有限元5-有限條

有限單元法第五章有限條法15.1引言一、發(fā)展概況對于許多具有規(guī)則幾何形狀和簡單邊界條件的結(jié)構(gòu)來說，完全的有限元分析常常是既浪費(fèi)又不必要，有時(shí)甚至不可能（指超出計(jì)算機(jī)能力）。（張佑啟《結(jié)構(gòu)分析的有限條法》）有限條法(FiniteStripMethod)誕生于二十世紀(jì)60年代，一般認(rèn)為主要創(chuàng)始人有：Y.K.Cheung(張佑啟)教授和G.H.Powell(鮑威爾)、D.W.Ogden(奧格登)兩人。Y.K.Cheung在1966～1969年間首先用有限條法研究了矩形薄板彎曲問題，后兩人開始于板式橋梁的研究工作。2常見的有限條可分為1）根據(jù)形狀矩形條，扇形條，斜板條2）根據(jù)受力彎曲板條，平面應(yīng)力條，薄殼條本節(jié)的主要內(nèi)容：矩形彎曲板條有限條法在橋梁結(jié)構(gòu)靜力、動力和穩(wěn)定分析方面得到廣泛應(yīng)用，并取得良好的效果。有限條法自從誕生以來，得到了迅速發(fā)展，在眾多國內(nèi)外學(xué)者的大量研究和實(shí)踐中，先后提出了高階有限條、樣條有限條、組合有限條等方法，進(jìn)而提出了有限層法、有限棱柱法、雙樣條子域法、有限條——傳遞矩陣法等新方法。34二、有限條法的力學(xué)模型有限條法可看作是有限元的一種特殊形式或分支，是一種（有限元）半解析法，適應(yīng)于一些量大面廣的、常用的規(guī)則結(jié)構(gòu)形式，采用有限條法可使彈性力學(xué)中的二維問題化為一維問題（三維化為二維），使總剛方程降階，從而提高效率。有限條單元結(jié)構(gòu)的組合單元是沿結(jié)構(gòu)縱向分布的“條”，條間縱向用結(jié)線連接，由于橋梁的縱向結(jié)構(gòu)和這種“條”式單元基本一致，故采用此法分析時(shí)十分有效。

5象有限元一樣，有限條法亦需將連續(xù)體離散化，所不同的是，不象有限元一樣可沿任意方面離散，而只能沿某一方向。如圖示矩形板，用有限元分析（矩形元）的網(wǎng)格劃分如右圖示，而有限條則是沿x方向等分成若干條帶。有限條：x方向采用多項(xiàng)式插值函數(shù)y方向采用三角級數(shù)表示：然后板的位移函數(shù)采用一總和函數(shù)表示：（梁函數(shù)）6三、有限條法與有限元法的比較有限元有限條適用于任何幾何形狀、邊界條件，材料變化，用途極廣。用于規(guī)則形狀的結(jié)構(gòu)，中間可有彈性支撐，特別是橋梁。自由度較多，帶寬較大，內(nèi)存需求較大。自由度較少，帶寬較小，內(nèi)存需求較小。輸入數(shù)據(jù)較多，出錯(cuò)的可能性較大。輸入輸出數(shù)據(jù)較少。7四、有限條法的解題步驟1）離散化。用假想的線把連續(xù)體分割成若干條。條與條之間通過結(jié)線相互聯(lián)接。2）選擇位移模式f(x)項(xiàng)采用多項(xiàng)式，Y(y)項(xiàng)采用連續(xù)函數(shù)；然后把位移場用結(jié)線位移來表達(dá)（形函數(shù)矩陣[N]），由此可得到條的應(yīng)變（幾何矩陣[B]）和應(yīng)力（應(yīng)力矩陣[S]）。83）用虛功原理和最小勢能原理得到剛度矩陣和等效荷載。4）集成總剛，引入支座條件，解方程求得結(jié)線位移各級數(shù)項(xiàng)并疊加。5）計(jì)算各條在各組位移下的內(nèi)力并疊加。95.2梁函數(shù)和基本函數(shù)為了收斂于正確值，位移函數(shù)必須滿足下列簡單要求：（1）梁函數(shù)f(x)，用來表示條元的橫向變化規(guī)律，應(yīng)包含剛體位移和x向常應(yīng)變狀態(tài)，還要保證相鄰條之間的協(xié)調(diào)。對于彎曲板條，其要求與梁相同。（2）基本函數(shù)Y(y)，用來表示條元的縱向變化規(guī)律，應(yīng)滿足條的端部條件。如果采用正交級數(shù)，會使問題得到簡化。通常采用梁的無限自由度振動的振型。位移模式為10一、梁函數(shù)梁函數(shù)用以表示條元的橫向變化規(guī)律。圖示梁有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)(i,j),每個(gè)結(jié)點(diǎn)兩個(gè)位移:線位移(撓度)d1，d3角位移d2，d4任意點(diǎn)的位移函數(shù):代入邊界條件可得：[L]為平面梁單元的形函數(shù)，此處稱梁函數(shù)。11二、基本函數(shù)基本函數(shù)用來表示條元的縱向變化規(guī)律，Y.K.Cheung將基本函數(shù)取為振動梁微分方程（按振動梁微分方程的規(guī)律變化）:根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中“梁的無限自由度振動”理論可知，其解的一般形式為:在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，上式又稱符拉索夫振動梁函數(shù)，式中C1～C4為由兩端邊界條件確定的待定常數(shù)，由不同的支承條件，可得出相應(yīng)的基本函數(shù)Y(y)。（5-2-1)12幾種常用支承條件的基本函數(shù)1．兩端簡支邊界條件：

Y(0)=Y"(0)=0

Y(l)=Y"(l)=0代入式(5-2-1)得:或者mm=p,2p,3p……mp

第一振型諧波取,m=1,132.一端簡支一端固定邊界條件:Y(0)=Y"(0)=0；

Y(l)=Y'(l)=0特解(基本函數(shù)):m1=3.9266,m2=7.0683,m3=10.2102,m4=13.3520(m=5,6,…）諧波圖與簡支梁相似。μ為特征方程tg(m)=th(m)的解。143.兩端固定邊界條件:Y(0)=Y'(0)=0；Y(l)=Y'(l)=0基本函數(shù):m1=4.7300,m2=7.8532,m3=10.9956,m4=14.1372(m=5,6,…）m為特征方程cos(m)ch(m)-1=0的解。155.3彎曲板有限條法一、位移函數(shù)圖示簡支板，在任意荷載作用下，將產(chǎn)生光滑的變形曲面(位移場)，x、y方向的變形曲線分別如圖示，y方向變化規(guī)律取為基本函數(shù)，x方向變化規(guī)律取為梁函數(shù)。16現(xiàn)在，沿板的支承方向?qū)⑵潆x散成有限個(gè)矩形板條。從中取出一典型條元e加以研究，當(dāng)條元寬度b較窄時(shí)，其位移場可采用多項(xiàng)式f(x)和基本函數(shù)Y(y)的組合形式表示，可得撓度：(5-3-1)式中f(x)為描述橫向位移變化規(guī)律的多項(xiàng)式函數(shù)，即，梁函數(shù)。Y(y)為摸擬板條縱向(y方向)撓度曲線的基本函數(shù)。代入得：其橫向轉(zhuǎn)角：(5-3-2)17設(shè)條元結(jié)線i的撓度為wi，轉(zhuǎn)角為θi；結(jié)線j撓度為wj，轉(zhuǎn)角為θj，定義四個(gè)結(jié)線位移的表達(dá)式為:(5-3-3)式中:wim，θim，wjm，θjm為第m個(gè)諧波所對應(yīng)的結(jié)線i、j的撓度位移幅值和轉(zhuǎn)角位移幅值。18將5-3-3代入5-3-1、5-3-2的左邊并消去Ym(y)得:由此解得:思考：對應(yīng)于不同的協(xié)波Ym(y)，結(jié)線位移幅值是否相同？19將其代回5-3-1得用結(jié)線位移幅值表示的位移場(5-3-4)式中:是對應(yīng)于第m個(gè)諧波的結(jié)線位移幅值列陣。(5-3-5)是對應(yīng)對于第m個(gè)諧波的形函數(shù)。它與梁函數(shù)[L]相比只是增加了乘子Ym(y)。于是板條中任意點(diǎn)的位移用矩陣形式表示為：20二、(沿)結(jié)線(i,j)的位移(函數(shù))實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常只計(jì)算結(jié)線上的位移，將x=0和x=b代入得：當(dāng)x=0時(shí),當(dāng)x=b時(shí),所以沿結(jié)線i,j的位移:21式中[I]為四階單位矩陣即：結(jié)線上沿y方向任意點(diǎn)的位移，是通過由第m個(gè)諧波解出的兩結(jié)線的位移幅值乘以相應(yīng)基本函數(shù)Ym(y)得到的，其最后的位移是r個(gè)諧波的疊加。22三、條元應(yīng)變與幾何矩陣[B]由平板理論知： 式中[B]即為彎曲板條的幾何矩陣：23子矩陣[B]m的展開形式為:若取簡支條元,則式中:為書寫方便，Ym(y)寫成了Ym24四、條元內(nèi)力

彈性矩陣[D]與上章相同，彎、扭矩的正方向如圖示，且應(yīng)理解為單位長度上的量。25五、條元剛度矩陣的一般形式由單元剛度矩陣的一般表達(dá)式，條元的剛度矩陣:或?qū)懗?26其中子塊:由于條剛中的子塊[S]mn是4×4階，當(dāng)取到級數(shù)的第r項(xiàng)時(shí)，則[S]為4r×4r階。對于不同的支承條件，由于基本函數(shù)形式不同，可導(dǎo)出不同的幾何矩陣。將其代入上式，則可求得不同支承條件的條剛。對上式積分可得條剛子塊的顯式如下。2728式中：Dx,Dy,Dxy,D1為各向異性板的彈性系數(shù),當(dāng)各向同性時(shí)有:I1～I(xiàn)5的5個(gè)積分式是：從上述條元剛度矩陣子塊公式中可看出，不同支承條件(基本函數(shù))的條剛元素，主要體現(xiàn)在基本函數(shù)的積分公式上，將不同基本函數(shù)表達(dá)式代入，求出其中不同的五個(gè)積分，即可得到不同的條元剛度矩陣。295.4用有限條法分析簡支彎曲薄板

一、基本函數(shù)

由前已知，將符拉索夫振動梁函數(shù)微分方程：的通解5-2-1式，代入其邊界條件：

Y(0)=Y"(0)=Y(l)=Y"(l)=0后,得簡支條的基本函數(shù)為:30二、條元剛度矩陣與條元剛度方程1．條元剛度矩陣上節(jié)已導(dǎo)得條剛的一般形式為：上節(jié)提到，計(jì)算條剛元素時(shí)，將涉及以下五個(gè)積分：31可以證明，在簡支條元中，由于基本函數(shù)的正交性，當(dāng)m≠n時(shí)，上述五個(gè)積分均為0。因此，在簡支條元中，非對角元子塊均為零，即[S]mn=[0](m≠n)。此時(shí)，簡支板的條剛可簡化為：式中:(5-4-1)(5-4-2)32其中:式中，33

由于條剛不耦聯(lián)，便可一個(gè)諧波一個(gè)諧波的單獨(dú)計(jì)算，然后再疊加，因此，簡支板是最能體現(xiàn)有限條法優(yōu)越性的一種情況。另外，從條剛中的元素表達(dá)式可見，對應(yīng)于第m個(gè)諧波的條剛，每個(gè)元素均隨著諧波號發(fā)生變化，這也是與前面單元剛度矩陣的不同之處。2.條元結(jié)線力與結(jié)線位移列陣對應(yīng)的結(jié)線力列陣可表示為:對應(yīng)于各諧波的條元結(jié)線力，也可由條剛與結(jié)線位移的乘積獲得。343.條元剛度方程

條剛[S]中的全部非對角元素(子塊)為零，不僅簡化了條剛，更重要的是，使得第m個(gè)諧波的結(jié)線力只與第m個(gè)諧波的結(jié)線位移有關(guān)，即總剛的非藕聯(lián)性。因此，可對每個(gè)諧波所對應(yīng)的結(jié)線力（位移）單獨(dú)計(jì)算，然后再疊加，所以在下面的討論中，我們可將條剛暫時(shí)理解為4×4階的。對應(yīng)于第m個(gè)諧波的條元剛度方程為：35三、總剛度矩陣及總剛方程的建立總剛的形成仍然采用前述直接剛度法，即由各結(jié)線的平衡條件建立平衡方程，其過程亦與前述大致相同，現(xiàn)簡述如下：首先將對應(yīng)第m個(gè)諧波的條剛按結(jié)線分塊：(5-4-3)36條剛中的每個(gè)子塊均為2×2。子塊具有兩重下標(biāo)，內(nèi)下標(biāo)ij指示子塊在總剛中的結(jié)線位置，外層下標(biāo)指示子塊對應(yīng)的諧波號。按結(jié)線將其展開得:(5-4-3a)然后根據(jù)結(jié)線平衡條件，即可建立求解結(jié)線位移的平衡方程。

37例：圖示簡支板，將其劃分成五個(gè)條元。根據(jù)結(jié)線的平衡條件有：{P2}m={F2}m①+{F2}m②

按照在桿系中的相同方法，將{F2}m①、{F2}m②用5-4-3代替，并將條元結(jié)線位移用整體位移代替后,便可得:對每條結(jié)線取平衡，均可獲得一個(gè)類似的平衡方程，于是可裝配成總剛，同樣可由“對號入座”的方法形成總剛度方程如下：38結(jié)線上的外荷載39由式可見，只有相交于結(jié)線i的兩個(gè)板條才可能對總剛矩陣i行子塊有“貢獻(xiàn)”。因此，形成總剛的某行時(shí)，只需考慮對應(yīng)結(jié)線左、右條剛的子塊。而與其它條元的條剛無關(guān)，由于這一特性，使得簡支板總剛的帶寬很小（半帶寬僅為4），與板單元比較，若上例采用5×5網(wǎng)格，則未知數(shù)n=6×6×3=108,半帶寬D=3×(7-1)=18，規(guī)模要大得多。對每一諧波求解，可得第m個(gè)諧波所對應(yīng)的結(jié)線位移，重復(fù)上述過程，將1～r個(gè)諧波的位移疊加即得最后位移(內(nèi)力)。由上可見，采用有限條法，不僅可大大提高計(jì)算速度，還可視諧波數(shù)r的多少，無限逼近其精確解。40四、條元內(nèi)力

在工程中，板的分析通常是要求獲知其內(nèi)力（或應(yīng)力），由條元內(nèi)力矩陣：彎矩和扭矩的物理量與在板的基本理論一節(jié)中所述相同。41五、荷載等效變換

荷載的等效變換仍然采用有限元中按能量原理推導(dǎo)的一般公式獲得。設(shè)結(jié)線i、j上對應(yīng)于第m個(gè)諧波的等效結(jié)線力為:則一般公式可與為:或?qū)懗?42下面給出簡支條在幾種常用荷載下的公式:1.均布荷載q它比均布力作用的兩端固定梁的固端力相比，多了乘子2l/mp。432.集中力44當(dāng)X0=0時(shí)(在i結(jié)線上)：當(dāng)X0=0,y0=l/2(中點(diǎn))時(shí)：453．局部分布力式中:46六、邊界條件的處理

當(dāng)條元的結(jié)線邊界為非自由時(shí)，必須對結(jié)線的邊界約束情況加以處理，即修改總剛度方程。如上例，若為四邊簡支板（如圖），則對應(yīng)有：由此可知，可通過處理邊界條件，利用簡支板的條元剛度矩陣計(jì)算另兩個(gè)邊界為各種不同支承情況的板。如結(jié)線邊界為簡支、固定、自由的情況。47應(yīng)特別指出，當(dāng)遇非簡支板條時(shí)（如兩端固定）即總剛與m個(gè)諧波藕聯(lián)時(shí)，則應(yīng)對每個(gè)諧波均作邊界約束處理，這點(diǎn)在編程時(shí)應(yīng)特別注意。如上例的總剛方程，若非簡支板而是固支板，且取前三個(gè)諧波計(jì)算，則總剛方程為:4849注意：由總剛度方程解出的結(jié)線位移只是各諧波的位移幅值，而不是結(jié)線位移，結(jié)線位移應(yīng)按5-3-3計(jì)算，如：50輸入原始數(shù)據(jù)形成原始剛度矩陣形成結(jié)線荷載列陣引入支承條件解方程求結(jié)線位移，并累加D=D+δm計(jì)結(jié)線內(nèi)力并累加，F(xiàn)=F+Fm結(jié)束條剛[S]mm計(jì)等效結(jié)線力彈性矩陣[D],幾何矩陣[B]m=1～r循環(huán)7.程序設(shè)計(jì)515.5簡支板有限條分析程序設(shè)計(jì)

結(jié)合一個(gè)算例，介紹簡支板有限條分析程序設(shè)計(jì)。條元劃分圖示為在第四章中分析過的四周簡支方板，但能否用簡支板條方法分析圖示四周簡支方形板？回答是肯定的。前面提到條元宜沿短邊方向劃分，如果是一正方形板，可沿某一邊長方向劃分條元。如果是對稱的，也可取半結(jié)構(gòu)計(jì)算，如程序中的算例，便是取上一章分析過的12m方板的例題的一半作為計(jì)算對象。如下圖：52共劃分成6個(gè)條元，含有7條結(jié)線。532.原始數(shù)據(jù)

條元數(shù)M=6；計(jì)算次數(shù)ZS=4；約束數(shù)YS=2；荷載集度q=1；集中力數(shù)FJ=0板長L=12m；板寬B0=6m；μ=0.3；E0=3E5；厚度t=0.3約束邊界號BJ()=1,14；計(jì)算諧波號=1，3，5，7即可得原始數(shù)據(jù)文件內(nèi)的輸入數(shù)據(jù)如下：6,4,2,1,012,6,0.3,3E5,0.31,141,3,5,7543.計(jì)算結(jié)果m=1deflectionrotationline10.000000.03194line20.031360.03028line30.059750.02618line40.083230.02058line50.100630.01411line60.111290.00716line70.114880.0000055DeflectionofMiddle-line00.0350.0680.0930.1090.1150.1090.0930.0680.0350MxMyStrip=12.8391762.302775Strip=24.6580824.161909Strip=35.8440965.603872Strip=46.5771196.628736Strip=56.9732157.240724Strip=67.0973177.44389156DeflectionofMiddle-line57m=3deflectionrotationline10.00000-0.00059line2-0.00055-0.00048line3-0.00094-0.00031line4-0.00119-0.00018line5-0.00133-0.00010line6-0.00139-0.00004line7-0.001410.0000058DeflectionofMiddle-line00.0010.0010.000-0.001-0.001-0.0010.0000.0010.0010MxMyStrip=1.2164175.2930753Strip=2.2466782.4666353Strip=3.2417718.5670096Strip=4.2316401.6212149Strip=5.2245702.6473111Strip=6.2222065.655017159DeflectionofMiddle-line60m=5deflectionrotationline10.000000.00008line20.000060.00005line30.000100.00002line40.000110.00001line50.000110.00000line60.000120.00000line70.000120.0000061DeflectionofMiddle-line00.0000.00-0.000-0.0000.0000.000-0.000-0.0000.000MxMyStrip=15.760285E-029.216719E-02Strip=25.123232E-02.1278349Strip=34.723469E-02.141498Strip=4.0455429.146269Strip=54.494305E-02.1478104Strip=64.481358E-02.14816562m=7deflectionrotationline10.00000-0.00002line2-0.00002-0.00001line3-0.00002-0.00000line4-0.00002-0.00000line5-0.00002-0.00000line6-0.00002-0.00000line7-0.000020.000006364DeflectionofMiddle-line00.000-0.0000.0000.000-0.0000.0000.000-0.0000.0000.000MxMyStrip=12.216982E-024.090515E-02Strip=21.726382E-025.088195E-02Strip=31.641952E-025.344707E-02Strip=41.627663E-025.401566E-02Stri