排列組合的解題常用策略

解排列組合的問題一般的思考過程如下：元素放進(jìn)位置(1)弄清楚要做什么事.(2)怎么做才能完要做的事.(熟悉兩個計數(shù)原理)即采取分步還是分類，或分步分類同時進(jìn)行。(3)確定每一類或每一步是有序（排列）還是無序（組合）問題。元素總數(shù)多少，取多少個元素。(4)掌握一些常用的解題策略。常用的解題策略（1）特殊元素，特殊位置優(yōu)先處理策略（2）相鄰元素，捆綁策略（3）不相鄰元素，插空策略（4）定序問題，倍縮策略，空位策略，插入策略（5）允許重復(fù)的排列問題，以元素為對象，求冪策略（6）排列組合混合問題，先選后排策略（7）元素相同，隔板策略（8）多類元素，分類，分步策略（9）平均分組，除法策略（11）正難則反，總體淘汰策略（10）樹形圖策略（1）特殊元素，特殊位置優(yōu)先處理策略例1：由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置.第一步：排末位，共有1，3,5三個選一個

第二步：排首位，共有除了0和末位選擇的一個數(shù)字外，剩余4個數(shù)字

第三步：排其它位置共有其余的四個數(shù)字沒限制，全排列由分步計數(shù)原理得

策略說明：位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,1）若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.2）若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。3）若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件4）在同一題里，是選擇元素分析，還是位置分析，可以根據(jù)題目中的特殊元素，特殊位置個數(shù)較少的來選擇。練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？元素分析位置分析（2）相鄰元素，捆綁策略例2：7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法。策略說明要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.練習(xí)題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20（先思考，再看解析）解：四搶命中，即有四槍不命中?？梢园巡幻械乃臉屌砰_，則有5個空隙，

3槍連在一起，看成一個元素，與另外一槍（看成另一元素），安排放進(jìn)5個空隙中。本題，既有捆綁，也有插空。（3）不相鄰元素，插空策略例3：一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？第一步排2個相聲和3個獨唱共有（第一步跟順序有關(guān)，排列問題）由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有解:分兩步進(jìn)行第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有（第二步依舊與順序有關(guān)，排列問題）策略說明元素不相鄰問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊，再把不相鄰元素插入中間和兩端。練習(xí)題1：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為（）

練習(xí)題2：馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當(dāng)作在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有（4）定序問題，倍縮策略，空位策略，插入策略例4：7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法。解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：

(空位法)設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則共有種方法。（插入法)先排甲乙丙三個人,7個位置選擇3（無序組合問題）有，因為定序，共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

練習(xí)題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？（5）允許重復(fù)的排列問題，以元素為對象，求冪策略例5：把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí),共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有

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種分法依此類推,由分步計數(shù)原理共有策略說明允許重復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為練習(xí)題：某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法2.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為42

（6）排列組合混合問題，先選后排策略例6：有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成一個復(fù)合元素共有第二步把4個元素(包含一個復(fù)合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有策略說明解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?

練習(xí)題1：一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有

種練習(xí)題2：有6名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，從中選出3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生到5個不同的地區(qū)巡回醫(yī)療，但規(guī)定男醫(yī)生甲不能到地區(qū)A，則共有多少種不同的分派方法？（7）元素相同，隔板策略例7：有10個遠(yuǎn)動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應(yīng)地分給７個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有策略說明：元素相同時，才使用隔板法（與插入法區(qū)分）將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為練習(xí)1：有10個相同的小球，裝入4個盒內(nèi)，每個盒子至少有一個球，共有多少種不同的裝法？練習(xí)2：（1）10個優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？（2）10個優(yōu)秀指標(biāo)分配到1、2、3三個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用5個隔板插入10個指標(biāo)中的9個空隙，既有種方法。按照第一個隔板前的指標(biāo)數(shù)為1班的指標(biāo)，第一個隔板與第二個隔板之間的指標(biāo)數(shù)為2班的指標(biāo)，以此類推，因此共有種分法.練習(xí)2：注：第一小題也可以先給每個班一個指標(biāo)，然后，將剩余的4個指標(biāo)按分給一個班、兩個班、三個班、四個班進(jìn)行分類，共有種分法.分析：

（2）先拿3個指標(biāo)分給二班1個，三班2個，然后，問題轉(zhuǎn)化為7個優(yōu)秀指標(biāo)分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有種分法練習(xí)2：（8）多類元素，分類，分步策略例8：在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法。第一類：只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有第二類：只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員第三類：只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有由分類計數(shù)原理共有解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。以選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究*以3個全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：例9.在產(chǎn)品檢驗中，常從產(chǎn)品中抽出一部分進(jìn)行檢查.現(xiàn)有100件產(chǎn)品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進(jìn)行檢查，根據(jù)下列各種要求，各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.100個元素選5個元素構(gòu)成正品（97）次品（3）第一類50第二類41第三類32第四類23或解答：（1）（2）（3）（4）（5）（6）策略說明解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有34

練習(xí)題：（9）平均分組，除法策略例10.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有故共有種分法。種取法,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,平均分組，除法策略平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)。3.10名學(xué)生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法（1540）練習(xí)題：1、將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______（11）正難則反，總體淘汰策略有些排列組合問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中淘汰.具體做法：一）把題目中的限制條件去掉，求出整體；二）把限制條件改為反面，求出反面；三）整體減去反面。正難則反，總體淘汰策略在思想上，與補(bǔ)集，命題的否定，反證法的假設(shè)，對立事件是一致的。例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有,

這十個數(shù)字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù),只含有1個偶數(shù)的取法有,和為偶數(shù)的取法共有

,再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，則練習(xí)題：我們班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?（12）樹形圖策略3人相互傳球,由甲開始發(fā)球,并作為第一次傳球,經(jīng)過5次傳求后,球仍回到甲的手中,則不同的傳球方式有______對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)果1.同一寢室4人,每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)號人不坐（2.分別編有1，2，3，4，5號碼的人與椅，其中）的不同坐法有多少種？號椅全錯位排列概率問題古典概形幾何概形基本事件：和事件（并事件）：積事件（交事件）：互斥事件：對立事件：（1）求概率就是求兩個排列組合數(shù)之比。（2）概率問題同樣適用“分類加，分步乘”的運算法則。計數(shù)原理的應(yīng)用-----概率問題①單獨概率=②某條件成立的概率=1-該條件不成立的概率（對立事件）③總體概率=滿足條件的各類情況概率之和（和事件）④總體概率=滿足條件的各步情況概率之積（積事件）例13:學(xué)校要從30名候選人中選10名組成學(xué)生會，其中①求該班恰有2名同學(xué)被選到的概率。②求該班至少有2名同學(xué)被選到的概率。某個班有4名候選人，每名候選人有相同的機(jī)會被選到。①（單獨概率：；）例13:學(xué)校要從30名候選人中選1