山西省2023屆高三3月月考數(shù)學(xué)理試題

2023-2023學(xué)年高三月考(命題人郭偉峰)一、選擇題：（每小題5分，共60分）1.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（）A．B．C．D．2．對(duì)于集合，定義：且，，設(shè)＝，，則=（）A．（，0]B．[，0)C．D．3．右圖中，為某次考試三個(gè)評(píng)閱人對(duì)同一道題的獨(dú)立評(píng)分，為該題的最終得分，當(dāng)時(shí)，等于（）A．11B．10C．8D．74．設(shè)甲：函數(shù)的值域?yàn)?，乙：函?shù)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，那么甲是乙的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．規(guī)定記號(hào)“”表示一種運(yùn)算，即：，設(shè)函數(shù)。且關(guān)于的方程為恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（）A． B． C． D．6.已知和分別是雙曲線（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.7．若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則函數(shù)是（）A．奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線對(duì)稱D．偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8．過點(diǎn)作圓的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有（）A.16條B.17條C.32條D.34條9．在平面斜坐標(biāo)系中，點(diǎn)的斜坐標(biāo)定義為：“若（其中分別為與斜坐標(biāo)系的軸，軸同方向的單位向量），則點(diǎn)的坐標(biāo)為”．若且動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的軌跡方程為（）A． B．C．D．10．已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，均有，則有（）A．B．C．D．11．設(shè)是銳角三角形的外心，由向邊引垂線，垂足分別是,給出下列命題：①；②；③：：=：：;④，使得..以上命題正確的個(gè)數(shù)是（）.A．1 B．2 C．3D．4；12．在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是（）A．B．C．D．二、填空題：（每小題5分，共20分）13．已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，直線與曲線所圍成的平面區(qū)域?yàn)?，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域內(nèi)的概率為.14．對(duì)大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為.15．拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，過可作直線交拋物線于點(diǎn)、，使得，則的取值范圍是．16.給出以下四個(gè)命題：①若，則；②已知直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則的最大值為；③若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則取值范圍是；④已知數(shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和為，則使的的最小值為12．其中正確命題的序號(hào)為．三、解答題：17．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩根，且.（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)若對(duì)任意的都成立，求的取值范圍。18．（本小題滿分12分）2012年3月2日，國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的組別PM2.5（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組(0,15]40.1第二組(15,30]120.3第三組(30,45]80.2第四組(45,60]80.2第三組(60,75]40.1第四組(75,90)40.1（Ⅰ）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；（Ⅱ）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（Ⅲ）將頻率視為概率，對(duì)于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．（本小題滿分12分）如圖，四邊形中，為正三角形，，，與交于點(diǎn)．將沿邊折起，使點(diǎn)至點(diǎn)，已知與平面所成的角為，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在內(nèi)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若已知二面角的余弦值為，求的大小.20．（本小題滿分12分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是.求證:直線恒過定點(diǎn)；并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？(點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn))若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.（I）若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求SKIPIF1<0的取值范圍;（II）已知SKIPIF1<0,如果存在SKIPIF1<0,使得函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得最小值,試求SKIPIF1<0的最大值.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．已知曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn)．（I）求曲線，的方程；（II）若點(diǎn)，在曲線上，求的值．23.已知函數(shù)(I)求不等式的解集;(II)設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023-2023學(xué)年高三1.B2．C3．C4．B5．D6.D7．C8．C9．D10．D11．B12．D13．（文）14．915．16.①②17．【解】：（1），即（3分）（2）（6分）（3）∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（9分）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)綜上所述，的取值范圍為（12分）18．【解】：（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米,中位數(shù)為37.5微克/立方米．………4分（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）．因?yàn)?，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．…………8分（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則.隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2.且.所以，所以變量的分布列為012（天）,或（天）……12分（文）【解】（I）守成被調(diào)查人答卷情況統(tǒng)計(jì)表：同意不同意合計(jì)教師112女生246男生325 …………5分（II）（人） …………8分（III）設(shè)“同意”的兩名學(xué)生編號(hào)為1，2，“不同意”的四名學(xué)生分別編號(hào)為3，4，5，6，選出兩人則有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15種方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8種滿足題意，則恰有一人“同意”一人“不同意”的概率為 …………12分19．【解析】：（1）證明：由面，所以又所以-----4分（2）取中點(diǎn)，連結(jié)則，且，所以是平行四邊形，所以，且所以面;----8分（3）過作，交于，由題得在中，所以，所以-------12分（理）【解析】：(Ⅰ)易知為的中點(diǎn)，則，又，又，平面，所以平面（4分）(Ⅱ)方法一：以為軸，為軸，過垂直于平面向上的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則,（6分）易知平面的法向量為（7分），設(shè)平面的法向量為則由得，解得，，令，則（9分）則解得，，即，即，又，∴故.（12分）20．【解】：（I）設(shè)橢圓方程為。拋物線的焦點(diǎn)是，故，又，所以，所以所求的橢圓方程為……………3分（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)。則切線方程分別為，。又兩切線均過點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1,0）都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過定點(diǎn)。……6分（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得，即所以…..8分不妨設(shè)，同理……10分所以即。故存在實(shí)數(shù)，使得?！?2分21．【解】：（I）由題意知,SKIPIF1<0在區(qū)間(1,2)上有不重復(fù)的零點(diǎn),由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0……3分令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),所以其值域?yàn)镾KIPIF1<0,從而SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0………5分（II）SKIPIF1<0,由題意知SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0①對(duì)SKIPIF1<0恒成立………7分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),①式顯然成立;………8分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),①式可化為SKIPIF1<0②,令SKIPIF1<0,則其圖象是開口向下的拋物線,所以SKIPIF1<0………9分即SKIPIF1<0,其等價(jià)于SKIPIF1<0③,因?yàn)棰墼赟KIPIF1<0時(shí)有解,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.從而SKIPIF1<0的最大值為SKIPI