第三章空間力系

2023年2月3日理論力學(xué)3.空間力系3.1空間匯交力系第三章

空間力系3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩3.3空間力偶3.5空間任意力系的平衡方程3.6重心3.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

主矢和主矩

一、力在直角坐標(biāo)軸上的投影和力沿直角坐標(biāo)軸的分解3.1空間匯交力系（1）力在直角坐標(biāo)軸上的投影a、直接投影法已知力與直角坐標(biāo)軸正向的夾角為

則3.1空間匯交力系b、間接投影法（二次投影法）則如圖中已知角，注意：力在平面上的投影為矢量，

力在軸上的投影為代數(shù)量。

當(dāng)力F與坐標(biāo)軸x、y間的夾角不易確定時(shí)，先把力投影到x、y所在的平面，得力Fxy,再向x、y軸投影。

（2）力沿直角坐標(biāo)軸的分解如已知力F在軸系Oxyz的三個(gè)投影，則力F的大小和方向余弦為3.1空間力的分解及其投影由此可得合力的大小和方向余弦為二、空間匯交力系的合成與平衡空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。合力矢為或（1）合成3.1空間力的分解及其投影（2）平衡空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：要上式成立，必須同時(shí)滿足：空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系中所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。

該力系的合力等于零。

上式稱為空間匯交力系的平衡方程。3.1空間力的分解及其投影解：取起重桿AB與重物為研究對(duì)象解得例：已知;CE=EB=DE,θ=∠EBF=30o，物重P=10kN。如桿重不計(jì)，試求桿所受的壓力和繩子的拉力。3.1空間力的分解及其投影3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩一、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示上式為力對(duì)點(diǎn)的矩的矢積表達(dá)式。力矩矢不可任意挪動(dòng)，稱為定位矢量。

力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影二、力對(duì)軸的矩3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩正負(fù)號(hào)規(guī)定：從z

軸的正向看，若力使剛體繞軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，則取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)?；蛴糜沂致菪▌t判斷。力對(duì)于任一軸的矩，等于力在垂直該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面的交點(diǎn)的矩。力對(duì)軸的矩的單位：N·m。

3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩力對(duì)軸的矩，是力使剛體繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是個(gè)代數(shù)量。這兩種情況合起來說：當(dāng)力與軸在同一平面時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。力對(duì)軸的矩等于零的情況：（1）當(dāng)力與軸相交時(shí)（此時(shí)h=0）；（2）當(dāng)力與軸平行時(shí)（此時(shí)Fxy=0）。特例3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩（1）當(dāng)力與軸垂直且力臂好找時(shí)，用定義式求（±Fh）；（2）用合力矩定理：先把力正交分解（往往某一分力與軸平行或相交），則合力對(duì)該軸之矩等于各分力對(duì)該軸之矩的代數(shù)和。求力對(duì)軸之矩的方法3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩Fhz力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式：即同理可得其余二式。將此三式合寫為3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩三、力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)通過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系比較前面兩式，可得上式說明：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。如果已知力對(duì)通過點(diǎn)O的直角坐標(biāo)軸x，y，z的矩則可求得該力對(duì)點(diǎn)O的矩的大小和方向余弦為3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩例：傳動(dòng)軸上圓柱斜齒輪所受的嚙合力為F,齒輪壓力角為α,螺旋角為β,節(jié)圓半徑為r。求該力對(duì)于各坐標(biāo)軸的矩。力作用點(diǎn)的坐標(biāo)為代入公式，得3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩解：嚙合力F在坐標(biāo)軸上的投影為FxFzFy例已知：手柄ABCE在Axy面內(nèi)，F(xiàn)在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為θ，且求：把力分解如圖解：lla3.3空間力偶一、力偶矩以矢量表示，力偶矩矢

實(shí)際經(jīng)驗(yàn)告訴我們：力偶的作用面可以平行移動(dòng)，而不改變力偶對(duì)剛體的作用效果。空間力偶對(duì)剛體的作用效果取決于三個(gè)因素：（1）力偶矩的大??；（2）力偶作用面的方位；（3）力偶的轉(zhuǎn)向?！?.3空間力偶空間力偶的三個(gè)因素可以用一個(gè)矢量表示矢量的長(zhǎng)度表示力偶矩的大小，矢量的方位與力偶作用面的方位相同，矢量的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。力偶對(duì)剛體的作用完全由力偶矩矢所決定。力偶矩矢是自由矢量。二、空間力偶等效定理作用在同一剛體上的兩個(gè)空間力偶，如果其力偶矩矢相等，則它們彼此等效。3.3空間力偶這個(gè)矢量稱為力偶矩矢，記作M。即合力偶矩矢在x，y，z軸上投影等于各分力偶矩矢在相應(yīng)軸上投影的代數(shù)和。三、空間力偶系的合成與平衡（1）合成任意個(gè)空間分布的力偶可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即合力偶矩矢的解析表達(dá)式為其中3.3空間力偶

例：在工件上同時(shí)鉆五個(gè)孔，每個(gè)孔所受的力偶矩均為80N·m。求工件所受合力偶矩矢的投影Mx，My，Mz。并求合力偶矩矢的大小和方向余弦。3.3空間力偶

解：將作用在四個(gè)面上的力偶用力偶矩矢來表示，并將它們平行移到點(diǎn)A，得3.3空間力偶A合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦3.3空間力偶（2）平衡空間力偶平衡的必要和充分條件是：該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即欲使上式成立，必須同時(shí)滿足：上式為空間力偶系的平衡方程。空間力偶平衡的必要和充分條件是：該力偶系中所有各力偶矩矢在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零。3.3空間力偶Oxyz4.4空間力系的合成與平衡一、空間任意力系向一點(diǎn)的簡(jiǎn)化

Oxyz==原來的空間任意力系被空間匯交力系和空間力偶系等效替換。OxyzMO剛體上作用空間任意力系F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n。M1M

nM2F2F1FnF'nF'2F'1F'R空間匯交力系空間力偶系空間任意力系向任一點(diǎn)O簡(jiǎn)化,可得一力和一力偶,這個(gè)力的大小和方向等于該力系的主矢,作用線通過簡(jiǎn)化中心O;這個(gè)力偶的矩矢等于該力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩;主矢與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān),主矩一般與簡(jiǎn)化中心的位置有關(guān).一力（原力系的主矢）一力偶（原力系對(duì)點(diǎn)O的主矩）4.4空間力系的合成與平衡二、空間任意力系的簡(jiǎn)化結(jié)果分析

空間任意力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化可能出現(xiàn)四種情況，即1．空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力偶的情況

這時(shí)得一與原力系等效的合力偶，其合力偶矩矢等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。在這種情況下,主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無關(guān)。2．空間任意力系簡(jiǎn)化為一合力的情況這時(shí)得一與原力系等效的合力，合力的作用線通過簡(jiǎn)化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。（2）FR'≠0，MO=0，（4）FR'=0，MO=0，（1）FR'=0，MO≠0，（3）FR'≠0，MO≠0，主矢FR'=0，主矩MO≠0，

（1）主矢FR'≠0，主矩MO=0，4.4空間力系的合成與平衡得作用于點(diǎn)O'的一個(gè)力FR。此力即為原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，其作用線離簡(jiǎn)化中心O的距離為OOOO'O'dd==FRFR'FRMOFR'FR″（2）主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且FR'⊥MO

4.4空間力系的合成與平衡3．空間任意力系簡(jiǎn)化為力螺旋的情況

力螺旋：就是由一個(gè)力和一個(gè)力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。左螺旋右螺旋中心軸中心軸這就是力螺旋。（1）主矢FR'≠0，主矩MO≠0，且FR'∥MO，4.4空間力系的合成與平衡==可簡(jiǎn)化為一力螺旋，其中心軸不在簡(jiǎn)化中心O，而是通過另一點(diǎn)O'。O，O'兩點(diǎn)間的距離為4．空間任意力系平衡的情況（2）主矢FR'≠0，主矩MO≠0，兩者既不平行，也不垂直。主矢FR'=0，主矩MO=0，空間任意力系平衡的情況。4.4空間力系的合成與平衡一、空間任意力系的平衡方程

空間任意力系平衡的必要和充分條件：該力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。要上式成立，必需滿足：上式稱為空間任意力系的平衡方程。空間任意力系平衡的必要和充分條件：所有各力在三個(gè)坐標(biāo)軸中每一個(gè)軸上投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對(duì)于每一個(gè)坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零。4.4空間力系的合成與平衡上式稱為空間平行力系的平衡方程

空間平行力系4.4空間力系的合成與平衡二、空間約束的類型舉例4.4空間力系的合成與平衡4.4空間力系的合成與平衡4.4空間力系的合成與平衡三、空間力系平衡問題舉例例：圖示三輪小車，自重P=8kN，作用于點(diǎn)E，載荷P1=10kN，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時(shí)地面對(duì)車輪的約束力。解：取小車為研究對(duì)象4.4空間力系的合成與平衡

例：F2=2F1，F(xiàn)=2000N。D=400mm，R=300mm，θ=30o，β=60o，其它尺寸如圖。求膠帶拉力和軸承約束力。解：取整個(gè)軸為研究對(duì)象4.4空間力系的合成與平衡例：板重P=200N，求繩子的拉力和支座約束力。解：取板為研究對(duì)象abFAyFBzFBxFFAzFAxP4.4空間力系的合成與平衡

例：重P1=10000N的載貨小車借圖示的裝置沿斜面等速上升。已知鼓輪重P2=1000N，其直徑為d=24cm；杠桿臂長(zhǎng)l=1m。如鼓輪用止推軸承A和軸承B鉛垂地固定，求加在每根杠桿上的力F

的大小以及支座A和B的反力。4.4空間力系的合成與平衡解：先取小車為研究對(duì)象再取鼓輪為研究對(duì)象xP2xyzP1FT'FNFByFBxFTFFFFFAxFAyFAz4.4空間力系的合成與平衡例已知P，F(xiàn)，且F=2P。求各桿的內(nèi)力。

解：取板為研究對(duì)象4.4空間力系的合成與平衡43[例]曲桿ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,

CD=c,m2,m3

求：支座反力及m1=?4.4空間力系的合成與平衡44解：以曲桿ABCD為研究對(duì)象FDxFDyFDzFAyFAz3=AyamF

a0

3=×-AyFm0=?zM

2=AzamF02=×+-AzaFm0=?yM0=DxF=0?Fx4.4空間力系的合成與平衡45[例]已知：AB桿,AD,CB為繩,

A、C在同一垂線上，AB重80N，A、B光滑接觸，∠ABC=∠BCE=600,且AD水平，AC鉛直。求平衡時(shí)，TA，TB及支座A、B的反力。4.4空間力系的合成與平衡46解：以AB桿為研究對(duì)象TBFBFATA4.4空間力系的合成與平衡47TBFBFATA4.4空間力系的合成與平衡4.5重心和形心一、平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過的一個(gè)點(diǎn)。

由此可知，平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無關(guān)。稱該點(diǎn)位此平行力系的中心。設(shè)在剛體上A，B兩點(diǎn)作用兩個(gè)平行力F1，F(xiàn)2，將其合成。若將原有各力繞其作用點(diǎn)轉(zhuǎn)過同一角度，使它們保持相互平行，則合力FR仍與各力平行也繞點(diǎn)C

轉(zhuǎn)過相同的角度，且合力的作用點(diǎn)C

不變。由合力矩定理，得設(shè)力作用線方向的單位矢量為F0，則上式為從而得若有若干個(gè)力組成的平行力系，合力作用點(diǎn)：將上式在直角坐標(biāo)軸上投影，得4.5重心和形心二、重心地球半徑很大，地球表面物體的重力可以看成是平行力系，此平行力系的中心即物體的重心。重心有確定的位置，與物體在空間的位置無關(guān)。4.5重心和形心4.5重心和形心設(shè)物體由若干部分組成，其第i部分重Pi，重心（xi，yi，zi）則物體的重心為4.5重心和形心由合力矩定理得：則：如果物體是均質(zhì)的，則可得顯然，均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。三、確定物體重心的方法

1.簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心

如均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，則該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。

例：試求圖示半徑為R、圓心角為2j的扇形面積的重心。4.5重心和形心均質(zhì)物體的重心與形心（幾何中心）重合。解：取中心角的平分線為y軸。由于對(duì)稱關(guān)系，xC=0，現(xiàn)在只需求

yc。任意位置θ處微小面積：其重心的坐標(biāo)：扇形總面積：面積形心坐標(biāo)如以代入，即得半圓的重心4.5重心和形心三角形和半圓形的形心坐標(biāo)h/3bhCCyxR2.用組合法求重心（1）分割法若一個(gè)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個(gè)物體的重心即可用下式求出。（2）負(fù)面積法（負(fù)體積法）若在物體或薄板內(nèi)切去一部分（例如有空穴或孔的物體），則這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式來求得，只是切去部分的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。4.5重心和形心例：試求Ｚ形截面重心的位置，其尺寸如圖所示。解：取圖示坐標(biāo)，將該圖形分割為三個(gè)矩形。重心坐標(biāo)為4.5重心和形心例:偏心塊,已知:Ｒ＝100mm,r=17mm,b=13mm。求重心。

解：取圖示坐標(biāo)。將偏心塊看成由三部分組成。于是，偏心塊重心的坐標(biāo)為4.5重心和形心解：由對(duì)稱性A1=10×8=80，y1=4A2=π×R2/2=3.