第七章應(yīng)力狀態(tài)及強(qiáng)度理論

材料力學(xué)中國(guó)地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院力學(xué)課部

石奎§9–１應(yīng)力狀態(tài)的概念一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？PP鑄鐵拉伸

P鑄鐵壓縮M鑄鐵低碳鋼2、組合變形桿將怎樣破壞？MP三、單元體：?jiǎn)卧w——構(gòu)件內(nèi)的點(diǎn)的代表物，是包圍被研究點(diǎn)的無(wú)限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質(zhì)——a、每個(gè)平面上應(yīng)力均勻分布；

b、任一平行平面上應(yīng)力相等。二、一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)的截面，這一點(diǎn)的各個(gè)截面上應(yīng)力情況的集合，稱為這點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。xyz四、普遍狀態(tài)下的應(yīng)力表示

五、剪應(yīng)力互等定理:

過(guò)一點(diǎn)的兩個(gè)正交面上,如果有與相交邊垂直的剪應(yīng)力分量,則兩個(gè)面上的這兩個(gè)剪應(yīng)力分量一定等值、方向相對(duì)或相離。xyztzx六、原始單元體（已知單元體）：例1

畫(huà)出下列圖中的A、B、C點(diǎn)的已知單元體。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx七、主單元體、主面、主應(yīng)力：主單元體(Principalbidy)：

各側(cè)面上剪應(yīng)力均為零的單元體。主平面(PrincipalPlane)：

剪應(yīng)力為零的截面。主應(yīng)力(PrincipalStress

）：

主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，單向應(yīng)力狀態(tài)：

一個(gè)主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

平面應(yīng)力狀態(tài)（二向應(yīng)力狀態(tài)）：

一個(gè)主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)?？臻g應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))

：

三個(gè)主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。AsxsxtzxsxsxBtxz研究桿件受力后各點(diǎn)處，特別是危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以：

1.

了解材料發(fā)生破壞的力學(xué)上的原因，例如：低碳鋼拉伸時(shí)的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45?

斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45?

方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。

2.

在不可能總是通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定材料極限應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強(qiáng)度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎(chǔ)?！?–2平面應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO左上圖中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義。一、任意斜截面上的應(yīng)力規(guī)定：

截面外法線同向?yàn)檎?；ta使研究對(duì)象順時(shí)針轉(zhuǎn)為正；a逆時(shí)針為正。sxxytxysyOefsytyxsxsataaxyOtnefbtxy設(shè)：斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dA·cosa，而底面bf

的面積為dA·sina，由分離體平衡得：

sytyxsxsataaxyOtnefbtxyxysxtxysyO考慮剪應(yīng)力互等和三角變換，得：同理：sytyxsxsataaxyOtnefbtxy二、極值應(yīng)力xysxtxysyO′′xysxtxysyO在剪應(yīng)力相對(duì)的項(xiàng)限內(nèi)，且偏向于x

及y大的一側(cè)。222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

￠

￠）（試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題1：一點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知解：（1）斜面上的應(yīng)力（2）主應(yīng)力、主平面主平面的方位：代入表達(dá)式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：（3）主應(yīng)力單元體：例2

分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)其原始單元體求極值應(yīng)力txyCtyxMCxyOtxytyx破壞分析低碳鋼鑄鐵討論低碳鋼和鑄鐵的破壞！§9–3

平面應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對(duì)上述方程消去參數(shù)（2），得：一、應(yīng)力圓（

StressCircle）xysxtxysyO此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓，由德國(guó)工程師：OttoMohr引入）sytyxsxsataaxyOtnefbtxy建立應(yīng)力坐標(biāo)系，如下圖所示，（注意選好比例尺）二、應(yīng)力圓的畫(huà)法在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)A(x，xy)和B(y，yx)

AB與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心。以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)三、單元體與應(yīng)力圓的對(duì)應(yīng)關(guān)系面上的應(yīng)力(，)

應(yīng)力圓上一點(diǎn)(，)面的法線應(yīng)力圓的半徑兩面夾角兩半徑夾角2

；且轉(zhuǎn)向一致。四、在應(yīng)力圓上標(biāo)出極值應(yīng)力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例:用應(yīng)力圓法求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力；2)主應(yīng)力及其方位；3)極值剪應(yīng)力。403020單位：MPaxasatasOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o40.3-40.3例3

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)解：主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖AB的垂直平分線與sa

軸的交點(diǎn)C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓——應(yīng)力圓AB

120s3s1s2BAC2

0sata(MPa)(MPa)O20MPa在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出點(diǎn)s3s1s2BAC20sata(MPa)(MPa)O20MPa主應(yīng)力及主平面如圖

102AB解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO§9–4三向應(yīng)力狀態(tài)研究——應(yīng)力圓法s2s1xyzs31、空間應(yīng)力狀態(tài)例如圖a中所示垂直于主應(yīng)力s3所在平面的斜截面，其上的應(yīng)力由圖b所示分離體可知，它們與s3無(wú)關(guān)，因而顯示這類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以s1和s2作出的應(yīng)力圓上(參見(jiàn)圖c)。(b)(c)221112s3s2s2s1s1s3s1s2s3C1C3s1s2t12t23t13C2s3Otss2s1xyzs3彈性理論證明，圖a單元體內(nèi)任意一點(diǎn)任意截面上的應(yīng)力都對(duì)應(yīng)著圖b的應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點(diǎn)。圖a圖b整個(gè)單元體內(nèi)的最大剪應(yīng)力為：tmaxs2s1xyzs3應(yīng)變分量的正負(fù)為了與應(yīng)力分量的正負(fù)相一致，規(guī)定：

1、線應(yīng)變：

ex,ey,ez以伸長(zhǎng)變形為正，

2、切應(yīng)變：

gxy,gyz,gzx以使單元體的直角∠x(chóng)oy,∠yoz,∠zox減小為正?！?–5復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系

——（廣義虎克定律）本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系xyzsxxyz

x

y三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系依疊加原理,得:

xyzszsytxysx主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:方向一致s1s3s2主應(yīng)力與主應(yīng)變方向一致?主應(yīng)變：指一點(diǎn)處各方位線應(yīng)變中的最大與最小值。五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系體積應(yīng)變：體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系:s1s3s2a1a2a3例

已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點(diǎn)處的兩個(gè)面內(nèi)主應(yīng)變分別為：1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點(diǎn)處的平面應(yīng)力狀態(tài)。變形比能（討論線彈性情況）在三向應(yīng)力狀態(tài)下，彈性變形能仍等于外力的功，且只取決于外力和變形的最終值，與中間過(guò)程無(wú)關(guān)。變形比能u：?jiǎn)挝惑w積的變形能在單向拉伸情況下，力從

0

F，變形由

0

DL，變形能(外力所做的功)

：U=FDL/2。

F-DL曲線DLFFDL/2§9－6復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能可假定三個(gè)主應(yīng)力按比例同時(shí)從零增加到最終值，則彈性變形比能u可寫(xiě)為：利用廣義虎克定理，有：類似有：體積改變比能和形狀改變比能

變形比能形狀改變比能體積改變比能得到變形比能為：三向等拉的情況

只有體積改變由上式有：231圖a

mmm圖b2

31-

m-m-m圖c形狀改變比能(一般情況)為：231圖a

mmm圖b2

31-

m-m-m圖c體積應(yīng)變：Ａ13例用能量法證明三個(gè)彈性常數(shù)間的關(guān)系。、純剪單元體的比能為：、純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：一、引子：§9–7強(qiáng)度理論及相當(dāng)應(yīng)力1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗(yàn)現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？MP低碳鋼（拉壓）（彎曲）（正應(yīng)力強(qiáng)度條件）（彎曲）（扭轉(zhuǎn)）（切應(yīng)力強(qiáng)度條件）1.桿件基本變形下的強(qiáng)度條件滿足是否強(qiáng)度就沒(méi)有問(wèn)題了？強(qiáng)度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過(guò)判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說(shuō)，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)，不斷完善，在一定范圍與實(shí)際相符合，上升為理論。

為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計(jì)算方法。構(gòu)件由于強(qiáng)度不足將引發(fā)兩種失效形式

(1)脆性斷裂：材料無(wú)明顯的塑性變形即發(fā)生突然斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于斷裂的強(qiáng)度理論：①最大拉應(yīng)力理論②最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論

(2)塑性屈服（流動(dòng)）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。③最大切應(yīng)力理論④形狀改變比能理論關(guān)于屈服的強(qiáng)度理論:

二、四個(gè)強(qiáng)度理論Ⅰ.最大拉應(yīng)力（第一強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。

Ⅱ.最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變（第二強(qiáng)度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)下的極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件就斷了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。此理論對(duì)于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合。Ⅲ.最大剪應(yīng)力（第三強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)的極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則：3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。未考慮的影響，試驗(yàn)證實(shí)最大影響達(dá)15%；不能解釋三向均拉下可能發(fā)生斷裂的現(xiàn)象。Ⅳ.形狀改變比能（第四強(qiáng)度）理論：認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的。當(dāng)形狀改變比能達(dá)到單向拉伸試驗(yàn)屈服時(shí)形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件就破壞了。1、破壞判據(jù)：2、強(qiáng)度準(zhǔn)則3、實(shí)用范圍：實(shí)用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。比第三強(qiáng)度理論更符合試驗(yàn)結(jié)果。三、相當(dāng)應(yīng)力：（強(qiáng)度準(zhǔn)則的統(tǒng)一形式）。其中，

*—相當(dāng)應(yīng)力?！?–9強(qiáng)度理論的應(yīng)用一、強(qiáng)度計(jì)算的步驟：1、外力分析：確定所有的外力值。2、內(nèi)力分析：畫(huà)內(nèi)力圖，確定可能的危險(xiǎn)面。3、應(yīng)力分析：畫(huà)危面應(yīng)力分布圖，確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫(huà)出單元體，求主應(yīng)力。4、強(qiáng)度分析：選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論，計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。二、強(qiáng)度理論的選用原則：依破壞形式而定。①當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；②當(dāng)最小主應(yīng)力小于零而最大主應(yīng)力大于零時(shí)，使用莫爾理論。③當(dāng)最大主應(yīng)力小于等于零時(shí)，使用第三或第四理論。1、脆性材料：3、簡(jiǎn)單變形時(shí)：2、塑性材料：4、破壞形式還與溫度、變形速度等有關(guān)！其它應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，使用第三或第四理論。當(dāng)最小主應(yīng)力大于等于零時(shí)，使用第一理論；一律用與其對(duì)應(yīng)的強(qiáng)度準(zhǔn)則。如扭轉(zhuǎn)，都用：解：危險(xiǎn)點(diǎn)A的應(yīng)力狀態(tài)如圖：例1

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖，T=7kNm，P=50kN,為鑄鐵構(gòu)件，[]=40MPa，試用第一強(qiáng)度理論校核桿的強(qiáng)度。PPTTAA故，安全。APPTT例2

薄壁圓筒受最大內(nèi)壓時(shí),測(cè)得x=1.8810-4，y=7.3710-4，已知鋼的E=210GPa，[]=170MPa，泊松比=0.3，試用第三強(qiáng)度理論校核其強(qiáng)度。解：由廣義虎克定律得:AsxsyxyAAsxsyxyA所以，此容器不滿足第三強(qiáng)度理論。不安全。一、組合變形：在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件的變形會(huì)包含幾種簡(jiǎn)單變形，當(dāng)幾種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力屬同一量基時(shí)，不能忽略之，這類構(gòu)件的變形稱為組合變形?！?-１概述ＭPR組合變形

gh組合變形組合變形一、組合變形的研究方法——疊加原理:①、外力分析：外力向形心(后彎心)簡(jiǎn)化并沿主慣性軸分解②、內(nèi)力分析：求每個(gè)外力分量對(duì)應(yīng)的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)面。③、應(yīng)力分析：畫(huà)危險(xiǎn)面應(yīng)力分布圖，疊加，建立危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度條件。二、連接件的實(shí)用計(jì)算連接件：鉚釘、螺栓、鍵、榫頭等起連接作用的部件。F螺栓、鉚釘鍵榫頭、焊接

工程計(jì)算中常按連接件和構(gòu)件在連接處可能產(chǎn)生的破壞情況，作一些簡(jiǎn)化的計(jì)算假設(shè)（例如認(rèn)為螺栓和鉚釘?shù)氖芗裘嫔锨袘?yīng)力均勻分布）得出名義應(yīng)力（nominalstress）,然后與根據(jù)在相同或類似變形情況下的破壞試驗(yàn)結(jié)果所確定的相應(yīng)許用應(yīng)力比較，從而進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。這就是所謂工程實(shí)用計(jì)算法（engineeringmethodofpracticalanalysis）?！?-2

雙對(duì)稱截面梁在兩個(gè)相互垂直平面內(nèi)的彎曲具有雙對(duì)稱截面的梁，它在任何一個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎曲時(shí)均為平面彎曲。故具有雙對(duì)稱截面的梁在兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時(shí)承受橫向外力作用時(shí)，在線性彈性且小變形情況下，可以分別按平面彎曲計(jì)算每一彎曲情況下橫截面上的應(yīng)力和位移，然后疊加。圖示懸臂梁x截面上的彎矩和任意點(diǎn)C處的正應(yīng)力為：由于水平外力F1

由于豎直外力F2彎曲正應(yīng)力彎矩My(x)=F1x

Mz(x)=F2(x-a)這里彎矩的正負(fù)號(hào)系根據(jù)圖b所示，由右手螺旋法則按它們的矢量其指向是否與y軸和z軸的指向一致來(lái)確定的。在F1和F2共同作用下x截面上C點(diǎn)處的正應(yīng)力為利用上式固然可求算x截面上任意點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力，但對(duì)于圖中所示那類橫截面沒(méi)有外棱角的梁，由于My單獨(dú)作用下最大正應(yīng)力的作用點(diǎn)和Mz

單獨(dú)作用下最大正應(yīng)力的作用點(diǎn)不相重合，所以還不好判定在My和Mz共同作用下最大正應(yīng)力的作用點(diǎn)及其值。

注意到在F1作用下x截面繞中性軸y轉(zhuǎn)動(dòng)，在F2作用下x截面繞中性軸z轉(zhuǎn)動(dòng),可見(jiàn)在F1和F2共同作用下，x截面必定繞通過(guò)y軸與z軸交點(diǎn)的另一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)軸就是梁在兩個(gè)相互垂直平面內(nèi)同時(shí)彎曲時(shí)的中性軸，其上坐標(biāo)為y，z的任意點(diǎn)處彎曲正應(yīng)力為零。故有中性軸的方程：中性軸與y軸的夾角q（圖a）為其中j角為合成彎矩與y的夾角。這就表明，只要Iy≠I(mǎi)z

，中性軸的方向就不與合成彎矩M的矢量重合，亦即合成彎矩M所在的縱向面不與中性軸垂直，或者說(shuō)，梁的彎曲方向不與合成彎矩M所在的縱向面重合。正因?yàn)檫@樣，通常把這類彎曲稱為斜彎曲（obliquebending）。對(duì)于圖示懸臂梁，試問(wèn)：4.該梁自由端的撓度（大小和方向）如何計(jì)算？2.在固定端處梁的中性軸又大致在什么方向？3.在固定端和F2作用截面之間，梁的中性軸的方向是否隨橫截面位置變化？1.外力F2作用截面處梁的中性軸在什么方向？思考:例題8-1

圖示20a號(hào)工字鋼懸臂梁（圖a）上的均布荷載集度為q

(N/m)，集中荷載為。試求梁的許可荷載集度[q]。已知：a=1m;20a號(hào)工字鋼：Wz=237×10-6m3，Wy=31.5×10-6

m3；鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=160MPa。x()解：1.將集中荷載F沿梁的橫截面的兩個(gè)對(duì)稱軸分解為()x2.作梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖（圖b），并分別作水平彎曲和豎直彎曲的彎矩圖—My圖和Mz

圖（圖c,d）。3.確定此梁的危險(xiǎn)截面。

A截面上My最大，MyA=0.642qa2,該截面上Mz雖不是最大，但因工字鋼Wy<<Wz

，故A截面是可能的危險(xiǎn)截面。D截面上Mz

最大：故D截面也是可能的危險(xiǎn)面。為確定危險(xiǎn)截面，需比較A截面和D截面上的最大彎曲正應(yīng)力。MzD=0.456qa2

，MyD=0.444qa2，且zMzAyzMyAyzyD1D2由于，可見(jiàn)A截面為危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)點(diǎn)在A截面上的外棱角D1和D2處。根據(jù)強(qiáng)度條件，有

（21.5×10-3)q≤160×106Pa4.求許可荷載集度[q]。于是有[q]=7.44×103N/m=7.44kN/m從而得例8-2、矩形截面木檁條如圖，跨長(zhǎng)L=3m,受集度為q=800N/m的均布力作用，[]=12MPa，b=120mm，h=160mm,E=9GPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：①、外力分析——分解q②校核強(qiáng)度Wy=0.0512m3,Wz=0.0384m3

§8－3

拉伸(壓縮)與彎曲的組合變形Ⅰ.橫向力與軸向力共同作用圖a為由兩根槽鋼組成的桿件，受橫向力F和軸向力Ft作用時(shí)的計(jì)算簡(jiǎn)圖，該桿件發(fā)生彎曲與拉伸的組合變形。軸向拉力會(huì)因桿件有彎曲變形而產(chǎn)生附加彎矩，但它與橫向力產(chǎn)生的彎矩總是相反的，故在工程計(jì)算中對(duì)于彎一拉組合變形的構(gòu)件可不計(jì)軸向拉力產(chǎn)生的彎矩而偏于安全地應(yīng)用疊加原理來(lái)計(jì)算桿中的應(yīng)力。圖a所示發(fā)生彎一拉組合變形的桿件，跨中截面為危險(xiǎn)截面，其上的內(nèi)力為FN=Ft，。該橫截面上與軸力FN對(duì)應(yīng)的拉伸正應(yīng)力st為均勻分布(圖b)，

，而與最大彎矩Mmax對(duì)應(yīng)的彎曲正應(yīng)力在上、下邊緣處(圖c)，其絕對(duì)值。在FN

和Mmax共同作用下，危險(xiǎn)截面上正應(yīng)力沿高度的變化隨sb和st的值的相對(duì)大小可能有圖d,e,f三種情況。危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力是拉應(yīng)力：注意到危險(xiǎn)截面最大拉應(yīng)力作用點(diǎn)（危險(xiǎn)點(diǎn)）處為單向應(yīng)力狀態(tài)，故可把st,max直接與材料的許用正應(yīng)力進(jìn)行比較來(lái)建立強(qiáng)度條件。例題8－2

圖a所示折桿ACB由鋼管焊成，A和B處鉸支,C處作用有集中荷載F=10kN。試求此折桿危險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。已知鋼管的外直徑D=140mm，壁厚d=10mm。

解：1.約束力FA=FB=5kN。折桿的受力圖如圖b。根據(jù)對(duì)稱性，只需分析折桿的一半，例如AC桿；將約束力FA分解為FAx

=3kN和FAy=4kN后可知，AC桿的危險(xiǎn)截面為m-m(圖b)，其上的內(nèi)力為FN=-FAx=-3kNMmax=FAy×2=8kN·m

可見(jiàn)此桿產(chǎn)生彎一壓組合變形。現(xiàn)按大剛度桿來(lái)計(jì)算應(yīng)力。

2.AC桿危險(xiǎn)截面m-m上的最大拉應(yīng)力st,max和最大壓應(yīng)力sc,max分別在下邊緣f點(diǎn)處和上邊緣g點(diǎn)處(圖b)：

（a）3.根據(jù)鋼管的橫截面尺寸算得：或4.將FN和Mmax以及A和W的值代入式(a)得注意，在彎一壓組合變形情況下，|sc,max

|>st,max,故對(duì)于拉、壓許用應(yīng)力相等的情況，建立強(qiáng)度條件時(shí)應(yīng)以|sc,max

|與許用正應(yīng)力進(jìn)行比較。倘若材料的許用拉應(yīng)力[st]小于許用壓應(yīng)力[sc]，則應(yīng)將st,max和|sc,max|分別與[st]和[sc]比較。二、偏心拉伸（壓縮）：作用在直桿上的外力與桿的軸線平行且不重合，將引起偏心拉伸或壓縮。PMZMy二、應(yīng)力分析：三、中性軸方程對(duì)于偏心拉壓?jiǎn)栴}中性軸在形心主慣性軸y，z上的截距四、橫截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的位置1.有棱角橫截面2.無(wú)棱角橫截面對(duì)于沒(méi)有外棱角的截面，為找出橫截面上危險(xiǎn)點(diǎn)的位置，可在確定中性軸位置后作平行于中性軸的直線使與橫截面周邊相切(圖b)，切點(diǎn)D1和D2分別就是最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的作用點(diǎn)，根據(jù)它們的坐標(biāo)即可確定最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值。橫截面有外棱角的桿件受偏心拉伸時(shí)，危險(xiǎn)點(diǎn)必定在橫截面的外棱角處。(b)五、截面核心土建工程中的混凝土或磚、石偏心受壓柱，往往不允許橫截面上出現(xiàn)拉應(yīng)力。這就要求偏心壓力只能作用在橫截面形心附近的某個(gè)范圍內(nèi)；這個(gè)范圍稱之為截面核心（coreofsection）。要使偏心壓力作用下桿件橫截面上不出現(xiàn)拉應(yīng)力，那么中性軸就不能與橫截面相交，一般情況下充其量只能與橫截面的周邊相切，而在截面的凹入部分則是與周邊外接。截面核心的邊界正是利用中性軸與周邊相切和外接時(shí)偏心壓力作用點(diǎn)的位置來(lái)確定的。圖中所示任意形狀的截面，y軸和z軸為其形心主慣性軸。為確定截面核心的邊界(圖中的封閉曲線1-2-3-4-5-1)，可作一系列與截面周邊相切和外接的直線把它們視為中性軸。得出每一與圓邊相切或外接的直線（中性軸）所對(duì)應(yīng)的偏心壓力作用點(diǎn)的位置，亦即截面核心邊界上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)ryi,rzi根據(jù)這些直線中每一直線在y軸和z軸上的截距ayi和azi即可由前面已講過(guò)的中性軸在形心主慣性軸上截距的計(jì)算公式連接這些點(diǎn)所得封閉曲線其包圍的范圍就是截面核心。應(yīng)該注意的是，截面核心的每一邊界點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的截面周邊上的切線和外接的直線（中性軸）總是位于截面形心的相對(duì)兩側(cè)。(1)圓截面的截面核心：圓截面對(duì)圓心（形心）O是極對(duì)稱的，因而其截面核心的邊界必然也是一個(gè)圓心為O的圓。作一條如圖所示與截面周邊相切的直線①，它在形心主慣性軸y和z上的截距為而對(duì)于圓截面有從而這就是截面核心邊界上點(diǎn)1的坐標(biāo)。以O(shè)為圓心，以d/8為半徑所作的圓其包圍的范圍就是圓形截面的截面核心。一個(gè)外直徑為D，內(nèi)直徑為D/2的空心圓截面，試檢驗(yàn)該截面的：2.該截面核心為半徑等于的圓。思考:

1.對(duì)于形心主慣性軸的慣性半徑為,(2)矩形截面的截面核心圖中y軸和z軸為矩形截面的形心主慣性軸。對(duì)于這兩根軸的慣性半徑iy和iz的平方為作與周邊相切的直線①,②,③,④，將它們視為中性軸，根據(jù)它們?cè)谛涡闹鲬T性軸y,z上的截距便可求得截面核心邊界上的相應(yīng)點(diǎn)1，2，3，4?，F(xiàn)以計(jì)算與周邊上切線①相應(yīng)的核心邊界點(diǎn)1的坐標(biāo)ry1，rz1例作具體計(jì)算：截距核心邊界點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于周邊上其他三條切線的截面核心邊界點(diǎn)的坐標(biāo)可類似地求得，并也已標(biāo)注以圖中?，F(xiàn)在的問(wèn)題是,確定截面核心邊界上的四個(gè)點(diǎn)1，2，3，4后，相鄰各點(diǎn)之間應(yīng)如何連接。實(shí)際上這就是說(shuō)，當(dāng)與截面相切的直線（中性軸）繞截面周邊上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至下一條與周邊相切的直線時(shí)，偏心壓力的作用點(diǎn)按什么軌跡移動(dòng)?，F(xiàn)以切線①繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至切線②時(shí)的情況來(lái)說(shuō)明。前面已講過(guò)，桿件偏心受力時(shí)橫截面上中性軸的方程為當(dāng)中性軸繞一點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，位于中性軸上的B點(diǎn)的坐標(biāo)yB，zB

不變，亦即上式中的y0，z0在此情況下為定值yB，zB，而偏心壓力的作用點(diǎn)yF，zF在移動(dòng)，將上式改寫(xiě)為顯然，這是關(guān)于yF，zF的直線方程。這表明，當(dāng)截面周邊的切線（中性軸）繞周邊上的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的偏心壓力的作用點(diǎn)亦即截面核心的邊界點(diǎn)沿直線移動(dòng)。于是在確定截面核心邊界上的點(diǎn)1，2，3，4后，順次以直線連接這些點(diǎn)所得到的菱形便是矩形截面的截面核心。該菱形的對(duì)角線長(zhǎng)度分別為h/3和b/3(如圖所示)。

例題8－4

試確定圖示T形截面的截面核心。圖中y,z軸為形心主軸。已知：截面積A=0.6m2；慣性矩Iy=48×10-3m4,Iz=27.5×10-3m4；慣性半徑的平方以及。

解:

對(duì)于周邊有凹入部分的截面，例如槽形截面、T形截面等，確定截面核心邊界點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的中性軸仍然不應(yīng)與截面相交，也就是在周邊的凹入部分只能以外接直線作為中性軸。圖中的6條直線①,②,…,⑥便是用以確定該T形截面核心邊界點(diǎn)1,2…,6的中性軸；根據(jù)它們各自在形心主慣性軸上的截距計(jì)算所得核心邊界的結(jié)果如下表所示：0-0.1021-∞0.45①0.45∞-0.45-0.45∞ay-0.0740.10241.08④00.1023∞③-0.133050.60⑤0.2002-0.40②⑥中性軸編號(hào)

-0.074

-0.102

截面核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)值/m

6對(duì)應(yīng)的截面核心邊界上的點(diǎn)

1.08az

中性軸的截距/m

注意到直線（中性軸）①，②，…，⑥，①中順次編號(hào)的相鄰直線都是由前一直線繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到后一直線，故把核心邊界點(diǎn)1，2，…

，6，順次連以直線便可得到截面核心的邊界?！?-4

扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形機(jī)械中的許多構(gòu)件在工作時(shí)往往發(fā)生扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合變形，而且它們多半是實(shí)心或空心圓截面桿，圖中所示傳動(dòng)軸便是一種典型的情況。土建工程中發(fā)生扭－彎組合變形的桿件往往是非圓截面的。本節(jié)講述圓截面桿發(fā)生扭－彎組合變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。圖a所示由塑性材料制造的曲拐在鉛垂外力作用下，其AB桿的受力圖如圖b所示。該桿為直徑為d的圓截面桿。圖c，d示出了AB桿的彎矩圖（M圖）和扭矩圖（T圖）。由于扭－彎組合變形情況下不考慮剪力對(duì)強(qiáng)度的影響，故未示出剪力圖（FS圖）。該AB桿的危險(xiǎn)截面為固定端處的A截面。危險(xiǎn)截面上彎曲正應(yīng)力在與中性軸C3C4垂直方向的變化如圖e，扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力沿直徑C3C4和C1C2的變化如圖f。由此可知危險(xiǎn)截面上的危險(xiǎn)點(diǎn)為C1和C2。由于桿的材料是拉壓許用應(yīng)力相等的塑性材料，C1和C2兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度相同，故只需對(duì)其中的一個(gè)點(diǎn)作強(qiáng)度計(jì)算即可。圍繞點(diǎn)C1以桿的橫截面、徑向縱截面和切向縱截面取出單元體，其各面上的應(yīng)力如圖g所示，而點(diǎn)C1處于平面應(yīng)力狀態(tài)，其三個(gè)主應(yīng)力為按第三強(qiáng)度理論作強(qiáng)度計(jì)算，相當(dāng)應(yīng)力為(a)按第四強(qiáng)度理論作強(qiáng)度計(jì)算，相當(dāng)應(yīng)力為(b)強(qiáng)度條件為或究竟按哪個(gè)強(qiáng)度理論計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力，在不同設(shè)計(jì)規(guī)范中并不一致。注意到發(fā)生扭－彎變形的圓截面桿，其危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)處：為便于工程應(yīng)用，將上式代入式（a），（b）可得：式中，M和T分別為危險(xiǎn)截面上的彎矩和扭矩，W為圓截面的彎曲截面系數(shù)。

例題8－5

圖a所示鋼制實(shí)心圓軸其兩個(gè)齒輪上作用有切向力和徑向力，齒輪C的節(jié)圓（齒輪上傳遞切向力的點(diǎn)構(gòu)成的圓）直徑dC=400mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。已知許用應(yīng)力[s]=100MPa。試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。1.作該傳動(dòng)軸的受力圖（圖b），并作彎矩圖－Mz圖和My圖（圖c,d）及扭矩圖－－T圖（圖e）。解：2.由于圓截面的任何形心軸均為形心主慣性軸，且慣性矩相同，故可將同一截面上的彎矩Mz和My按矢量相加。例如，B截面上的彎矩MzB和MyB（圖f）按矢量相加所得的總彎矩MB（圖g）為：由Mz圖和My圖可知，B截面上的總彎矩最大，并且由扭矩圖可見(jiàn)B截面上的扭矩與CD段其它橫截面上相同，TB＝-1000

N·m，于是判定橫截面B為危險(xiǎn)截面。3.根據(jù)MB和TB按第四強(qiáng)度理論建立的強(qiáng)度條件為即亦即于是得§8-5

連接件的實(shí)用計(jì)算法圖a所示螺栓連接主要有三種可能的破壞：

Ⅰ.螺栓被剪斷（參見(jiàn)圖b和圖c）；Ⅱ.

螺栓和鋼板因在接觸面上受壓而發(fā)生擠壓破壞（螺栓被壓扁，鋼板在螺栓孔處被壓皺）（圖d）；Ⅲ.鋼板在螺栓孔削弱的截面處全面發(fā)生塑性變形。實(shí)用計(jì)算法中便是針對(duì)這些可能的破壞作近似計(jì)算的。一、剪切的實(shí)用計(jì)算1、剪切面--AS：錯(cuò)動(dòng)面。

剪力--FS

：

剪切面上的內(nèi)力。2、名義剪應(yīng)力--：3、剪切強(qiáng)度條件：二、擠壓的實(shí)用計(jì)算1、擠壓力--Fbs：接觸面上的合力2、擠壓面積：接觸面在垂直Fbs方向上的投影面3、擠壓強(qiáng)度條件（準(zhǔn)則）：(3)拉伸的實(shí)用計(jì)算螺栓連接和鉚釘連接中，被連接件由于釘孔的削弱，其拉伸強(qiáng)度應(yīng)以釘孔中心所在橫截面為依據(jù)；在實(shí)用計(jì)算中并且不考慮釘孔引起的應(yīng)力集中。被連接件的拉伸強(qiáng)度條件為式中：FN為檢驗(yàn)強(qiáng)度的釘孔中心處橫截面上的軸力；A為同一橫截面的凈面積，圖示情況下A=(b–d)d。{{FbsFNdbssd當(dāng)連接中有多個(gè)鉚釘或螺栓時(shí)，最大拉應(yīng)力smax可能出現(xiàn)在軸力最大即FN=FN,max所在的橫截面上，也可能出現(xiàn)在凈面積最小的橫截面上。例1：木榫接頭如圖所示，a=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm,

P=40KN，試求接頭的剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。解：：受力分析如圖∶：剪應(yīng)力和擠壓應(yīng)力