義務教育數(shù)學課程標準深度解讀之一：從“雙基”到“四基”(201311四川瀘州)

義務教育數(shù)學課程標準深度解讀之一西南大學

宋乃慶2013.11浙江師大從“雙基”到“四基”問題與思考1、什么是數(shù)學課程標準？2、為什么反復學習數(shù)學課程標準？3、新課標有哪些改進和發(fā)展的地方？4、如何看待、評價原課標？5、你認為新課標還有哪些值得商榷的問題？數(shù)學課程標準是國家教育部對義務教育階段數(shù)學學習的基本要求的綱領性文件。1.與大綱相比，很大進步，質的飛躍2.引領數(shù)學課程改革，促進課改平穩(wěn)發(fā)展3.還存在商榷、修改的地方1.數(shù)學課程標準很重要（3個依據(jù)）；2.數(shù)學課程標準有較大修改；3.數(shù)學課程標準解讀認識不一致；新課標的改進和發(fā)展（關注點）：理念、核心概念、四基、四能、內容標準、教學和自主學習。注：數(shù)學課程標準指義務教育數(shù)學課程標準，以下同；

新課標指《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，以下同；

原課標指《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》，以下同。一、原課標的研制與實驗

前言二、原課標的修訂與發(fā)展

三、新課標的審議

義務教育數(shù)學課程標準研制與發(fā)展概述

（一）原課標的研制背景一、原課標的研制與實驗

（1999.9-2012.7）（二）原課標的研制過程（四）如何評價原課標

（三）原課標的主要進步與特點（一）原課標的研制背景第七次基礎教育課程改革（1990-1998）經驗與教訓1999年6月13日中共中央、國務院頒發(fā)了《關于深化教育改革,全面推進素質教育的決定》

《基礎教育課程改革綱要（試行）》（2001）是制定《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的基本依據(jù)《21世紀中國數(shù)學教育展望》是《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》的理論與實踐基礎五個基礎性研究課題（1）數(shù)學科學與數(shù)學教育的發(fā)展（2）國際數(shù)學課程發(fā)展的最新趨勢（3）數(shù)學學習與學生心理發(fā)展的關系（4）社會發(fā)展的數(shù)學需求（5）義務教育階段學生數(shù)學學習現(xiàn)狀調查

1987年以來，中國數(shù)學教育研究會、北京師范大學、原西南師范大學、華東師范大學、南京師范大學等高校參與了該課題的研究。（二）原課標的研制過程1999年初，國家正式啟動基礎教育課程改革。1999年3月11-12日，國家數(shù)學課程研制工作小組成立大會在北京師范大學新松公寓召開。1999年10月8-10日，在北京召開了“國家數(shù)學課程標準研制工作研討會”。特別邀請了姜伯駒院士、嚴士健教授、梁國平研究員、張堯庭教授，以及數(shù)學教育家張孝達、張奠宙、王長沛等先生。姜伯駒，數(shù)學家，拓撲學家，中國科學院院士，北京大學教授嚴士健，北京師范大學教授，博導，原國務院數(shù)學學科組成員張孝達，教授，原人民教育出版社數(shù)學室主任王長沛，北京教育學院教授張奠宙，華東師范大學教授，教育部師范司高師教學改革指導委員會委員2000年3月，《全日制義務教育數(shù)學課程標準（征求意見稿）》完成，向社會廣泛征求意見。2000年1-6月通過申報、評審，國家陸續(xù)成立了其它各個學科的課程標準研制組。2000年7月至2001年2月，各課程標準研制小組在專題研究的基礎上形成了課程標準初稿。原課標主要研制人員馬云鵬（東北師范大學）王尚志（首都師范大學）孔企平（華東師范大學）呂建生（北京師范大學出版集團）劉潔民（北京師范大學）孫曉天（中央民族大學）楊裕前（江蘇常州教研室）張丹（北京教育學院）張奠宙（華東師范大學）唐復蘇（蘇州大學）鮑建生（華東師范大學）馬復（南京師范大學）孔凡哲（東北師范大學）史炳星（北京教育學院）劉兼（教育部課程教材發(fā)展中心）劉曉玫（首都師范大學）楊妍梅（北京市教育科學研究院）嚴士健（北京師范大學）張春莉（北京師范大學）羅小偉（中央民族大學）黃翔（重慶師范大學）綦春霞（北京師范大學）（注：以姓氏筆畫為序，共22人）主持人：劉兼以及孫曉天、馬復顧問：嚴世健、張孝達、葉其孝、張梅玲、戴再平、董奇（三）原課標的主要進步與特點

1、與大綱相比，原課標有很大的進步，是質的飛躍基本理念：課程目標：課程內容：知識為本以人為本雙基+三大能力三維目標關心教的內容和達到目標關心學、教、考、編的內容與程度教學大綱原課標大綱與原課標的主要結構比較

大綱一、教學目的二、教學內容的確定與安排三、教學中應該注意的幾個問題四、教學內容和教學要求原課標一、前言二、課程目標三、內容標準四、課程實施建議大綱與原課標的主要學習領域比較大綱算術代數(shù)幾何原課標數(shù)與代數(shù)空間與圖形統(tǒng)計與概率實踐與綜合應用原課標加強的內容：更加重視發(fā)展學生的數(shù)感和符號感，重視口算、估算，提倡算法多樣化；加強了“統(tǒng)計與概率”的內容，首次將“統(tǒng)計觀念”作為義務教育階段數(shù)學課程的重要目標之一；……原課標削弱的內容：控制計算的難度和速度，初中有理數(shù)的混合運算不超過3步；淡化單純的公式記憶，降低了多項式計算、乘法公式和因式分解的要求；降低對論證過程形式化和證明技巧的要求；……（三）原課標的主要特點主要理念：以人為本?；灸繕?

提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。課程內容:

四大學習領域。課程實施:

倡導學生自主、合作、探究的學習方式。評價方法：提出發(fā)展性評價的理念與方法，注重信息技術的運用。

2、原課標的主要特點（四）對原課標的評價與大綱相比，有很大進步，是質的飛躍引領數(shù)學課程改革，促進課改平穩(wěn)發(fā)展還存在商榷、修改的地方二、原課標的修訂

（2005.5-2011.4）（二）原課標修訂的主要過程（三）原課標修訂的主要依據(jù)和原則（四）原課標修訂的主要關注點（一）原課標修訂的主要原因（五）新課標的主要特點原因1（主要）——

時代的需要知識經濟以知識為基礎，以人為本，以創(chuàng)新為靈魂國家間的競爭是綜合國力的競爭，綜合國力的競爭歸根結底是創(chuàng)新人才的競爭。發(fā)達國家課程改革的不斷發(fā)展創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務，應體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中……---新課標原課標修訂體現(xiàn)時代發(fā)展的需要發(fā)達國家原因2（主要）——政策文件的要求教育部為貫徹《中共中央國務院關于進一步加強和改進未成年人思想道德建設的若干意見》（2004）文件的《實施意見》減負提質；貼近實際、貼近生活、貼近未成年人《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》的研制和醞釀堅持德育為先堅持能力為重堅持全面發(fā)展調整教材內容、科學設計課程難度深入研究、確定不同教育階段學生必須掌握的核心內容原因3（誘因）——

爭鳴的促進

2005年3月初的“兩會”：數(shù)學課改引起爭論

“這個‘新課標’改革的方向有重大偏差，課程體系完全另起爐灶，在實踐中已引起教學上的混亂?！?/p>

——

姜伯駒.新課標讓數(shù)學課失去了什么光明日報，2005-3-16

“課程改革對教材的處理不外乎兩種類型：一是體系幾乎不變，內容修修補補；二是在保持原來基本內容的基礎上，重新構建新體系?！热坏谝环N方式仍存在著那么多問題，我們?yōu)槭裁床豢梢浴傲砥馉t灶”呢？”

——

何小亞.回應“姜伯駒：新課標讓數(shù)學課失去了什么”

廣東教育，2006（11）原因3（誘因）——爭鳴的促進消弱了邏輯推理能力培養(yǎng)拓展幾何教學內容數(shù)學味被沖淡了數(shù)學與生活情境相聯(lián)系接受式教學不能放棄自主合作探究知識體系被打亂螺旋式上升（二）原課標修訂的主要過程修訂組主要研制人員主持人：史寧中（東北師范大學）馬復（南京師范大學）王尚志（首都師范大學）劉曉玫（首都師范大學）張丹（北京教育學院）張英伯（北京師范大學）顧沛（南開大學）儲瑞年（北京師范大學附屬中學）馬云鵬（東北師范大學）史寧中（東北師范大學）李文林（中科院數(shù)學所）張思明（北京大學附屬中學）楊裕前（常州教育研究室）柳彬（北京大學）黃翔（重慶師范大學）修訂組根據(jù)有關法律法規(guī)，結合課程改革實施以來的經驗、教訓，結合爭鳴的問題，開展修訂工作。（注：以姓氏筆畫為序，共14人）

修訂組調研和征求意見工作程序：采取全體會議、分組研究、分工寫作、廣泛調研等深入調研對?？凇⑸仃P、青島、無錫、咸陽、靈武等地實際考察和問卷調查多種形式征求意見2006年9月，邀請中科院院士和數(shù)學家座談，征求對修改稿的意見姜伯駒院士等教育部陳小婭副部長（三）原課標修訂主要依據(jù)和原則1、原課標修訂的主要依據(jù)國務院教育行政部門根據(jù)適齡兒童、少年身心發(fā)展的狀況和實際情況，確定教學制度、教育教學內容和課程設置，改革考試制度，并改進高級中等學校招生辦法，推進實施素質教育。胡錦濤：“提高學生的創(chuàng)新精神和實踐能力”《義務教育法》第三十五條……要全面推進基礎教育課程改革，改進培養(yǎng)模式、教育內容、教育方法，激發(fā)學生發(fā)展的內在動力，……提高學生的創(chuàng)新精神和實踐能力。

——2006年8月29日在政治局集體學習時的講話2、原課標修訂的原則堅持課改的大方向重視實踐與調查實事求是的態(tài)度加強課標可操作性處理好四個關系推進素質教育，促進全面發(fā)展修改基礎建立在調查研究基礎上充分討論、認真分析準確、規(guī)范、明了過程與結果講授與自學面向全體與因材施教生活化與知識系統(tǒng)性（四）新課標修改的主要關注點理念核心概念四基四能內容標準教學和自主學習（五）新課標的主要特點課程理念的改變與發(fā)展

數(shù)學內涵的重新界定、大眾數(shù)學、義務教育數(shù)學課程性質、數(shù)學素養(yǎng)

突出數(shù)學的文化價值，培養(yǎng)學生的數(shù)學思考、創(chuàng)新精神和實踐能力強調對學生數(shù)學素養(yǎng)的整體培養(yǎng)

突出了過程性目標與結果性目標的共同達成

核心概念的變化雙基四基兩能四能內容及其要求的適當調整處理好教學和自主學習的關系三、新課標的審議及出臺

（2011.3.28-2011.5）

2010年年底至2011年年初，教育部在全國范圍內征集對辛苦的意見和建議。此次意見征集范圍非常廣泛，共涉及全國16個基礎教育課程研究中心、10多個省（市/自治區(qū)）、10家出版社及國家基礎教育工作委員會咨詢委員。共收集意見1000余條，這些意見為送審稿的進一步修訂提供了很好的基礎。全國范圍內廣泛征集對新課標的意見審議前期工作審議組專家組員：王利民（西北師范大學）孫曉天（中央民族大學）

宋乃慶（西南大學）嚴士?。ū本煼洞髮W）杜鴻科（陜西師范大學）吳正憲（北京教育科學研究院）張恭慶（中科院院士）顧泠沅（上海市教育科學研究院）唐盛昌（上海中學）主持人：宋乃慶（西南大學）（注：以姓氏筆畫為序，共9人）審議過程第一環(huán)節(jié)集中審議（2011年3月28-31日）：形成標準專家個人審讀意見第二環(huán)節(jié)通訊審議（2011年4月1日-3日）：形成第一輪審議修改意見（2011年4月4日-6日）：形成第二輪審議修改意見（2011年4月16日-18日）：審議結論及專家個人投票第三環(huán)節(jié)國家審定（2011年5月-11月）：教育部和國務院審定通過、頒布（三）審議稿的主要進步

梳理了數(shù)學界、數(shù)學教育界及社會對數(shù)學課程標準（實驗稿、送審稿）的評議和各種意見，進行了認真、激烈的討論，在和送審稿專家交換意見的基礎上，對送審稿又做了適當?shù)男薷摹?.課標充分肯定了實驗稿、修改稿的進步與發(fā)展2.全面對修改稿的理念、核心概念、四基、四能、內容及其要求、教學和自主學習間關系的處理等問題進行討論、審議，適當降低了估算等課程內容的難度3.修改并調整了案例，突出案例的示范性4.對課標的語言表述反復推敲，使語言更科學和規(guī)范實驗稿2011版發(fā)展與變化問題與思考1.什么是“雙基”？2.“雙基”存在哪些爭議？3.為什么要從“雙基”發(fā)展為“四基”？4.什么是“四基”？二、從“雙基”到“四基”的背景意義內容提要三、從“雙基”到“四基”的發(fā)展變化四、結束語

一、“雙基”的緣起和發(fā)展

一、“雙基”的緣起和發(fā)展1952年3月，教育部頒發(fā)的《中學暫行規(guī)程(草案)》提出，中學教育的目標之一是使學生獲得“現(xiàn)代科學的基礎知識和技能”。這是中國現(xiàn)代教育史上首次提出“雙基”的要求。

1952年12月，教育部頒布了新中國歷史上第一個中學數(shù)學教學大綱《中學數(shù)學教學大綱(草案)》，規(guī)定“中學數(shù)學教學的目的是教給學生以數(shù)學的基礎知識，并培養(yǎng)他們應用這種知識來解決各種實際問題所必須的技能和熟練技巧”，這是中國現(xiàn)代數(shù)學教育史上首次對“雙基”提出要求。1956年《中學數(shù)學教學大綱（修訂草案）》提出：“教給學生有關算術、代數(shù)、幾何和三角的基礎知識，培養(yǎng)他們應用這些知識解決各種實際問題的技能和技巧，發(fā)展他們的邏輯思維能力和空間想象能力”。一、“雙基”的緣起和發(fā)展1963年《全日制中學數(shù)學教學大綱（草案）》規(guī)定“中學數(shù)學教學的目的是：使學生牢固地掌握代數(shù)、平面幾何、立體幾何、三角和平面解析幾何的基礎知識，培養(yǎng)學生正確而且迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力，以適應參加生產勞動和進一步學習的需要?！边@一時期的數(shù)學試用教材編寫時強調：“（1）對于進一步學習和參加生產勞動必需的基礎知識和基本技能的各個主要方面，注意不使遺漏……（3）刪去了原來課本中某些脫離實際、用處不大以及對進一步學習和參加生產勞動關系不大的內容……”一、“雙基”的緣起和發(fā)展1982年的《全日制六年制重點中學數(shù)學教學大綱（征求意見稿）》提出，“要注意能力的培養(yǎng)——通過數(shù)學基礎知識的教學和基本技能的訓練，要重視培養(yǎng)學生的運算能力、邏輯思維力和空間想象力。同時，要注意培養(yǎng)學生獲得數(shù)學知識和運用數(shù)學知識的能力，使學生逐步掌握數(shù)學中的一些思想方法”.1986年的《全日制中學數(shù)學教學大綱》提出，數(shù)學教學要“使學生學好從事社會主義建設和進一步學習現(xiàn)代科學技術必須的數(shù)學基礎知識和基本技能，培養(yǎng)學生的運算能力，邏輯思維能力和空間想象能力，以逐步形成運用數(shù)學知識分析和解決問題的能力”。一、“雙基”的緣起和發(fā)展1988年的《九年義義務務教育全日制初級級中學數(shù)學教學大綱（初審稿）》首次對“雙基”給出了明確具體的界定，即基礎知識包括“概念、法則、性質、公式、公理、定理等，以及由其內容反映出來的數(shù)學思想和方法”；基本技能是“按照一定的程序與步驟來進行運算、作圖、畫圖、簡單的推理”。此后至2000《九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（實驗修訂版）》，基本沿用了數(shù)學“雙基”的這一界定。一、“雙基”的緣起和發(fā)展2001年頒布的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》提出，數(shù)學教學要使學生“獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識（包括數(shù)學事實、數(shù)學活動經驗）以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應用技能；初步學會運用數(shù)學的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數(shù)學的意識”。課程目標包括“知識與技能”、“數(shù)學思考”、“解決問題”、“情感與態(tài)度”。一、“雙基”的緣起和發(fā)展2011年頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出，數(shù)學教學要使學生“獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！闭n程目標包括“知識技能”、“數(shù)學思考”、“解決問題”、“情感態(tài)度”。二、從“雙基”到“四基”的背景（一）時代發(fā)展的召喚（二）課程改革的完善（三）學生發(fā)展的需要二、從“雙基”到“四基”的背景意義（一）時代發(fā)展的召喚經過長期探索，“雙基”已是我國（數(shù)學）教育目標的重要組成部分,“雙基”教學已成為我國（數(shù)學）教學的特色和優(yōu)勢。中國學生在TIMSS、PISA等國際測試中表現(xiàn)良好，國外多數(shù)認為這是中國教育“雙基”優(yōu)勢的一種體現(xiàn)。但是，以“應試”為目的的“雙基”過度訓練和固化，導致學生課業(yè)負擔過重，使數(shù)學課堂教學價值失衡。

成績雙基應試分數(shù)能力（一）時代發(fā)展的召喚

為深入推進課程改革和素質教育，國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要(2010-2020年)在義務教育階段明確提出要“減輕中小學生課業(yè)負擔”。這需要我們“揚長避短”，發(fā)揮“雙基”優(yōu)勢的同時，關注基本思想和活動經驗，培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力，克服“雙基”不足！知識與技能過程與方法情感態(tài)度價值觀學生二、從“雙基”到“四基”的背景意義二、從“雙基”到“四基”的背景意義（二）課程改革的完善“雙基”更多是對數(shù)學原理、定理、概念、公式，以及運算、推理和證明的程序等結論性知識的反映。但是，數(shù)學的本質不僅在于它的結論，更在于它的思想。數(shù)學課程不僅應僅教給學生結論，也應該要教給學生數(shù)學思想、精神和活動經驗。結論性知識數(shù)學思想、活動經驗雙基原理定理概念公式...推理運算證明...二、從“雙基”到“四基”的背景意義（二）課程改革的完善部分教師在實踐中有時片面地理解“雙基”，往往見物不見人?！半p基”——更看重知識與技能的物質性！而教育必須以人為本，“數(shù)學思想”和“數(shù)學活動經驗”直接與人相關，二者的提出更看重人的需求與發(fā)展。“四基”——更關注學生的切實需求與發(fā)展！二、從“雙基”到“四基”的背景意義（二）課程改革的完善“雙基”主要對應三維目標中的“知識與技能”。另外兩個目標——“過程與方法”和“情感態(tài)度與價值觀”的則對應著數(shù)學的基本思想和基本活動經驗。知識與技能；過程與方法；情感態(tài)度和價值觀。過程與方法情感態(tài)度與價值觀基本思想三維目標“四基”“雙基”基本活動經驗知識與技能二、從“雙基”到“四基”的背景意義（三）學生發(fā)展的需要學生創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng)不能停留于掌握必要的數(shù)學基礎知識和基本技能，還要學會數(shù)學的思考，在多樣化的數(shù)學活動中積累經驗、發(fā)展經驗、反思經驗。學生數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展并不能通過單純地接受數(shù)學事實來實現(xiàn)，更需要通過對數(shù)學思想方法的領悟,對數(shù)學活動經驗的條理化以及對數(shù)學知識的自我組織等活動來實現(xiàn)。三、從“雙基”到“四基”的變化基礎知識基本技能基礎知識基本技能

基本思想基本活動經驗（一）基礎知識基本技能（二）基本思想（三）基本活動經驗

三、從“雙基”到“四基”的變化（一）基礎知識基本技能九年義務教育全日制初級中學數(shù)學教學大綱（實驗修訂版），2000基礎知識：數(shù)學中的概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數(shù)學思想和方法?；炯寄埽耗軌虬凑找欢ǖ某绦蚺c步驟進行運算、作圖或畫圖、進行簡單的推理?！半p基”內容需要與時俱進，增添估算、算法、數(shù)感、符號感、統(tǒng)計初步等內容。只堅持““雙基””難以培養(yǎng)創(chuàng)新型和實踐型人才。（★案例：數(shù)感）課標（2011版）數(shù)感是關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。案例11200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長？1200名學生站成的隊形需要多大場地？案例2：0的認識西師版（一上）數(shù)感三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想“基本思想”是指人們對數(shù)學及其形成發(fā)展過程的基本看法和理性認識。它是對數(shù)學活動中問題、語言、方法和命題等知識成分及其間關系的抽象與概括，是對數(shù)學發(fā)展所依賴之思想的理性認識。

思想：①思維活動的結果。屬于理性認識。一般也稱“觀念”。人們的社會存在，決定人們的思想。②想法；念頭。③進行思維活動。《辭?！啡摹半p基”到“四基”的變化（二）基本思想基本思想數(shù)學思想方法≠基本思想是宏觀的，它更具有普遍的指導意義。數(shù)學思想方法是微觀的，它是解決數(shù)學問題的直接具體的手段。

“數(shù)學思想方法”更多地讓人聯(lián)想到的就是解決數(shù)學問題的方法，即解決數(shù)學具體問題時所采用的方式、途徑和手段，也可以說是解決數(shù)學問題的策略。如換元法、代入法、配方法等。三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想基本思想包括哪些方面？抽象從許多事或物中，單純提取某一數(shù)學特性加以認識的過程。是形成概念的必要手段。推理從一個或幾個已有數(shù)學事實或規(guī)則，運用特定方法或法則，推斷出某些數(shù)學結論的思維過程。是數(shù)學的基本思維方式。模型根據(jù)特定目的和問題，采用數(shù)學語言表征所研究對象的主要特征、關系等的一種數(shù)學結構。是聯(lián)系數(shù)學與外部世界的基本途徑。審美對數(shù)學美（如簡潔、和諧、統(tǒng)一、對稱等）的感受、領會和欣賞。是認識和掌握數(shù)學的重要方式之一。三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象從許多事或物中，單純提取某一數(shù)學特性加以認識的過程。是形成概念的必要手段

。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……手指記數(shù)VS.符號記數(shù)小學數(shù)學教科書中數(shù)的認識三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象分類是指將對象按特定屬性劃分類別，使其更有規(guī)律。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……案例1：說一說，可以怎樣分？案例2：小數(shù)除法可分為幾類？按除數(shù)分：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法和除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象集合是指具有某種共同性質的數(shù)學對象的總體。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……案例2：兩種都喜歡案例1：12的因數(shù)有哪些？12

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12三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象對應是指一個集合中的任意元素，在特定法則的作用下，可得到另一集合中的一個（或多個）元素。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……案例1：帽子少了嗎？案例2：自然數(shù)和偶數(shù)一樣多嗎？三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象變中不變即指一系列對象的某些屬性是不同的，但其中有一些屬性卻是一致的。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……案例2：三角形面積公式案例1：這都是“2”三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象符號化即是用特定符號表述特定對象的某方面屬性或規(guī)律的過程?？珊喕瘮?shù)學過程，加快思維速度，促進思想交流。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……案例2：《九章算術》方程章第1問今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？案例1：你知道+、—、>、<……代表什么含義嗎？三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想抽象無限只能通過有限而存在，但它不能歸結為有限的簡單的量的總和，而有限中則包含著無限

。分類思想集合思想對應思想變中有不變思想符號化思想有限無限思想……案例1：長城長？案例3：0.999……=1？案例2：直線有多長？怎么畫直線？三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……從一個或幾個已有數(shù)學事實或規(guī)則，運用特定方法或法則，推斷出某些數(shù)學結論的思維過程。是數(shù)學的基本思維方式。我們都可以是“福爾摩斯”三、從“雙基”到“四基”的變化推理歸納是指由一系列具體事實概括出一般原理的一種推理形式?？赏耆珰w納和不完全歸納。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……凸n多邊形的內角和是多少?案例：四邊形2×180o五邊形3×180o六邊形4×180o……凸n邊形（n-2）×180o（二）基本思想三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理類比指由系列對象某些相同的屬性推斷它們在其他屬性上也可能相同的一種合情推理形式。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……案例2：陰影部分的面積是多少？案例1：“底乘高”可類比嗎？三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理數(shù)形結合是指把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系等與直觀的幾何圖形、位置關系等結合起來。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……案例：平方差公式三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理逐步逼近是指由減弱的特殊情況開始，通過不斷地發(fā)展和完善等，趨近真理的過程。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……案例：圓的面積πr三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理演繹是從一些假設的命題或已有認識出發(fā)，運用邏輯的規(guī)則，導出另一命題的推理形式。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……案例2：正多面體只有如下五種！

柏拉圖將其朋友特埃特圖斯告訴他的五種正多面體寫在《蒂邁歐篇》(Timaeus)內。歐幾里得將正多面體的作法收錄于《幾何原本》，并給出了幾何證明。其證明有很多種！案例1：質數(shù)有無窮個？

三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理指面對特定數(shù)學問題時，通過某種（些）手段不斷將問題簡化，進而解決的思想。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……同圓中相等的弧所對的圓周角等于圓心角的一半。案例2：案例1：4.2×6=？三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理運籌指為特定目的，在某些限制條件下尋求最優(yōu)解決方案的籌劃過程。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……案例1：田忌賽馬案例2：烙餅問題（小學數(shù)學四年級上）三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想推理公理化指從不加證明的原始命題（即公理）出發(fā)，按邏輯規(guī)則推導出其他命題，并建立演繹系統(tǒng)的過程。歸納思想類比思想數(shù)形結合思想逐步逼近思想演繹思想化歸思想運籌思想公理化思想……案例：三角形全等的判定邊邊邊(設為公理)角邊角（定理）邊角邊（定理）三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型根據(jù)特定目的和問題，采用數(shù)學語言表征所研究對象的主要特征、關系等的一種數(shù)學結構。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例1：愛因斯坦質量方程案例2：三角形面積=底×高÷2三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型簡化是在不改變對象質的規(guī)定性、不降低對象功能的前提下，減少對象多樣性、復雜性的過程。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例：代數(shù)中解一元方程的簡化路徑例如三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型量化是指將事物或事物間關系用數(shù)量的形式加以度量和描述。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例2：二進制與計算機案例1：曹沖稱象三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型函數(shù)是指某變化過程所涉及的多個對象間存在的某種特殊對應關系。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例1：小學的“映射”案例2：平面上，周長一定的長方形中，哪一個面積最大?三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型方程是表示兩個數(shù)學式間相等關系的式子。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例：一位中學畢業(yè)生在上海和平飯店當電工。他發(fā)現(xiàn)地下室控制的12樓房間空調器的溫度和實際溫度有差異。后發(fā)現(xiàn)原因在于連結控制室和12樓的三根導線不一樣長，因而電阻不同。如何測出每根導線的電阻呢？三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型優(yōu)化是在有限種或無限種可行方案(決策)中挑選最優(yōu)的方案(決策)。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例1：臉部的黃金分割案例2：算法多樣化與算法優(yōu)化三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想模型統(tǒng)計是指對與某一現(xiàn)象有關的數(shù)據(jù)的搜集、整理、計算和分析等。簡化思想量化思想函數(shù)思想方程思想優(yōu)化思想統(tǒng)計思想……案例1：最喜歡的球類活動案例2：課外興趣小組人數(shù)三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想審美簡潔思想統(tǒng)一思想和諧思想對稱思想……對數(shù)學美（如簡潔、和諧、統(tǒng)一、對稱等）的感受、領會和欣賞。是認識和掌握數(shù)學的重要方式之一。分形之美自相似：部分與整體相似三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想審美簡潔指沒有多余、高效。簡潔思想統(tǒng)一思想和諧思想對稱思想……案例1：錢幣只有1、2、5、10的面值!案例2：乘法口訣表與數(shù)學語言簡潔美三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想審美統(tǒng)一即將眾多對象按特定標準合為一體。簡潔思想統(tǒng)一思想和諧思想對稱思想……案例1:其中F為任一凸多面體的面數(shù)、V為頂點數(shù)、E為棱數(shù)。案例2:它們的體積都是底面積乘以高三、從“雙基”到“四基”的變化（二）基本思想審美和諧是不同（甚至對立）事物之間在一定的條件下的辯證統(tǒng)一。簡潔思想統(tǒng)一思想和諧思想對稱思想……案例：歐拉公式（二）其中e為自然對數(shù)的底，π為圓周率，i