變,因此微分環(huán)節(jié)的幅相頻率特性是一條與正虛軸重合的直線。對(duì) 取分貝可得微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-22) 由上式可知ω=1, ,ω每增大10倍,上升20分貝,所以微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性是一條斜率為每十倍頻程 20分貝的直線(簡(jiǎn)稱(chēng) ),且過(guò)零分貝的ω為1。由于 ,所以微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性是一條與橫軸平行且縱軸為的直線。(四)慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 其頻率特性為 (5-23) 以ω為參變量,分別計(jì)算出ω從0到∞時(shí)相應(yīng)的幅值 與相角 的數(shù)值,可以看出 時(shí),, ; 時(shí), , 。同時(shí)可以看出隨著ω的增大, 和 是單調(diào)減的,的曲線始終在幅相頻率特性圖的第Ⅳ象限。 對(duì) 取分貝而得慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-24)在ω≤1/T,對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線是一條與0dB重合的直線。在ω≥1/T,對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線是一條過(guò)ω=1/T斜率-20dB/dec的直線。慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性為 。用兩條漸近線近似表示慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性與精確曲線相比將產(chǎn)生誤差,其最大誤差為誤差曲線如圖5-8所示。(五)一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為 (5-25)ω從0到∞變化時(shí),實(shí)部為1,虛部從0到∞,其幅相頻率特性圖是復(fù)平面上起始于實(shí)軸1且平行于正虛軸的直線。對(duì) 取分貝可得一階微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-26) 由于一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù),所以它們的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線對(duì)稱(chēng)于橫軸。(六)振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ( )其中其頻率特性為 (5-27)即 , 。 時(shí), , ; 時(shí), , ; 時(shí), ,。下面就的單調(diào)性作討論,求 的極值,即 (5-28)可得 (5-29)求解上式得極值時(shí)的頻率及極值存在的條件 ( ) (5-30)此時(shí)的頻率稱(chēng)作諧振頻率,其存在的條件是 。將代入,得到諧振峰值 (5-31)當(dāng) ,且 時(shí),單調(diào)增; 時(shí),單調(diào)減。而當(dāng) 時(shí),單調(diào)減。對(duì)取分貝可得振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-32)在 ,對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線是一條與0dB重合的直線。在 ,對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線是一條過(guò)轉(zhuǎn)角頻率 點(diǎn)斜率 -40dB/dec的直線。振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性為 。當(dāng) , ;時(shí), ; 時(shí), 。越小,在鄰域的變化率越大,同時(shí),對(duì)數(shù)相頻特性關(guān)于 (,)點(diǎn)奇對(duì)稱(chēng)。
振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性不僅與有關(guān),而且與有關(guān),但或T的變化只引起對(duì)數(shù)頻率特性曲線的左右移動(dòng),不影響曲線的形狀;而較小時(shí),在對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上出現(xiàn)一個(gè)峰值,這一峰值與該環(huán)節(jié)時(shí)間響應(yīng)的超調(diào)量相關(guān)。(七)二階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為
( )其頻率特性為 (5-33)即 ,
。 時(shí),, ; 時(shí),, ; 時(shí),, 。對(duì) 取分貝可得二階微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-34)由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù),所以它們的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖也對(duì)稱(chēng)于橫軸。(八)滯后環(huán)節(jié) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為
式中,T為滯后時(shí)間。其頻率特性為 (5-35) 即 , ,可以看出其幅相頻率特性曲線是復(fù)平面上一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓,如圖5-13(a)所示。圖中同時(shí)繪出慣性環(huán)節(jié)的曲線。容易看出,當(dāng)
的低頻范圍內(nèi),兩者十分相似,即在低頻范圍內(nèi)可以用慣性環(huán)節(jié)近似代替滯后環(huán)節(jié)。對(duì) 取分貝可得滯后環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性 (5-36)這是一條與0分貝線重合的直線,而 與-ω成正比。二、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性用頻率法研究控制系統(tǒng)最主要的特點(diǎn)是根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及時(shí)域性能指標(biāo)。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性通常是若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積,即 (5-37)
寫(xiě)成極坐標(biāo)形式為
(5-38)即求系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性應(yīng)先求出組成系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)頻率特性的幅值與相角,然后繪制對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖和極坐標(biāo)圖。(一)開(kāi)環(huán)頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(伯德圖)設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性如式(5-37)所示,對(duì)其幅頻特性取分貝得
(5-39)
(5-40)當(dāng)給定一系列的ω值,可以計(jì)算每一個(gè)環(huán)節(jié)的
和
,再利用式(5-39)和(5-40)計(jì)算開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的 和
,椐此繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。例5-2
已知系統(tǒng)試開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試?yán)L制下列的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。
解將此傳遞函數(shù)改寫(xiě)成用時(shí)間常數(shù)表示的形式,其頻率特性為
1.各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率;放大環(huán)節(jié)和積分無(wú)轉(zhuǎn)角頻率,慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率為1,一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率為2,振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)角頻率為4。如圖5-14所示。2.有一個(gè)積分環(huán)節(jié),所以是1型系統(tǒng),低頻段為斜率-20dB/dec的斜線,且延長(zhǎng)線與橫軸交于10,即為該系統(tǒng)低頻漸近線。3.沿低頻漸近線開(kāi)始,從左往右,在開(kāi)始系統(tǒng)漸近線斜率疊加-20dB/dec,變?yōu)?40dB/dec;同理在,系統(tǒng)漸近線斜率疊加20dB/dec,變?yōu)?20dB/dec,再在,系統(tǒng)漸近線斜率疊加-40dB/dec,變?yōu)?60dB/dec。該系統(tǒng)的漸近對(duì)數(shù)幅頻特性曲線如圖5-14所示。4.給出不同的ω值,計(jì)算對(duì)應(yīng)的,利用式(5-40)進(jìn)行代數(shù)相加,算出系統(tǒng)的相頻特性的曲線,如圖5-14所示?!?°-90°-180°-270°-3601.001.01101002圖
5-14例5-2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖4020020-40-60-604rad/s)(wФ(w)20lgG(w)(dB)(二)開(kāi)環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般表達(dá)式為
(5-41)
為了方便討論現(xiàn)將頻率特性分成低頻、中頻、高頻三個(gè)區(qū)段進(jìn)行分析。1.低頻段 在頻率特性中,ω較小、趨于0的部分稱(chēng)為低頻段。低頻段可以近似表示為
(5-42)0型系統(tǒng)(K>0)頻率特性曲線起始于實(shí)軸上的點(diǎn)(K,j0),如圖5-15(a)中所示。1型系統(tǒng)(K>0)頻率特性曲線起始于與負(fù)虛軸平行以直線為漸近線的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),如圖5-15(a)中所示。2型系統(tǒng)(K>0)頻率特性曲線起始于負(fù)實(shí)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處,但起始的漸近線不是負(fù)實(shí)軸,如圖5-15(a)中所示。2.高頻段在頻率特性中,ω很大、趨于∞部分稱(chēng)為高頻段。在高頻段,式(5-41)可近似為
(5-43)當(dāng) 時(shí),頻率特性曲線的高頻段最終趨于坐標(biāo)原點(diǎn)。趨于原點(diǎn)的方向由 決定.當(dāng) 時(shí),頻率特性曲線的高頻段最終趨于實(shí)軸上的( )點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)(工程實(shí)際一般不會(huì)出現(xiàn)),頻率特性曲線的高頻段最終趨于∞。3.中頻段 在頻率特性中,介于低頻和高頻之間的廣大部分稱(chēng)為中頻段。 通??梢愿鶕?jù) 和 的單調(diào)性及變化趨勢(shì)確定大致圖形;若利用 判斷頻率特性曲線和負(fù)實(shí)軸可能有交點(diǎn),則利用 計(jì)算此時(shí)的值ω,代入 中獲得和負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn),依此確定中頻段的大致位置和形狀,獲得概略極坐標(biāo)圖。如果需要精確的極坐標(biāo)圖,可以逐點(diǎn)計(jì)算繪制。例5-3
已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試?yán)L制其頻率特性的概略極坐標(biāo)圖。解在
中,令 得頻率特性為
可以看出系統(tǒng)為0型,時(shí),,;時(shí), ,。同時(shí)可以看出隨著ω的增大,和 是單調(diào)減的, 的曲線在幅相頻率特性圖的第Ⅳ、Ⅲ象限,且和負(fù)虛軸有交點(diǎn),交點(diǎn)處的頻率可以用下式等式兩邊取正切計(jì)算出交點(diǎn)時(shí)的頻率 。再代入
計(jì)算得 ,即和負(fù)虛軸的交點(diǎn)為(0, )。由以上分析可得概略幅相頻率特性曲線如圖5-17所示。UjV0¥?w0?wwK圖
5-17例5-3系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖例5-4
已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試?yán)L制其頻率特性的概略極坐標(biāo)圖。解在中,令
得頻率特性為 可以看出系統(tǒng)為1型,時(shí),,;時(shí),,。同時(shí)可以看出隨著ω的增大,和 是單調(diào)減的,的曲線在幅相頻率特性圖的第Ⅲ、Ⅱ象限,且與虛軸無(wú)交點(diǎn);與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn),交點(diǎn)處的頻率利用下式
等式兩邊取正切計(jì)算出交點(diǎn)時(shí)的頻率,再代入
計(jì)算得 ,即和負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為( ,j0);同時(shí)對(duì)于1型系統(tǒng),其起始漸近線為 的直線,由以上分析可以獲得概略幅相頻率特性曲線如圖5-18所示。UjV2121TTTKT+-0圖
5-18例5-4系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖)(21TTK+-0?w¥?ww例5-5
已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試?yán)L制其頻率特性的概略極坐標(biāo)圖。解在 中,令得頻率特性為可以看出系統(tǒng)為1型,時(shí),, ;時(shí),,,同時(shí)隨著ω的增大,利用對(duì)數(shù)幅頻特性可知為單調(diào)減。令
等式兩邊取正切計(jì)算與負(fù)虛軸交點(diǎn)時(shí)的頻率 ()即當(dāng)時(shí)與負(fù)虛軸有交點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸無(wú)交點(diǎn),此時(shí)是先增后減,再將代入,即
計(jì)算得 ,即和負(fù)虛軸的交點(diǎn)為(0, ),同時(shí)對(duì)于1型系統(tǒng),其起始漸近線為的直線,由以上分析可獲得概略幅相頻率特性曲線在第Ⅳ、Ⅲ象限如圖5-19所示。令等式兩邊取正切計(jì)算與負(fù)虛軸交點(diǎn)時(shí)的頻率 ( )即當(dāng)時(shí)與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn),此時(shí)是先減后增,再將代入,即
計(jì)算得 ,即與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為(,j0),此時(shí)其起始漸近線仍為直線,由以上分析可以獲得概略幅相頻率特性曲線在第Ⅲ、Ⅱ象限,如圖5-19所示。若,則概略幅相頻率特性曲線在第Ⅲ象限,如圖5-19所示。例5-6
已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試?yán)L制其頻率特性的概略極坐標(biāo)圖。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為 可以看出系統(tǒng)為1型,時(shí),,;時(shí),,。同時(shí)隨著ω的增大,是單調(diào)減的,而從對(duì)數(shù)幅頻特性可以知道也是單調(diào)減,的曲線在幅相頻率特性圖的第Ⅲ、Ⅱ象限,且與虛軸無(wú)交點(diǎn);與負(fù)實(shí)軸有交點(diǎn),交點(diǎn)處的頻率利用下式
等式兩邊取正切計(jì)算出交點(diǎn)時(shí)的頻率,再代入
計(jì)算得 ,即和負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為( ,j0);同時(shí)對(duì)于1型系統(tǒng),其起始漸近線為直線,由以上分析可以獲得概略幅相頻率特性曲線如圖5-20所示。例5-7
已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試?yán)L制其頻率特性的概略極坐標(biāo)圖。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為可以先繪制慣性環(huán)節(jié)的頻率特性,然后在每一個(gè)頻率ω上保持幅值不變,幅角再增加,即獲得該系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖,如圖5-21所示。這是一個(gè)收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)的螺旋線。(三)最小相位系統(tǒng)與傳遞函數(shù)頻率實(shí)驗(yàn)確定在右半S平面沒(méi)有開(kāi)環(huán)極、零點(diǎn)且沒(méi)有滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱(chēng)為最小相位系統(tǒng),否則稱(chēng)為非最小相位系統(tǒng)。對(duì)于具有相同幅頻特性的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相角范圍是最小的。例如傳遞函數(shù)為 和 的兩個(gè)系統(tǒng),其中τ滿足 ,在右半S平面有一個(gè)零點(diǎn),故為非最小相位系統(tǒng),它們的頻率特性分別為
和
其相應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖5-22所示。由圖可以看出,它們具有相同的對(duì)數(shù)幅頻特性,但相頻特性不同,其中具有更大的相角滯后。最小相位系統(tǒng)的重要性質(zhì)是它的幅頻特性和相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系,據(jù)此對(duì)于最小相位系統(tǒng)通??梢灾桓鶕?jù)它的幅頻特性對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì),而不再考慮它的相頻特性。檢驗(yàn)系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)的方法是:當(dāng)
時(shí),若對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻段漸近線的斜率為
;相頻特性的相角為
,則為最小相位系統(tǒng)。對(duì)于有些最小相位穩(wěn)定系統(tǒng)可以通過(guò)頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)方法確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)的原理如圖5-23所示。例5-8
圖5-24為由頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)獲得的某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線,試確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解
1.確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。因?yàn)閷?duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為
,而由圖5-24知低頻漸近線斜率為
,故有 ,系統(tǒng)含有2個(gè)微分環(huán)節(jié)。2.確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)形式。由于對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線,其各轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為所含一階或二階環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率,每個(gè)轉(zhuǎn)角頻率處斜率的變化取決于環(huán)節(jié)的種類(lèi)。本例中共有2個(gè)轉(zhuǎn)角頻率:
處,斜率變化
,且有諧振,所以對(duì)應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)。
處,斜率變化
,對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)。因此所測(cè)系統(tǒng)具有下述傳遞函數(shù):其中參數(shù)待定。3.由給定條件確定傳遞函數(shù)參數(shù)。低頻漸近線方程為 在ω=1時(shí), ,所以K=1。 從圖中可以看出,從 以斜率40dB/dec上升了14dB,所以頻程為,即;從以斜率20dB/dec下降了14dB,所以頻程為5,即 ;諧振為6dB,即 ,則,故有解得 。于是所測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為三.系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性閉環(huán)頻率特性和開(kāi)環(huán)頻率特性一樣通常也是由若干典型環(huán)節(jié)頻率特性的乘積構(gòu)成,即 (5-46)和開(kāi)環(huán)不同的是閉環(huán)傳遞函數(shù)一般不含有微分和積分環(huán)節(jié),可以表達(dá)為作用在控制系統(tǒng)的信號(hào)除了控制輸入外,常伴有確定性擾動(dòng)和隨機(jī)噪聲,因而閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性應(yīng)該反映控制系統(tǒng)跟蹤控制輸入信號(hào)和抑制干擾信號(hào)的能力。
在閉環(huán)頻率特性分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí),常用的閉環(huán)頻率性能指標(biāo)有:1.零頻率幅值M(0)即ω=0時(shí)閉環(huán)頻率特性值。它反映了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度,M(0)越接近于1,系統(tǒng)精度越高。2.諧振頻率,系統(tǒng)出現(xiàn)最大閉環(huán)頻率特性值時(shí)的頻率。3.諧振峰值,系統(tǒng)出現(xiàn)的最大閉環(huán)頻率特性值。較大意味著系統(tǒng)的平穩(wěn)性較差,系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將有較大的超調(diào)量。4.帶寬頻率,是指閉環(huán)頻率特性值降到時(shí)的頻率。大的頻帶寬度相應(yīng)于系統(tǒng)較快的上升時(shí)間。因此在作圖時(shí)為了反映這些閉環(huán)頻率性能指標(biāo),需要注意的是:在對(duì)數(shù)幅頻特性圖上,有諧振時(shí)要用誤差曲線修正對(duì)數(shù)漸近曲線,以獲得諧振頻率和諧振峰值;同時(shí)在以下3分貝處畫(huà)一條橫線以確定帶寬頻率和頻帶寬度。圖5-25為某3階系統(tǒng)的閉環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性圖。第三節(jié)控制系統(tǒng)頻率域穩(wěn)定判據(jù)一、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)設(shè)有復(fù)變函數(shù) (5-47)F(s)從S平面到F平面的映射,如圖5-26所示。幅角定理
設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)有個(gè)P極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)被S平面上某一封閉曲線C所包圍,且曲線C不通過(guò)任一極點(diǎn)或零點(diǎn),F(xiàn)(s)在C內(nèi)除了有限個(gè)極點(diǎn)外處處解析,則當(dāng)復(fù)數(shù)S沿封閉曲線C正方向環(huán)繞一周時(shí),映射到F平面上的曲線正向包圍原點(diǎn)的次數(shù)為 (5-48)假設(shè)在S平面上的封閉曲線C上任意非奇點(diǎn)S,在F平面上封閉曲線有一點(diǎn)F(s)與之對(duì)應(yīng),該點(diǎn)的模值與幅角可利用式(5-47)求得
(5-49)
(5-50)二、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 (5-51)由式(5-51)可知,F(xiàn)(s)具有以下特點(diǎn):1.F(s)的零點(diǎn)是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn),F(xiàn)(s)的極點(diǎn)是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn);2.因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次一般大于或等于分子多項(xiàng)式的階次,故F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)數(shù)相同;3.F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1,曲線和曲線形狀一樣,關(guān)于原點(diǎn)包圍的圈數(shù)可以用關(guān)于的包圍圈數(shù)獲得。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)特征根即F(s)的零點(diǎn)都應(yīng)位于左半s平面。為了檢驗(yàn)F(s)是否有右半s平面的零點(diǎn),可選擇一條包圍整個(gè)右半s平面的順時(shí)針?lè)较虻姆忾]曲線C,稱(chēng)之為奈奎斯特圍線。分兩種情況選擇奈奎斯特圍線:1.當(dāng)s平面的原點(diǎn)或虛軸上沒(méi)有F(s)的極點(diǎn)時(shí),所選的奈奎斯特圍線由兩部分組成,一是半徑為∞的右半圓( , );二是s平面的整個(gè)虛軸,即圖5-29(a)。2.當(dāng)s平面的原點(diǎn)或虛軸上有F(s)的極點(diǎn)時(shí),用無(wú)窮小半徑的半圓避開(kāi)虛軸上的開(kāi)環(huán)極點(diǎn),即圖5-29(b)所示的C曲線。要注意的是F(s)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)不包括這些虛軸上的極點(diǎn)個(gè)數(shù)。上述兩種情況的奈奎斯特圍線都包圍了整個(gè)右半s平面,因此也必然包圍了F(s)在右半s平面內(nèi)的所有極零點(diǎn)。根據(jù)幅角定理,由于系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是F(s)在右半s平面無(wú)零點(diǎn),即Z=0,因此系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)為:如果s在s平面順正方向沿奈奎斯特圍線C環(huán)繞一周時(shí),在F平面上的映射曲線正向包圍原點(diǎn)N=-P周,或者說(shuō)逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)P周,則系統(tǒng)穩(wěn)定。一般情況下,開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即P=0,則映射曲線不包圍其坐標(biāo)原點(diǎn)系統(tǒng)才穩(wěn)定。根據(jù)F(s)具有的特點(diǎn)3,N也可以用G(s)H(s)在GH平面上的關(guān)于 的包圍圈數(shù)獲得。下面研究奈奎斯特圍線C通過(guò)G(s)H(s)映射到GH平面上曲線的情況。如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的一般形式為 (5-53)則當(dāng)s沿半徑∞順時(shí)針移動(dòng)時(shí),即(α從90°變化到―90°),在G(s)H(s)平面上的映射為
(5-54)分析知,修正圍線起始于,終止于,并順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。
奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可敘述如下:閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)ω從-∞變到∞時(shí),系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖按逆時(shí)針?lè)较虬鼑c(diǎn)P周,P為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)位于右半s平面的極點(diǎn)數(shù)。如果開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,P
=0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖不包圍點(diǎn)。通常為了簡(jiǎn)單,只繪制曲線的正半部分,即ω從變到∞,此時(shí)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)將式(5-52)改為
(5-56)圖5-30給出了一些分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的例子。當(dāng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖 穿過(guò)點(diǎn),表明F(s)存在的零點(diǎn),即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程存在共軛純虛根,則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。a— ;b— ;c— ;d— ;e— ;f— ;g— ;h— ;i— 。例5-9
已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)曲線( )如圖5-31所示,試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K值范圍。解
如圖所示,開(kāi)環(huán)幅相曲線與負(fù)實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn),,設(shè)交點(diǎn)處的頻率分別為 ,系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)頻率特性可以描述為其中只含比例和積分環(huán)節(jié),即。當(dāng)K=30時(shí) , ,若,則對(duì)應(yīng)的K值為 ;;對(duì)應(yīng)地可以取,,,時(shí),開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖分別如圖5-32(a)、(b)、(c)、(d)所示。根據(jù)奈奎斯特判據(jù)可以看出,(a)、(c)圖穩(wěn)定,(b)、(d)圖不穩(wěn)定,即系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí)K值范圍為(0,15)和(20,60)。例5-10
已知滯后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試根據(jù)奈奎斯特判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時(shí),延遲時(shí)間值的范圍。解由圖5-21可知,該滯后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)曲線為螺旋線,即模值和相位都是單調(diào)減的。同時(shí),P=0,所以極坐標(biāo)曲線不包圍點(diǎn)穩(wěn)定。通過(guò)以上分析,系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是: 或??梢缘玫浇獾?,代入,得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件是。三、對(duì)數(shù)頻率特性圖上的奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)如果在極坐標(biāo)圖上的極坐標(biāo)曲線順時(shí)針包圍點(diǎn)一周,則必然從下而上穿越一次實(shí)軸的線段。因?yàn)檫@種穿越與規(guī)定的正方向(順時(shí)針?lè)较颍┮恢?,故稱(chēng)正穿越()。反之,從上而下(逆時(shí)針?lè)较颍┐┰綄?shí)軸的線段稱(chēng)為負(fù)穿越()。則,奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以表述為 (5-57)由于極坐標(biāo)圖上的與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線及線對(duì)應(yīng),所以在開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖上的正負(fù)穿越對(duì)應(yīng)在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上為在的頻率范圍內(nèi),相頻特性曲線由上而下或由下而上穿越線仍稱(chēng)作正或負(fù)穿越。對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為設(shè)系統(tǒng)在右半s平面內(nèi)的閉環(huán)極點(diǎn)為Z,開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為P,則在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性圖上的的頻率段內(nèi),相頻特性 正負(fù)穿越線的次數(shù)為 (5-58)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0,則 (5-59)這里應(yīng)注意極坐標(biāo)圖上半徑無(wú)窮大的那段弧,該圓弧在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上可表示為相頻特性曲線上的一條從相角到的垂線。另外,在的頻率段內(nèi),當(dāng)從線起始向下或向上延伸時(shí),算作半次正或負(fù)穿越。四、相對(duì)穩(wěn)定性頻域的相對(duì)穩(wěn)定性(穩(wěn)定裕度)常用相角裕度和幅值裕 度 度量。(一)相角裕度設(shè)為系統(tǒng)截止頻率 (5-60)定義相角裕度為
(5-61)相角裕度的含義是,對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng),如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后度,則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。(二)幅值裕度設(shè)為系統(tǒng)穿越頻率 (5-62)定義幅值裕度為
(5-63)幅值裕度的含義是,對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng),如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再放大倍,則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。極坐標(biāo)圖中和的表示如圖5-33(a)所示。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上,幅值裕度定義為 (dB)(5-64)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中和的表示如圖5-33(b)所示。例5-11
已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試分別計(jì)算K為1和4時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為按的定義可以求得。當(dāng)K=1時(shí) ,,,當(dāng)K=4時(shí)
,,
,由計(jì)算可得K=1,系統(tǒng)穩(wěn)定,,;K=4,系統(tǒng)不穩(wěn)定, , 。例5-12
已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為
試分別計(jì)算K為5和20時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性為按的定義可以求得。當(dāng)K=5時(shí) ,可以判斷出截止頻率在(1,10)之間,所以在(1,10)頻段幅頻漸近特性曲線可以表述為令模值為1,得,當(dāng)K=20時(shí) ,此時(shí)也可以判斷出截止頻率仍在(1,10)之間,利用上面的模值計(jì)算可得,,應(yīng)該指出,對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng),用相角裕度和幅值裕度描述系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性是不合適的。而對(duì)于最小相位系統(tǒng),僅用相角裕度或幅值裕度也不能全面描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性,通常需要同時(shí)利用兩個(gè)量衡量系統(tǒng)性能。為了保證系統(tǒng)有較滿意的暫態(tài)響應(yīng)特性,常取相角裕度,幅值裕度(即)或。根據(jù)伯德第二定理幅相對(duì)應(yīng)關(guān)系可知,對(duì)于最小相位系統(tǒng)其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線在截止頻率處的斜率若為-20dB/dec,則系統(tǒng)穩(wěn)定且有較大的相角裕度。斜率若為-40dB/dec,系統(tǒng)可能穩(wěn)定,也可能不穩(wěn)定,即使穩(wěn)定相角裕度也很小。斜率若小于-40dB/dec,則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。因此,常將開(kāi)環(huán)幅頻特性曲線在截止頻率處的斜率設(shè)計(jì)為-20dB/dec,并且這段特性的寬度大于5倍頻程作為控制系統(tǒng)的頻域設(shè)計(jì)基本原則。第四節(jié)頻率特性與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系一、頻率特性與時(shí)間響應(yīng)的一般關(guān)系根據(jù)頻率特性的定義式(5-14),當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí),則應(yīng)該將寫(xiě)成頻域形式,才能求出相應(yīng)的輸出。而單位階躍函數(shù)不是絕對(duì)可積的,故利用極限概念將其寫(xiě)成(≥0)其相應(yīng)的富氏變換為
對(duì)上式進(jìn)行富氏反變換并推導(dǎo)計(jì)算 (5-65)式(5-65)表明,單位階躍函數(shù)可以展為無(wú)窮多連續(xù)諧振分量 和一個(gè)恒值分量1/2之和。這樣就將單位階躍函數(shù)分解 為全部頻帶中所有頻率的正弦函數(shù)的疊加。如果線性系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為 (5-66)上式中。則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)由每一個(gè)輸入分量響應(yīng)之和組成。即 (5-67)式(5-67)給出了閉(開(kāi))環(huán)頻率特性與暫態(tài)響應(yīng)的一般關(guān)系。它說(shuō)明閉(開(kāi))環(huán)頻率特性與暫態(tài)響應(yīng)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。應(yīng)該指出,僅就整個(gè)頻率特性函數(shù)而言,頻率特性函數(shù)與暫態(tài)響應(yīng)函數(shù)有著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。性能指標(biāo)一般只反映函數(shù)的部分特征,不反映函數(shù)的全貌。兩個(gè)不同的甚至差異很大的頻率特性函數(shù)可以具有相同或接近的時(shí)域性能指標(biāo),但它們的時(shí)域響應(yīng)函數(shù)是不同的。為了分析閉環(huán)頻率特性的帶寬與時(shí)間響應(yīng)之間的關(guān)系,設(shè)兩個(gè)閉環(huán)頻率特性曲線形狀完全相同,但帶寬不同的兩個(gè)系統(tǒng),其閉環(huán)頻率特性分別其對(duì)數(shù)頻率如圖5-34(a)所示。則其單位階躍響應(yīng)分別為
即對(duì)于頻帶寬度不同但頻率特性曲線形狀相同的兩個(gè)系統(tǒng),頻帶寬度較寬的系統(tǒng)有著更快的暫態(tài)響應(yīng)過(guò)程,若頻帶寬k倍,暫態(tài)響應(yīng)將快k倍,如圖5-34(b)所示。即頻域的擴(kuò)展相當(dāng)于時(shí)域的壓縮,時(shí)域的擴(kuò)展相當(dāng)于頻域的壓縮。這一結(jié)論也適用于開(kāi)環(huán)頻率特性。二、開(kāi)環(huán)頻率特性與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性一般可以表示為 (5-68)對(duì)于0型系統(tǒng),式(5-68)可寫(xiě)為 (5-69)當(dāng)時(shí),有及。即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段總是一條幅值為的水平直線,如圖5-35所示。因此根據(jù)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段即可確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。
圖5-35對(duì)于1型系統(tǒng),式(5-68)可寫(xiě)為 (5-70)當(dāng)時(shí),有及,當(dāng) 時(shí),有。即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段總是一條斜率為-20dB/dec的直線,且低頻段的漸近曲線[圖5-36(a)或其延長(zhǎng)線圖5-36(b)]與0dB線相交于 點(diǎn)。因此根據(jù)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性低頻段漸近曲線或其延長(zhǎng)線與0dB線相交的頻率,即可以確定穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。圖5-36對(duì)于2型系統(tǒng),式(5-68)可寫(xiě)為 (5-71)當(dāng)時(shí),有及,當(dāng)時(shí),有。即開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性漸近曲線的低頻段總是一條斜率為-40dB/dec的直線,且低頻段的漸近曲線[圖5-37(a)或其延長(zhǎng)線圖5-37(b)]與0dB線相交于 點(diǎn)。因此根據(jù)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性低頻
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