直角三角形與勾股定理

第五節(jié)直角三角形與勾股定理考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定例1(2017·江蘇宿遷中考)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，若CD＝2，則線段EF的長(zhǎng)是

．【分析】首先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的中位線定理求解．【自主解答】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，即CD是直角三角形斜邊上的中線，∴AB＝2CD＝2×2＝4.又∵E，F(xiàn)分別是BC，CA的中點(diǎn)，即EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB＝×4＝2.故答案為2.應(yīng)用勾股定理的注意問(wèn)題(1)應(yīng)用勾股定理的前提必須是在直角三角形中；(2)當(dāng)直角三角形的斜邊不確定時(shí)，要注意分類(lèi)討論．1．(2018·江蘇揚(yáng)州中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定成立的是()A．BC＝ECB．EC＝BE C．BC＝BED．AE＝ECC2．(2017·四川瀘州中考)在△ABC中，已知BD和CE分別是邊AC，AB上的中線，且BD⊥CE，垂足為O，若OD＝2cm，OE＝4cm，則線段AO的長(zhǎng)為_(kāi)______cm.考點(diǎn)二俯角、仰角例2(2018·四川瀘州中考)如圖，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距離AB為90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，從E(A，E，B在同一水平線上)點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的仰角為30°，測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°，求這兩座建筑物頂端C，D間的距離(計(jì)算結(jié)果用根號(hào)表示，不取近似值)．【分析】在直角三角形中，利用三角函數(shù)用AD表示出AE，DE，用BC表示出CE，BE.根據(jù)BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90m，求出AD，DE，CE的長(zhǎng)．在Rt△DEC中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)．【自主解答】由題意知BC＝6AD，AE＋BE＝AB＝90m.3．(2018·湖北咸寧中考)如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部B的仰角為45°，測(cè)得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為110m，那么該建筑物的高度BC約為_(kāi)_____m(結(jié)果保留整數(shù)，≈1.73)．

3004．(2018·四川達(dá)州中考)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們到附近的濕地公園測(cè)量園內(nèi)雕塑的高度．用測(cè)角儀在A處測(cè)得雕塑頂端點(diǎn)C的仰角為30°，再往雕塑方向前進(jìn)4米至B處，測(cè)得仰角為45°.問(wèn)：該雕塑有多高？(測(cè)角儀高度忽略不計(jì)，結(jié)果不取近似值)解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.設(shè)CD＝x米．∵∠CBD＝45°，∠BDC＝90°，∴BD＝CD＝x米．∵∠A＝30°，AD＝AB＋BD＝(4＋x)米，考點(diǎn)三勾股定理逆定理的應(yīng)用例3(2017·浙江溫州中考)四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12SB．10SC．9SD．8S【分析】設(shè)AM＝2a，BM＝b，則正方形ABCD的面積＝4a2＋b2，由題意可知EF＝(2a－b)－2(a－b)＝2a－b－2a＋2b＝b，由此即可解決問(wèn)題．【自主解答】設(shè)AM＝2a，BM＝b，則正方形ABCD的面積＝4a2＋b2.由題意可知EF＝(2a－b)－2(a－b)＝2a－b－2a＋2b＝b.∵AM＝2EF，∴2a＝2b，∴a＝b.∵正方形EFGH的面積為S，∴b2＝S，∴正方形ABCD的面積＝4a2＋b2＝9b2＝9S.故選C.5．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C，則OC長(zhǎng)為()D考點(diǎn)四直角三角形全等的判定例4(2017·湖南常德中考)如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D在BC上，連結(jié)AD，作BF⊥AD分別交AD于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F.(1)如圖1，若BD＝BA，求證：△ABE≌△DBE；(2)如圖2，若BD＝4DC，取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)CG交AD于點(diǎn)M，求證：①GM＝2MC；②AG2＝AF·AC.【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；(2)①過(guò)點(diǎn)G作GH∥AD交BC于點(diǎn)H，由AG＝BG得到BH＝DH，根據(jù)已知條件及平行線分線段成比例定理求解；②過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則CN∥AG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【自主解答】(1)∵BF⊥AD，∴∠AEB＝∠DEB＝90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)．(2)①如圖，過(guò)點(diǎn)G作GH∥AD交BC于點(diǎn)H.∵BD＝4DC，G是AB的中點(diǎn)，GH∥AD，∴H是BD的中點(diǎn)，∴HD＝BH＝2DC.由GH∥AD得∴GM＝2MC.②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AC，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則AB∥CN，∴△ADB∽△NDC.∵BD＝4DC，又∵BF⊥AD，∠BAC＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝∠FAE＋∠BAE，∴∠ABE＝∠FAE，即∠ABF＝∠CAN.在△ABF與△CAN中，∴△ABF∽△CAN，∴∴AF·CA＝AB·CN＝AB2＝AG2，∴AG2＝AF·AC.6．(2017·黑龍江齊齊哈爾中考)如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD＝AD，DG＝DC，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)．(1)求證：DE＝DF，DE⊥DF；(2)連結(jié)EF，若AC＝10，求EF的長(zhǎng)．(1)證明：∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠BDG＝∠ADC＝90°.∵BD＝AD，DG＝DC，∴Rt△BDG≌Rt△ADC，∴BG＝AC.∵AD⊥BC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BG，AC的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝BG，DF＝AF＝AC，∴DE＝DF.∵DE＝DF，BD＝AD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°，∴DE⊥DF.(2)解：如圖所示．∵AC＝10，∴DE＝DF＝AC＝×10＝5.∵∠EDF＝90°，∴EF＝7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，CE⊥BD于點(diǎn)E，AB＝EC.(1)求證：△ABD≌△ECB；(2)若∠EDC＝65°，求∠ECB的度數(shù)；(3)若AD＝3，AB＝4，求DC的長(zhǎng)．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠A＝∠CEB.又∵AB＝EC，∴△ABD≌△ECB.(2)解：由(1)證得△ABD≌△ECB，∴BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝65°.∵∠DCE＝90°－65°＝25°，∴∠ECB＝∠BCD－∠DCE＝40°.(3)解：由(1)證得△ABD≌△ECB，∴AB＝CE＝4，BE＝AD＝3，∴BD＝BC＝5，∴DE＝BD－BE＝2，∴CD＝易錯(cuò)易混點(diǎn)一先入為主，高線在三角形內(nèi)例1在△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，高線AD＝12cm，則BC＝

.錯(cuò)解14cm正解(1)如圖1，在銳角△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，BC邊上高線AD＝12cm.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝5cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝9cm，∴BC＝BD＋CD＝5＋9＝14(cm)；錯(cuò)解14cm正解(2)如圖2，在鈍角△ABC中，AB＝13cm，AC＝15cm，BC邊上高AD＝12cm，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝5cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝9cm，∴BC＝CD－BD＝9－5＝4(cm)．故答案為14cm或4cm錯(cuò)解14cm錯(cuò)因忽略高線AD在△ABC中的位置可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形外部(即△ABC有可能是鈍角三角形)