西安科技大學(xué)自動(dòng)控制原理教學(xué)同步教程-第八章課件

1第八章

離散控制系統(tǒng)的分析和校正

8-1信號(hào)的采樣與保持

8-2Z變換理論8-3采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

8-4離散系統(tǒng)的時(shí)域分析法8-5離散控制系統(tǒng)的校正本章主要內(nèi)容8-1信號(hào)的采樣與保持

一、采樣過(guò)程及其數(shù)學(xué)描述

離散控制系統(tǒng)是指系統(tǒng)內(nèi)的信號(hào)在某一點(diǎn)上是不連續(xù)的。1）在有規(guī)律的間隔上系統(tǒng)采取到了離散信息，則稱這種采樣為周期采樣；2）如果信息之間的間隔是時(shí)變的或隨機(jī)的，則稱這種采樣為非周期采樣（隨機(jī)采樣）；

3）把連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過(guò)程稱為采樣。1采樣控制系統(tǒng)2、數(shù)字控制系統(tǒng)例如圖所示的數(shù)字閉環(huán)控制系統(tǒng)。數(shù)字閉環(huán)控制系統(tǒng)3、離散系統(tǒng)特點(diǎn)⑴由數(shù)字計(jì)算機(jī)構(gòu)成的數(shù)字校正裝置,效果比連續(xù)式校正裝置好,且由軟件實(shí)現(xiàn)的控制規(guī)律易于改變,控制靈活.⑵采樣信號(hào),特別是數(shù)字信號(hào)的傳遞可以有效地抑制噪聲,從而提高了系統(tǒng)的抗干擾能力.⑶允許采用高靈敏度的控制元件,以提高系統(tǒng)的控制精度.⑷可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng),經(jīng)濟(jì)性好.⑸對(duì)于具有傳輸延遲,特別是大滯后的控制系統(tǒng),可以引人采樣的方式使其趨于穩(wěn)定.4、采樣過(guò)程及其數(shù)學(xué)描述1)、采樣過(guò)程描述采樣過(guò)程

當(dāng)采樣開關(guān)的閉合時(shí)間時(shí),采樣器就可以用一個(gè)理想采樣開關(guān)來(lái)代替,采樣過(guò)程可以看成是一個(gè)幅值調(diào)制過(guò)程.理想采樣開關(guān)好像是一個(gè)載波為的幅值調(diào)制器,如圖所示,其中為理想單位脈沖序列.理想采樣過(guò)程

脈沖調(diào)制器r(t)e(t)e*(t)c(t)t單位脈沖信號(hào)的表達(dá)式為：

脈沖函數(shù)，是一寬度為

，高度為的矩形脈沖，矩形的面積為A。當(dāng)

趨于零時(shí)，是一寬度為0，面積為A，幅值為無(wú)窮的理想脈沖。當(dāng)A=1時(shí)，稱為理想單位脈沖函數(shù)，亦稱

函數(shù)。單位脈沖函數(shù)可看作是單位階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。理想的單位脈沖信號(hào)實(shí)際上是不存在的，只具有數(shù)學(xué)意義，但在自動(dòng)控制系統(tǒng)的研究中具有重要的作用。任意形式的外作用可以看作是在不同時(shí)刻存在的，強(qiáng)度不同的無(wú)限個(gè)脈沖函數(shù)的疊加。定義脈沖函數(shù)特性：⑴、面積為1；⑵、當(dāng)，脈沖函數(shù)為函數(shù)。函數(shù)，或脈沖函數(shù)，性質(zhì)：⑴、⑵、對(duì)連續(xù)的任何函數(shù)f,有2)、采樣過(guò)程的特點(diǎn)(1)、采樣過(guò)程相當(dāng)于一個(gè)脈沖調(diào)制過(guò)程(2)、采樣的輸出信號(hào)可表示兩個(gè)信號(hào)的乘積決定采樣時(shí)間決定采樣信號(hào)的幅值調(diào)制器采樣器3)、采樣信號(hào)的物理意義連續(xù)時(shí)間信號(hào)被單位脈沖序列作了離散時(shí)間調(diào)制。

如果用數(shù)學(xué)形式描述上述調(diào)制過(guò)程,則有因?yàn)閱挝幻}沖序列可以表示為其中是出現(xiàn)在時(shí)刻時(shí)、強(qiáng)度為1的單位脈沖,故可以寫為4)采樣信號(hào)的數(shù)學(xué)描述因此,脈沖序列是從零開始的.上述討論過(guò)程中,假設(shè)了由于e(t)

的數(shù)值僅在采樣瞬時(shí)才有意義,所以上式又可表示為采樣器輸出看做是一串脈沖，脈沖的強(qiáng)度，分別等于各采樣瞬時(shí)上的采樣數(shù)值。5）、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述采樣信號(hào)的拉氏變換15對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行拉氏變換,可得根據(jù)拉氏變換的位移定理,有注意:②由于只描述了e(t)在采樣瞬時(shí)的數(shù)值,所以不能給出連續(xù)函數(shù)e(t)在采樣間隔之間的的信息.①與采樣函數(shù)e(nT)

聯(lián)系了起來(lái),可以直接看出的時(shí)間響應(yīng).③采樣拉氏變換,與連續(xù)信號(hào)e(t)

的拉氏變換非常類似.因此,如果e(t)是一個(gè)有理函數(shù),則無(wú)窮級(jí)數(shù)也總是可以表示成的有理函數(shù)形式.④在求的過(guò)程中,初始值通常規(guī)定采用所以,采樣拉氏變換

由于采樣信號(hào)的信息并不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息,所以采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比,要發(fā)生變化.研究采樣信號(hào)的頻譜,目的是找出與之間的相互聯(lián)系.

展開為如下形式的富氏級(jí)數(shù)：式中,,為采樣角頻率,是富氏系數(shù),其值為1、采樣信號(hào)的頻譜二采樣函數(shù)的頻譜分析與采樣定理

在區(qū)間中,僅在t=0時(shí)有值,且所以得那么對(duì)上式兩邊取拉氏變換,由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理,得到：上式說(shuō)明：1采樣開關(guān)前后信號(hào)的拉氏變換之間的關(guān)系；2

是s的周期函數(shù)。式中：----原函數(shù)e(t)的頻譜，最高頻率為----調(diào)幅脈沖序列的頻譜，以為周期。以代入（在頻域內(nèi)）,上式變?yōu)椋杭措x散信號(hào)與連續(xù)信號(hào)頻譜關(guān)系。非周期連續(xù)信號(hào)采樣前后的頻譜采樣頻率變化時(shí)原連續(xù)信號(hào)與采樣信號(hào)的頻譜0連續(xù)信號(hào)的頻譜0n=-1n=0n=1采樣信號(hào)的頻譜()2、香農(nóng)（shannon）采樣定理1）、信號(hào)恢復(fù)條件23

如果滿足條件s>2h

，頻譜的主分量與補(bǔ)分量相互分離，可以采用一個(gè)低通濾波器，將采樣信號(hào)頻譜中的鏡像頻譜濾除，來(lái)恢復(fù)原連續(xù)時(shí)間信號(hào)。當(dāng)s<2h

時(shí)，采樣頻譜中的補(bǔ)分量相互交疊，致使采樣器的輸出信號(hào)發(fā)生畸變。0連續(xù)信號(hào)的頻譜0n=-1n=0n=1采樣信號(hào)的頻譜()信號(hào)復(fù)現(xiàn)的條件：加一個(gè)如圖所示的理想濾波器。12脈沖序列互不搭接：01.0理想濾波器的頻率特性2）、shannon采樣定理實(shí)際使用時(shí)：

為使采樣后的脈沖序列頻譜互不搭接，采樣頻率必須大于或等于原信號(hào)所含的最高頻率的兩倍：這樣才有可能通過(guò)理想濾波器,把原信號(hào)毫無(wú)畸變地恢復(fù)出來(lái)。ωh為連續(xù)信號(hào)f(t)的最高次諧波的角頻率。則采樣信號(hào)f*(t)就可以無(wú)失真地再恢復(fù)為原連續(xù)信號(hào)f(t)。需要指出的是，采樣定理只是在理論上給出了信號(hào)準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)的條件。但還有2個(gè)實(shí)際問(wèn)題需要解決。其一，實(shí)際的非周期連續(xù)信號(hào)頻譜最高頻率是無(wú)限的.其二，需要一個(gè)幅頻特性為矩形的理想低通濾波器，才能把原信號(hào)不失真地復(fù)現(xiàn)出來(lái)。三、信號(hào)保持能使采樣信號(hào)不失真地復(fù)現(xiàn)為原連續(xù)信號(hào)的低通濾波器應(yīng)具有理想的矩形頻率特性。即：理想濾波器的頻率特性實(shí)現(xiàn)外推常用的方法是采用多項(xiàng)式外推公式由于Δt=0時(shí)上式也成立，所以ao=f(kT)，從而得到零階保持器的外推公式為經(jīng)過(guò)這樣的濾波器濾波之后，信號(hào)的頻譜變?yōu)椋罕３制魇菍⒉蓸有盘?hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)的裝置。零階保持器的作用此矩形波可表達(dá)為兩個(gè)單位階躍函數(shù)的疊加。即：可求得零階保持器的傳遞函數(shù)為：其頻率特性則為：據(jù)此可繪出零階保持器的幅頻特性和相頻特性曲線零階保持器的頻率特性7-2Z變換理論一、定義z變換實(shí)質(zhì)上是拉氏變換的一種擴(kuò)展，也稱作采樣拉氏變換。引入一個(gè)新的變量z，令：對(duì)于采樣函數(shù):取拉氏變換:則:說(shuō)明:z變換僅僅是一種取的變量置換，通過(guò)它將s的超越函數(shù)變?yōu)閦的冪級(jí)數(shù)或z的有理分式。例7-1

求單位階躍函數(shù)的z變換二、Z變換方法

1、級(jí)數(shù)求和法（從定義出發(fā)）例8-1求理想脈沖序列的z變換

解:因?yàn)門

為采樣周期,故由拉氏變換知因此把上式寫成閉合形式.得的z變換為例8-2

求指數(shù)函數(shù)的z變換

解:這是一個(gè)首項(xiàng)為1、公比為的幾何級(jí)數(shù),其和為:例8-3求e(t)=t

的z變換2、部分分式法例8-4

求

的z變換

先求出已知連續(xù)函數(shù)e(t)的拉氏變換E(s),然后將其分解為部分分式之和,再利用z變換表求出每一部分分式對(duì)應(yīng)的z變換,最后相加即可.

設(shè)連續(xù)函數(shù)e(t)的拉普拉斯變換E(S)及全部極點(diǎn)已知,則可用留數(shù)計(jì)算法求Z變換當(dāng)E(S)具有一階極點(diǎn)s=p1時(shí),其留數(shù)為當(dāng)E(S)具有q階重復(fù)極點(diǎn)時(shí),其留數(shù)為3、留數(shù)計(jì)算法例8-5：求的Z變換解:例8-6：求的Z變換

解:具有兩階重極點(diǎn)設(shè)Z[e(t)]=E(z),則:式中,為常數(shù)或與t,z無(wú)關(guān)的量。z變換的基本定理,與拉氏變換的基本定理有相似之處.三、Z變換基本定理

1.線性定理2、實(shí)數(shù)位移定理（平移定理）

設(shè)連續(xù)函數(shù)e(t),當(dāng)t<0時(shí)，e(t)=0則:以及證明：由z變換定義令m=n-k,則有由于z變換的單邊性，當(dāng)m<0時(shí)，有e(mT)=0,所以令m=n,立即得證式。取k=1,得令m=n+1,上式可寫為取k=2,同理，得取k=k時(shí)，必有證明：由z變換的定義3、復(fù)數(shù)位移定理

令則有如果e(t)的z變換為E(z),并且是存在的，則e(t)或e(nT)的初始值e(0)為

證明：由z變換定義可見(jiàn)時(shí)，即可證得結(jié)論。4、初值定理如果e(t)的z變換為E(z),序列e(nT)為有限值，存在，則證明：由z變換線性定理由平移定理于是5、終值定理當(dāng)取n=N為有限項(xiàng)時(shí)，上式右端可寫為所以終值定理亦可表示為證明：由z變換定義6、復(fù)域微分G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)線性定常系統(tǒng)，輸入輸出關(guān)系可用卷積分表示7、卷積和定理輸出量c(t)在采樣瞬時(shí)t=nT,n=0,1,2,…,←卷積和簡(jiǎn)記為當(dāng)時(shí)，Z反變換是已知Z變換表達(dá)式E(z)e(nT)的過(guò)程注意：z-變換的非唯一性，即：e*1(t)=e*2(t)，E1(s)=E2(s)但e1(t)≠e2(t)。只能求出序列的表達(dá)式，而不能求出它的連續(xù)函數(shù)！求解方法：長(zhǎng)除法、部分分式法、留數(shù)法。四、z反變換

1、長(zhǎng)除法（冪級(jí)數(shù)法）59要點(diǎn)：用長(zhǎng)除法化為降冪排列的展開形式

Z反變換為即：例8-7：

求的Z反變換解：步驟：①先將變換式寫成，展開成部分分式，③查Z變換表②兩端乘以Z2、部分分式法（因式分解法，查表法）例8-8求的Z反變換解：①②③3、留數(shù)法（反演積分法）設(shè)為z平面上包圍全部極點(diǎn)的封閉曲線，且為反時(shí)針?lè)较?。由此得到反演積分公式：是函數(shù)E(z)zn-1在極點(diǎn)zi處的留數(shù)曲線可以是包含E(z)zn-1全部極點(diǎn)的任意封閉曲線，若zi為一重極點(diǎn)若zi為q重極點(diǎn)例8-9：求

的Z反變換解：有兩個(gè)一重極點(diǎn)的Z反變換解：有一個(gè)兩重極點(diǎn)例8-10：求7-3采樣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型①差分方程；②脈沖傳遞函數(shù)；③離散狀態(tài)空間。

將輸入序列r(n)變換為輸出序列c(n)的一種變換關(guān)系,稱為離散系統(tǒng).記作其中,r(n)和c(n)為時(shí)系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列為采樣周期.一、線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義兩個(gè)采樣點(diǎn)信息之間的微商即稱為差分。忽略采樣間隔T連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)r(t)c(t)微分方程R(s)C(s)G(s)2、差分方程及其解法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)r(k)c(k)差分方程R(z)C(z)G(z)這樣就變成了以復(fù)變量z為自變量的函數(shù)。稱此函數(shù)為f*(t)的z變換。將上式展開：可見(jiàn)，采樣函數(shù)的z變換是變量z的冪級(jí)數(shù)。z變換與z反變換并非一一對(duì)應(yīng)3、用z變換法解差分方程例8-11已知一階差分方程為：設(shè)輸入為階躍信號(hào)u(kT)=A，初始條件y(0)=0，試求響應(yīng)y(kT)。解將差分方程兩端取z變換，得：代入初始條件，求得輸出的z變換為：為求得時(shí)域響應(yīng)y(kT)，需對(duì)Y(z)進(jìn)行反變換，先將Y(z)/z展成部分分式：于是查變換表，求得上式的反變換為：二、脈沖傳遞函數(shù)

1、脈沖傳遞函數(shù)的定義離散過(guò)程的結(jié)構(gòu)

對(duì)于如圖離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，定義脈沖傳遞函數(shù)：如果一個(gè)系統(tǒng)如圖表示，此時(shí)有

Y(s)=G(s)U*(s)

Y(s)=L[y(t)]開環(huán)采樣系統(tǒng)方框圖所謂零初始條件,是指在t<0時(shí),輸入以及輸出脈沖序列各采樣值r(-T),r(-2T),

c(-T),c(-2T),均為零.R(z)已知,求c*(t)關(guān)鍵在于求出系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)G(z).

線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為:在零初始條件下,系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)的z變換與輸入采樣信號(hào)的z變換之比,記作如果已知R(z)和G(z),輸出采樣信號(hào)為實(shí)際開環(huán)離散系統(tǒng)G(s)G(z)r(t)R(z)c(t)C(z)虛設(shè)開關(guān)2、脈沖傳遞函數(shù)意義由卷積和定理，可得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)即為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)g(t)經(jīng)采樣后離散信號(hào)的Z變換，即系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，即其單位脈沖響應(yīng)g(t)衰減越快，則相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)的展開式中包含的項(xiàng)數(shù)越少。脈沖響應(yīng)求G(z)的一般步驟：①求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s);②將G(s)分解成部分分式后用查表法求取G(z),

若不能查表，則繼續(xù)按下述步驟進(jìn)行；③求出脈沖響應(yīng)函數(shù)④從nT代替g(t)中的t，再按Z變換的定義計(jì)算：3、脈沖傳遞函數(shù)的求法三、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)1、連續(xù)信號(hào)拉氏變換的采樣規(guī)律（1）采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性[E*(s)G1(s)G2(s)]*=E*(s)[G1(s)G2(s)]*（2）離散信號(hào)可從離散符號(hào)中提出來(lái)設(shè)G1(s)G2(s)=G(s)，則有：[E*(s)G(s)]*=∵E*(s)與∑無(wú)關(guān)，=E*(s)[G(s)]*所以有：G*(s)=G*(s+jnωs)2、串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)（1）二串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣器環(huán)節(jié)串聯(lián)的開環(huán)系統(tǒng)（2）串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣器若則若則有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)3、并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效并聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖四、閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)1、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般計(jì)算方法93閉環(huán)采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)B(s)誤差方程采樣后z變換反饋方程輸出方程（1）反饋通道無(wú)采樣器代入作采樣z變換誤差的z變換即輸出方程采樣z變換輸出對(duì)輸入的脈沖傳遞函數(shù)G(s)H(s)R(s)+-C(s)E(s)（3）對(duì)于一般的單閉環(huán)系統(tǒng)（2）反饋通道有采樣器下表列出了部分離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其脈沖傳遞函數(shù)。續(xù)表2、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的簡(jiǎn)易計(jì)算方法①離散系統(tǒng)中的采樣開關(guān)去掉，求出對(duì)應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的輸出表達(dá)式；②表達(dá)式中各環(huán)節(jié)乘積項(xiàng)需逐個(gè)決定其“*”號(hào)。方法是：乘積項(xiàng)中某項(xiàng)與其余相乘項(xiàng)兩兩比較，當(dāng)且僅當(dāng)該項(xiàng)與其中任一相乘項(xiàng)均被采樣開關(guān)分隔時(shí)，該項(xiàng)才能打“*”號(hào)。否則需相乘后才打“*”號(hào)。③取Z變換，把有“*”號(hào)的單項(xiàng)中的s變換為z，多項(xiàng)相乘后僅有一個(gè)“*”號(hào)的其Z變換等于各項(xiàng)傳遞函數(shù)乘積的Z變換。7-4離散系統(tǒng)的時(shí)域分析法一、Z平面與S平面的影射關(guān)系1、S平面的虛軸在Z平面上的映射（1）S平面的虛軸映射到Z平面上，是以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的單位圓。S平面的原點(diǎn)映射到Z平面上則是(+1，j0)點(diǎn)。S平面到Z平面的映射(a)穩(wěn)定域從S平面到Z平面的映射S平面到Z平面的映射(b)S平面的虛軸在Z平面上的映射（2）S平面左半部分在Z平面上的映射

S平面左半部分每一條寬度為ωs的帶狀區(qū)域，映射到Z平面上，都是單位圓內(nèi)區(qū)域。（3）S平面右半部分在Z平面上的映射因此，整個(gè)S平面右半部分在Z平面上的映像是以原點(diǎn)為圓心的單位圓外部區(qū)域。二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件根據(jù)在S平面系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是極點(diǎn)σ＜0可知：

離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條