第4章根軌跡法2

§

4.3廣義根軌跡（了解）

在控制系統(tǒng)中，通常把負(fù)反饋系統(tǒng)中根軌跡增益K*變化時(shí)的根軌跡叫做常規(guī)根軌跡，而把其他情況下的根軌跡統(tǒng)稱為廣義根軌跡。一般有參數(shù)根軌跡、零度根軌跡以及非最小相位系統(tǒng)根軌跡等。4.3.1參數(shù)根軌跡除根軌跡增益外，把開環(huán)系統(tǒng)的其他參數(shù)（如時(shí)間常數(shù)、反饋系數(shù)等）從零變化到無(wú)窮大或在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征根的軌跡叫參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡的繪制步驟如下：

(1)寫出原系統(tǒng)的特征方程。(2)以特征方程式中不含該參量的各項(xiàng)除特征方程，得等效系統(tǒng)的根軌跡方程。該方程中原系統(tǒng)的參量即為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。(3)用繪制常規(guī)根軌跡原則繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。4.3.2零度根軌跡——正反饋和某些最小相位系統(tǒng)根軌跡

正反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：根軌跡方程為：幅值條件為：相角條件為：§4.4用根軌跡法分析系統(tǒng)性能一、閉環(huán)極點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系0σjωs1×s2×βωn

如圖，p1、p2為閉環(huán)系統(tǒng)一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)：二階系統(tǒng)性能指標(biāo)：可見：閉環(huán)極點(diǎn)的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系如下：（1）閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部（ξωn）反映了系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間ts

，而且ξωn

↑（閉極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)）→ts

↓→動(dòng)態(tài)快速性↑。（2）閉環(huán)極點(diǎn)的虛部（ωd）表征了系統(tǒng)的實(shí)際振蕩頻率。（3）閉環(huán)極點(diǎn)的模（ωn）表征了系統(tǒng)的無(wú)阻尼振蕩頻率。

（4）閉環(huán)極點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸的夾角（β）反映了系統(tǒng)超調(diào)量，而且β↓（閉極點(diǎn)離實(shí)軸越近）

→

ξ↑→σ％↓→動(dòng)態(tài)平穩(wěn)性↑。（5）閉環(huán)極點(diǎn)在s左右平面的分布反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二、已知系統(tǒng)的性能指標(biāo)，確定閉環(huán)極點(diǎn)和K*思路：繪根軌跡圖性能指標(biāo)ξ做β=arccosξ線估讀主導(dǎo)極點(diǎn)s*1.2用規(guī)則8求其它極點(diǎn)用幅值條件計(jì)算K*s*1.2為β線與根軌跡的交點(diǎn)根之和若無(wú)零點(diǎn)，則分母為1。σjω0××p1p2×p3（a）增加合適的開環(huán)零點(diǎn)σjω0××p1p2×p3ozoz（b）增加不合適的開環(huán)零點(diǎn)jω0××p1p2×p3σ三、增加開環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響1.增加開環(huán)零點(diǎn)：結(jié)論：增加合適的開環(huán)零點(diǎn)，將使根軌跡向左彎曲或移動(dòng)，可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性。但零點(diǎn)選擇不合適則達(dá)不到此目的。2.增加開環(huán)極點(diǎn)：結(jié)論：增加開環(huán)極點(diǎn)，將使根軌跡向右彎曲或移動(dòng)，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性變差；而且所增加極點(diǎn)的模值越小，這種影響越明顯。根軌跡分析法的局限:

(1)無(wú)閉環(huán)零點(diǎn)信息；(2)表達(dá)穩(wěn)態(tài)誤差不直觀。解：（1）根軌跡圖如例4.2圖

。分會(huì)點(diǎn)s=-0.9

穩(wěn)定范圍：0<K*<48，與虛軸交點(diǎn)s=±ｊ2.8。0jω-4-2σ×××s3s2-j2.8-0.9s1j2.8π/3-π/3-60°線×××（2）K*的范圍由幅值條件，分會(huì)點(diǎn)即臨界阻尼點(diǎn)的K*值為：K*=0.9×1.1×3.1≈3，則：阻尼振蕩時(shí)3＜K*＜48【例4.7】已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為，要求：（1）繪根軌跡圖；（2）系統(tǒng)程欠阻尼振蕩時(shí)K*的取值范圍；（3）估算ξ=0.5時(shí)的調(diào)節(jié)時(shí)間。60°線（3）調(diào)節(jié)時(shí)間ts由圖估讀：則