量子力學(xué)課程第一章

量子力學(xué)課程學(xué)習(xí)量子力學(xué)課程的目的、意義學(xué)習(xí)量子力學(xué)課程的方法學(xué)習(xí)量子力學(xué)的參考書(shū)張懌慈《量子力學(xué)簡(jiǎn)明教程》高教出版社曾謹(jǐn)言：《量子力學(xué)》卷Ⅰ，科學(xué)出版社蘇汝鏗：《量子力學(xué)》，高等教育出版社顧萊納：《量子力學(xué)導(dǎo)論》，北京大學(xué)出版社P.A.M.Dirac,ThePrinciplesofQuantumMechanics,ClarendonPress,(1958).量子力學(xué)經(jīng)典著作，有中譯本。

第一章緒論

§1.1經(jīng)典物理學(xué)的困難

一、經(jīng)典物理學(xué)的成就（截至1900年）力學(xué)：1687年牛頓《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》1736年歐拉《力學(xué)》，引入慣量概念，推廣到剛體1738年伯努力《流體力學(xué)》，推廣到流體1788年拉格朗日，拉普拉斯《分析力學(xué)》，解析方法解力學(xué)問(wèn)題。只要給出系統(tǒng)受力情況和初始條件，列出方程，解方程后，可以描述以后系統(tǒng)的狀態(tài)

熱學(xué)：十九世紀(jì)中葉，開(kāi)爾文、克勞修斯、麥克斯韋、玻爾茲曼利用統(tǒng)計(jì)方法，把熱學(xué)中的宏觀物理量歸結(jié)為與之對(duì)應(yīng)的微觀分子或原子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)平均值。電磁學(xué)：1785年庫(kù)侖定律，點(diǎn)電荷間作用力的實(shí)驗(yàn)定律 法拉第、安培、焦耳、麥克斯韋等人

1864年得到麥克斯韋方程組：知道電荷（電場(chǎng)的源）電流分布（磁場(chǎng)的源），邊界條件，建立方程，解出電磁場(chǎng)二、經(jīng)典物理學(xué)的困難 十九世紀(jì)末、二十世紀(jì)初，當(dāng)物理學(xué)研究擴(kuò)展到高速和微觀領(lǐng)域時(shí)，經(jīng)典物理學(xué)遇到一系列的困難。為了克服這些困難，在高速領(lǐng)域（光速、接近光速）建立了相對(duì)論。在微觀領(lǐng)域建立了量子力學(xué)。

二十世紀(jì)初，微觀領(lǐng)域遇到的困難包括黑體輻射、光電效應(yīng)、康普頓效應(yīng)、氫原子光譜等。

§1.2光的波粒二象性一：光的波動(dòng)性光的波動(dòng)性：光的干涉和衍射（實(shí)驗(yàn)方面）光的電磁理論（理論方面）二：光的粒子性光的波動(dòng)性有大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)和光的電磁理論支持，二十世紀(jì)初所發(fā)現(xiàn)的黑體輻射、光電效應(yīng)等現(xiàn)象揭示把光看作波動(dòng)性的局限性。1：黑體輻射黑體：如果一個(gè)物體能全部吸收投射到它上面的輻射而無(wú)反射，這種物體就稱為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。圖：開(kāi)有小孔的空腔可以看成黑體對(duì)一個(gè)保持恒定溫度，完全封閉的空腔內(nèi)的輻射場(chǎng)，實(shí)驗(yàn)表明，輻射強(qiáng)度隨波長(zhǎng)（頻率）變化。黑體熱輻射的理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較M1900年瑞利，金斯用經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理求得瑞利－金斯公式一個(gè)振子的平均能量kT，頻率在之間輻射場(chǎng)中，單位體積內(nèi)頻率在之間的能量是此為瑞利－金斯公式。低頻（長(zhǎng)波）與實(shí)驗(yàn)。的振子數(shù)為符合，高頻與實(shí)驗(yàn)不符，用經(jīng)典物理進(jìn)行的計(jì)算和實(shí)驗(yàn)不符。另一位物理學(xué)家維恩，由熱力學(xué)導(dǎo)出維恩輻射公式其中T為平衡溫度，C1，C2為常數(shù)。這個(gè)公式與實(shí)驗(yàn)在高頻（短波）相符，低頻（長(zhǎng)波）不符。普朗克提出假設(shè)，從理論上推出普朗克輻射公式?？諌Ρ诘脑酉窬€性諧振子那樣向空腔內(nèi)電磁場(chǎng)發(fā)射電磁波，電磁波的頻率和振子的振動(dòng)頻率相同，單位體積內(nèi)振子能量為式中表示振子的平均能量（如果按能量均分定理令則會(huì)得到瑞利－金斯公式）。（1）

普朗克假設(shè)，每一個(gè)振子吸收和發(fā)射的能量（因此振子的能量只能是一些分立值，，···即(n=1,2,3…)0，焦耳·秒，為普朗克常數(shù)）都與頻率成正比由統(tǒng)計(jì)物理中求平均值公式設(shè)；配分函數(shù)

＝

＝利用公式上式＝

＝

＝即振子的平均能量代入（1）式（即代替瑞利－金斯公式中的kT）＝此公式給出的輻射能量與的函數(shù)關(guān)系，得到普朗克公式與實(shí)驗(yàn)相符。說(shuō)明：（1）：普朗克理論關(guān)鍵在于，假設(shè)振子的能量去只是分立的，即現(xiàn)在所說(shuō)的是量子化的。（2）：這是一個(gè)違背經(jīng)典物理的概念。量子化能量（分立能量值）假說(shuō)是對(duì)經(jīng)典物理的巨大突破，導(dǎo)致了量子力學(xué)的誕生。（3）：普朗克公式的推導(dǎo)過(guò)程并不完善二：光電效應(yīng)光電效應(yīng)：金屬受到光的照射，從表面逸出電子的現(xiàn)象叫光電效應(yīng)。逸出的電子叫光電子。實(shí)驗(yàn)表明：（1）對(duì)一定的金屬，只有當(dāng)照射光的頻率達(dá)到或超過(guò)一定的值（2）光電流強(qiáng)度（光電子密度）是由入射光的強(qiáng)度決定的，但是光電子的速度（動(dòng)能）卻是由入射光頻率決定的。（3）光電子的釋放是瞬時(shí)的。

經(jīng)典物理解釋不了上述問(wèn)題。

時(shí)，才會(huì)有光電子從金屬表面射出。1905年，愛(ài)因斯坦提出光量子假設(shè)：光束是一束光子流，對(duì)于頻率為的光，每個(gè)光子的

當(dāng)頻率為的光子射到金屬表面時(shí)，金屬中大于電子則光電子動(dòng)能能量為的電子吸收了光子的能量，如果擺脫金屬對(duì)它的約束所需的功W（逸出功），電子就能從金屬中逸出，設(shè)逸出功說(shuō)明：（1）電磁波是由一個(gè)一個(gè)的光子組成，光波有“粒子性”。

(2)對(duì)光子由相對(duì)論能量動(dòng)量關(guān)系式取靜質(zhì)量為零，得到設(shè)表示沿光傳播方向上的單位矢量令則式中則

§1.3原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論一、氫原子光譜實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)指出：氫原子光譜是頻率（波長(zhǎng)）分立的線光譜，而且原子在正常狀態(tài)下是穩(wěn)定的和不輻射的。

經(jīng)典理論無(wú)法解釋

圖：氫原子光譜1913年玻爾提出氫原子結(jié)構(gòu)模型，成功地解釋了氫原子光譜，玻爾理論以下面三個(gè)假設(shè)為基礎(chǔ)。原子系統(tǒng)只能有一系列不連續(xù)地能量狀態(tài)，在這些狀態(tài)中，電子雖然作加速運(yùn)動(dòng)但不輻射能量。這些狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)），相應(yīng)的能量是E1，E2，E3，┉

）二、玻爾的理論（（2）量子化條件――軌道半徑量子化在這些穩(wěn)定狀態(tài)軌道上運(yùn)動(dòng)的電子的角動(dòng)量必須滿足（3）當(dāng)原子從一個(gè)具有較大能量En的穩(wěn)定狀態(tài)躍遷到另一個(gè)較低能量Em的穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，原子發(fā)射單色光，其頻率由式由牛頓運(yùn)動(dòng)定律能量E是動(dòng)能和勢(shì)能之和聯(lián)立以上三式解出

將解出的En代入式中，稱為里德堡常數(shù)。由此式計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符三、玻爾理論意義

以上舊量子論是拼湊的，不完整的。二十世紀(jì)初，經(jīng)典理論和微觀現(xiàn)象之間矛盾充分暴露，人們迫切希望找到一種能統(tǒng)一地解釋微觀世界，本身又是協(xié)調(diào)的新理論，舊量子論中那些有意義的假設(shè)，啟發(fā)人們，在它們之中一定有微觀世界的重要規(guī)律，量子力學(xué)就是在這樣的歷史背景中建立發(fā)展的。

量子力學(xué)是1923－1927年間建立的兩個(gè)等價(jià)的理論，波動(dòng)力學(xué)和矩陣力學(xué)幾乎是同時(shí)提出的薛定諤――波動(dòng)力學(xué)：從德布羅意物質(zhì)波出發(fā)，導(dǎo)出量子體系的波動(dòng)方程，薛定諤方程，從而建立波動(dòng)力學(xué)。

海森堡――矩陣力學(xué)：認(rèn)為實(shí)際上沒(méi)有任何實(shí)驗(yàn)證實(shí)電子有絕對(duì)精確軌道，電子軌道是虛構(gòu)的，物理理論建立在可觀測(cè)量基礎(chǔ)上，從原子輻射頻率及強(qiáng)度出發(fā)，借助于玻爾的經(jīng)典理論和量子理論之間的對(duì)應(yīng)原理，建立矩陣力學(xué)。

可以證明，矩陣力學(xué)、波動(dòng)力學(xué)是等價(jià)的，是一種力學(xué)規(guī)律的兩種不同表述，本課程主要講述波動(dòng)力學(xué)。量子力學(xué)的作用，在近代物理，如激光、半導(dǎo)體、核物理得到驗(yàn)證及廣泛應(yīng)用?！?.4微粒的波粒二象性：德布羅意假設(shè)

1924年德布羅意提出假設(shè)：微觀粒子也有波動(dòng)性，粒子的能量E和動(dòng)量P與波的頻率和波長(zhǎng)之間的關(guān)系為此式稱為德布羅意關(guān)系。這種與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波稱為物質(zhì)波，又稱德布羅意波。

光子和實(shí)物粒子的關(guān)系式的比較對(duì)光子由相對(duì)論能量動(dòng)量關(guān)系式取靜質(zhì)量為零，得到所以光子的能量和動(dòng)量是

從光子的能量和動(dòng)量去求波長(zhǎng)和頻率只要其中一個(gè)關(guān)系式而對(duì)一個(gè)靜止質(zhì)量。不為零的粒子，要求出它的波長(zhǎng)和頻率，需要兩個(gè)獨(dú)立的式子

實(shí)物粒子既然有波動(dòng)性，為何長(zhǎng)期把它看成經(jīng)典粒子，卻沒(méi)犯什么錯(cuò)誤，對(duì)照光的波粒二象性。

光照到小孔上:，針孔成像，無(wú)波動(dòng)性。

德布羅意認(rèn)為，物質(zhì)粒子的波動(dòng)性與光相似，h很小，實(shí)物粒子波長(zhǎng)很短，一般宏觀條件下，波動(dòng)性不表現(xiàn)出來(lái)，用經(jīng)典力學(xué)處理是恰當(dāng)?shù)?。?dāng)孔徑a≈波長(zhǎng)，圓孔衍射花樣，光有波動(dòng)性。當(dāng)孔徑a遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)

例1：計(jì)算一個(gè)電子和一個(gè)乒乓球的德布羅意波長(zhǎng)，已知電子的加速電壓為10伏，乒乓球的質(zhì)量為10克，速率為5米/秒。解：對(duì)于電子德布羅意波長(zhǎng)對(duì)乒乓球說(shuō)明：宏觀物體的德布羅意波長(zhǎng)是很短的，同宏觀物體本身的大小相比，這種不可能表現(xiàn)出來(lái)。--用經(jīng)典力學(xué)2.微觀粒子（如原子中的電子），其德布羅意波長(zhǎng)和環(huán)境處于同樣的數(shù)量級(jí)物質(zhì)粒子波動(dòng)性明顯表現(xiàn)出來(lái)，經(jīng)典力學(xué)無(wú)效。處理原子中粒子的運(yùn)動(dòng)――用量子力學(xué)

二：德布羅意假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證如果觀察到實(shí)物粒子的衍射和干涉現(xiàn)象，就證明了粒子的波動(dòng)性。

1927年，戴維遜和革末實(shí)驗(yàn)證明電子在Ni單晶上反射后產(chǎn)生衍射。當(dāng)條件d是