ZB(七章2講)全同粒子

量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理

Quantummechanicsandstatisticalphysics光電信息學(xué)院李小飛第七章：自旋與全同粒子第二講：全同粒子引入：前面我們主要研究的是單粒子和雙粒子體系問題，對于三體問題，我們采用微擾和變分的方法進(jìn)行處理。

實(shí)際體系，所含粒子數(shù)目眾多，一般應(yīng)要采用統(tǒng)計(jì)物理的方法。本堂課主要目的讓大家了解多體量子體系的特點(diǎn)。下堂課開始學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)物理為了使問題變得簡明，我們著重研究同類粒子構(gòu)成的全同粒子體系所有固有屬性都相同的粒子稱為一種全同粒子一.全同性原理例如：

所包含的粒子都是電子的體系，就是一種全同粒子體系1.全同粒子體系又如：

光場所包含的都是光子，也是一種全同粒子體系2．不可區(qū)分性

經(jīng)典力學(xué)中，全同粒子體系中的粒子雖然固有屬性完全相同，仍可通過位置和運(yùn)動(dòng)軌跡等加以區(qū)分。

1212微觀粒子，具有波粒二象性，沒有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，在波函數(shù)重迭區(qū)域的兩全同粒子無法區(qū)分。

例如：在電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)中，形成干涉條紋的電子，你無法判別是從通哪條縫過來的……微觀粒子運(yùn)動(dòng)服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的3．全同性原理由于全同粒子的不可區(qū)分性，在全同粒子所組成的多粒子系統(tǒng)中，任意選取兩個(gè)粒子進(jìn)行交換（位置等），應(yīng)不引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。稱為全同性原理

全同性原理是量子力學(xué)中的基本原理之一，不能推導(dǎo)，只能用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。因此，態(tài)函數(shù)的概率分布不變：

二．全同粒子波函數(shù)的特性設(shè)體系由N個(gè)全同粒子組成以表示第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋表示第i個(gè)粒子在外場中的勢能表示第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子的相互作用能哈密頓量：很明顯：兩粒子互換，哈密頓量不變1．波函數(shù)要么是對稱的，要么是反對稱的Ｓ－方程：交換與交換前后的兩波函數(shù)是同一方程的解

根據(jù)全同性原理，它們描述的是同一個(gè)態(tài)，因此它們可能相差一常數(shù)因子，以表示：

現(xiàn)在再把和交換一次

得證：描述全同粒子體系的波函數(shù)要么是對稱的，要么是反對稱的。當(dāng)時(shí)交換后波函數(shù)反號(hào)，稱為反對稱波函數(shù)當(dāng)時(shí)交換后波函數(shù)不變，稱為對稱波函數(shù)2．波函數(shù)的對稱性不隨時(shí)間變化

設(shè)時(shí)刻波函數(shù)對稱：它滿足薛定諤方程：

由于

對稱,

也對稱在時(shí)刻，波函數(shù)為它是兩個(gè)對稱函數(shù)之和，故也是對稱的。同樣可證明反對稱函數(shù)在以后任何時(shí)刻都是反對稱的。證明：方法II定義交換算符：

結(jié)論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是交換對稱的或反對稱的，且這種對稱性不隨時(shí)間變化。費(fèi)米子：自旋為奇數(shù)倍的粒子稱為費(fèi)米子。如電子、質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為，它們均為費(fèi)米子。

玻色子：自旋為的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、光子的自旋分別為O或，它們均為玻色子。波函數(shù)對稱的粒子稱為玻色子，服從玻色—愛因斯坦統(tǒng)計(jì)；波函數(shù)反對稱的粒子稱為費(fèi)米子，服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)3．費(fèi)米子與玻色子復(fù)雜費(fèi)米子和玻色子三

全同粒子體系的波函數(shù)1、兩粒子體系

以和表示的單個(gè)粒子第i

個(gè)本征值和本征函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：體系哈密頓算符的本征值方程為： 哈密頓量：這時(shí)，體系的態(tài)函數(shù)可以變量分離，表示成單粒子態(tài)函數(shù)的Hartree積：

稱這樣態(tài)為可分離態(tài)（separablestate)，統(tǒng)計(jì)物理研究。

反之，稱為(純)糾纏態(tài)(entangledstate)。

對于非全同粒子體系，兩粒子不具有相同的波函數(shù)，體系處于混態(tài)（mixedstate），它們的糾纏態(tài)稱為混糾纏態(tài)，

糾纏態(tài)在量子通訊中有重要應(yīng)用(潘建偉團(tuán)隊(duì)2015年世界十大科技第一名，國家自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng))當(dāng)兩粒子間的相互作用很小，可以忽略時(shí)，體系的哈密頓算符

本征波函數(shù)

本征能量

若兩粒子交換，則能量值仍為是簡并的，稱為交換簡并。

如果兩粒子處于不同狀態(tài)，即：，交換前后的兩波函數(shù)：

即交換前后按Hartree積構(gòu)成的兩波函數(shù)既不對稱，也不反對稱。不符合對稱性要求！因此要改！當(dāng)體系處于可分離態(tài)時(shí)，

FOCK發(fā)現(xiàn)：由Hartree積的和差構(gòu)成的兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)是對稱的，一個(gè)是反對稱的，因此可以用這種方式構(gòu)造體系波函數(shù)玻色系統(tǒng)（對稱）

費(fèi)米系統(tǒng)

（反對稱）

泡利不相容原理兩費(fèi)米子不處于同一態(tài)！

對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩個(gè)玻色子處于同一個(gè)狀態(tài)時(shí)，這時(shí)

，故幾率密度，允許！

對于費(fèi)米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當(dāng)兩費(fèi)米子處于同一個(gè)狀態(tài)時(shí)，故幾率密度，不允許！將兩粒子體系推廣到N

粒子體系（忽略粒子間相互作用，稱近獨(dú)立全同粒子體系）單粒子的本征值方程：體系的薛定格方程：總本征能量2、構(gòu)造N粒子體系的波函數(shù)

可見，近獨(dú)立全同粒子體系的能量等于各單粒子能量之和，哈密頓算符的本征函數(shù)是各單粒子的本征函數(shù)的Hartree-Fock方式

構(gòu)成。下面分別構(gòu)成近獨(dú)立全同費(fèi)米和玻色系統(tǒng)的波函數(shù)。

由N個(gè)費(fèi)米子組成的體系的本征函數(shù)：稱為斯萊特行列式

3、費(fèi)米子體系波函數(shù)費(fèi)米系統(tǒng)

（反對稱）

將斯萊特行列式展開，共有項(xiàng)，所以歸一化常數(shù)

如果N個(gè)粒子中，有兩個(gè)處于同一個(gè)狀態(tài)，則斯萊特行列式中有兩行完全相同，這使行列式等于零，從而體系的波函數(shù)為0

即：不能有兩個(gè)及兩個(gè)以上的費(fèi)米子處在同一態(tài)！

交換任意兩個(gè)粒子，在斯萊特行列式中就表現(xiàn)出兩列相互交換，這使行列式改變符號(hào)。所以是反對稱的。4、玻色子體系波函數(shù)

表示對所有可能的排列求和，C是歸一化常數(shù)：因?yàn)镹個(gè)粒子排列共有種不相同的形式。所以歸一化因子為：nk

是單粒子態(tài)k

上的粒子數(shù)玻色系統(tǒng)（對稱）

例1

一個(gè)體系由三個(gè)費(fèi)米子組成，粒子間無相互作用，單粒態(tài)的可能態(tài)為、、，對應(yīng)能量為1.2eV,1.2eV,1.5eV，求：（1）系統(tǒng)波函數(shù)，能量的可能值及其簡并度（2）若體系只有二個(gè)費(fèi)米子呢？Solve（1）E1＝1.2+1.2+1.5＝3.9eV，簡并度1單態(tài)能量：1.21.21.5占據(jù)數(shù)：1

101

010

11

E110＝1.2+1.2＝2.4

E101＝1.2+1.5＝2.7雙粒子能量：

E011＝1.2+1.5＝2.7雙粒子能級(jí)：簡并度Ｅ1=2.41

Ｅ2=2.7２Solve（2）:雙費(fèi)米子

一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三，能量分別為1.2,1.2,1.5eV,問體系可能的微觀狀態(tài)數(shù)目？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？能量可能值及簡并度？解：（1）三個(gè)玻色子分別處于三個(gè)單態(tài)上：例2（2）三個(gè)粒子處于同一個(gè)單態(tài)上（3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)三種情況共十個(gè)微觀態(tài)，4種能量可能值E＝1.2+1.2+1.5＝3.9E＝3.6E＝3.6E＝4.5E＝3.6E＝3.9E＝3.6E＝3.9E＝4.2E＝4.2體系4個(gè)能級(jí)E1＝3.6E2＝3.9E3＝4.2E4＝4.5簡并度4321氫分子或氦原子含兩個(gè)電子，若不考慮旋軌耦合，全波函數(shù)可寫成空間與自旋波函數(shù)的乘積：

設(shè)體系的核不動(dòng)，則只有兩個(gè)電子，是Fermi體系，則應(yīng)是反對稱化的，要由空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)共同保證！I、ψ對稱，則

反對稱；II、ψ

反對稱，則

對稱。５、雙電子體系的自旋波函數(shù)結(jié)論：單求自旋波函數(shù)來說，它可以是對稱的，也可以是反對稱的。

不考慮兩電子間自旋相互作用，兩電子體系的自旋函數(shù)應(yīng)由單電子自旋函數(shù)的Hartree積來構(gòu)成，由Hartree積可構(gòu)成四個(gè)自旋函數(shù)

（三個(gè)對稱函數(shù)和一個(gè)反對稱)現(xiàn)在構(gòu)造雙電子體系的波函數(shù)…依據(jù)：自旋波函數(shù)可以是對稱的，也可以是反對稱的?，F(xiàn)在求自旋大小……先解單電子體系….的本征值：兩電子體系的總自旋角動(dòng)量:再考慮兩電子體系…現(xiàn)在先算四個(gè)態(tài)中的第一個(gè)S2……同理可得其他三個(gè)態(tài)的…再求Sz……結(jié)合在一起：自旋多重態(tài)自旋三重態(tài)、單態(tài)和糾纏態(tài)形象地記:兩電子體系自旋三重態(tài)（平行）兩電子體系自旋獨(dú)態(tài)（反平行）對稱波函數(shù)自旋平行三重態(tài)反對稱波函數(shù)自旋反平行單態(tài)例3：本征方程：50

例４：一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的玻函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成？解：狀態(tài)數(shù)=設(shè)兩單粒子態(tài)為和

。第一種情況：三粒子同處于態(tài)：三粒子同處于態(tài)：

(1)三個(gè)玻色子處在同一個(gè)狀態(tài)。(2)兩個(gè)玻色子處在同一個(gè)狀態(tài)，另一個(gè)玻色子處于另一狀態(tài)。有兩種情況：第二種情況：兩粒子同處于態(tài)，一粒子處于態(tài)兩粒子同處于態(tài)，一粒子處于態(tài)

一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。可能的單粒子態(tài)有三，問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構(gòu)成？解：（1）三個(gè)玻色子分別處于三個(gè)單態(tài)上：狀態(tài)數(shù)：例５54（2）三個(gè)粒子處于同一個(gè)單態(tài)上55（3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)56三種情況共十個(gè)態(tài)！附注：關(guān)于重復(fù)組合問題從m種不同數(shù)中每次取n個(gè)數(shù)（數(shù)可重復(fù)選取），不管排列順序構(gòu)成一組，這稱為重復(fù)組合問題，記為：（m可大于、等于或小于n）重復(fù)組合與通常組合不同，其計(jì)算公式為：通常組合計(jì)算公式：重復(fù)組合計(jì)算公式表明：從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從（m+n-1）個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的普通組合的種數(shù)。應(yīng)用重復(fù)組合，計(jì)算全同