第八章耦合電感和變壓器電路分析

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耦合電感和變壓器電路分析前幾章已學(xué)過的無源元件有：R、L、C。R：耗能、靜態(tài)、無記憶；L、C：儲能、動態(tài)、有記憶；它們都是二端元件。本章介紹兩種四端元件:1.耦合電感：具有電感的特性；2.理想變壓器：是靜態(tài)、無記憶,但不耗能。受控源也是四端元件，它與將要介紹的耦合電感均屬耦合元件。8－1耦合電感耦合電感：指多個線圈(這里先介紹兩個線圈)相互之間存在磁場的聯(lián)系。它是耦合線圈的理想化模型。復(fù)習(xí)：單個線圈(電感、或稱自感)的VCR：磁鏈=匝數(shù)乘磁通：自感=磁鏈比電流：若v、i方向關(guān)聯(lián)，由電磁感應(yīng)定律：設(shè)兩線圈的電壓和電流參考方向均各自關(guān)聯(lián)。由圖，磁通方向與電流方向符合右手法則。8-1-1.耦合電感的伏安關(guān)系其中表示線圈1電流在本線圈中產(chǎn)生的磁鏈，稱為自感磁鏈；類此有；表示線圈2的線圈電流在線圈1中產(chǎn)生的磁鏈，稱為互感磁鏈，類此有。圖中顯示自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致；若線圈2改變繞向，如下圖所示，則自磁鏈與互磁鏈參考方向?qū)⒉灰恢隆Ｒ虼耍┻^一線圈的總磁鏈有兩種可能，分別表示為：式中稱為自感系數(shù)，單位亨(利)H式中稱為互感系數(shù)，單位亨(利)H若線圈電流變化，則自磁鏈，互磁鏈也隨之變化。由電磁感應(yīng)定律，線圈兩端會產(chǎn)生感應(yīng)電壓，若電壓與電流采取關(guān)聯(lián)參考方向，則：耦合電感伏安關(guān)系(VCR)表達(dá)式：式中，為自感電壓，互感電壓，取正號或負(fù)號；可見，耦合電感是一種動態(tài)、有記憶的四端元件。(與電感有類似的特性)耦合電感的VCR中有三個參數(shù)：L1、L2和M。8－1－2.耦合電感的同名端耦合線圈自磁鏈和互磁鏈的參考方向是否一致，不僅與線圈電流的參考方向有關(guān)，還與線圈的繞向及相對位置有關(guān)，后者不便畫出，故引入同名端的概念。1.顧名思義,指繞法相同的一對端鈕；aba、b是同名端2.起的作用相同的一對端鈕；當(dāng)線圈電流同時流入(或流出)該對端鈕時，各線圈中產(chǎn)生的磁通方向一致的這對端鈕?；蛘哒f，(1)同名端就是當(dāng)電流分別流入線圈時，能使磁場加強(qiáng)的一對端鈕；(2)同名端就是當(dāng)電流分別流入線圈時，能使電壓增加的一對端鈕；(3)產(chǎn)生自感電壓與互感電壓極性相同的一對端鈕。同名端用標(biāo)志‘.’或‘*’等表示。注意：同名端不一定滿足遞推性，故當(dāng)多個線圈時有時必需兩兩標(biāo)出。在VCR中到底取正還是取負(fù)，要根據(jù)電流參考方向和同名端來確定：當(dāng)自磁鏈與互磁鏈的參考方向一致時取正號，不一致時取負(fù)號?；蛘哒f，根據(jù)同名端，電流在本線圈中產(chǎn)生的自感電壓與該電流在另一個線圈中產(chǎn)生的互感電壓極性是相同的。耦合電感的電路符號：VCR中互感電壓取+VCR中互感電壓取－(當(dāng)各線圈的電壓、電流方向關(guān)聯(lián)時只有這兩種可能。)+-+-Madbc**+-+-Madbc**在繞法無法知道的情況下，同名端的測定：(1)直流法正偏，a,c同名端反偏，a,d同名端根據(jù)其VCR，K+-+-abdcL1

L2M(2)交流法原圖電源改為正弦電源，開關(guān)移去，直流電壓表改為交流電壓表，bd端連接。根據(jù)其VCR的相量形式同樣能判定其同名端。根據(jù)同名端標(biāo)記，根據(jù)線圈電流和電壓的參考方向，就可以直接列寫耦合電感伏安關(guān)系。其+-

+vum2-abdcL1

L2M規(guī)則：法1：若耦合電感線圈電壓與電流的參考方向為關(guān)聯(lián)參考方向時，自感電壓前取正號，否則取負(fù)號；若耦合電感線圈的電壓正極性端與另一線圈的電流流入端為同名端時，則該線圈的互感電壓前取正號，否則取負(fù)號?；颍悍?：第一步：總認(rèn)為電壓、電流方向關(guān)聯(lián)(假設(shè)電壓或電流的參考方向)，這時，自感電壓總是正的,互感電壓總是同一符號；第二步：按要求(消去假設(shè)的變量)改變相應(yīng)互感電壓的符號。故電路模型也可以用受控源的形式表示：例1

列寫伏安關(guān)系式，電路模型如下圖。-+-+Madbc**M-+-+adbc當(dāng)兩線圈的電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)時，相應(yīng)耦合電感的電路模型為：+-+-Madbc+-+-Madbc耦合電感的相量(模型)形式為稱為自感阻抗稱為互感阻抗據(jù)此可畫出相應(yīng)的相量模型圖8-1-3耦合電感的儲能無源元件也可以用其VCR和上式代入下式來驗證8-2耦合電感的聯(lián)接及去耦等效聯(lián)接方式：串聯(lián)，并聯(lián)和三端聯(lián)接去耦等效：耦合電感用無耦合的等效電路去等效。8-2-1耦合電感的串聯(lián)順串：異名端相接。反串：同名端相接*L1

M*L2+u1-+u2-+

u-順串L1*M*L2+u1-+u2-+

u-反串在圖示參考方向下，耦合電感的伏安關(guān)系為：(下面推導(dǎo)中，順串取+，反串?。?*L1

M*L2+u1-+u2-+

u-順串+

u-串聯(lián)等效順串等效:反串等效:由耦合電感為儲能公式算術(shù)平均值得：8-2-2耦合電感的并聯(lián)同側(cè)并聯(lián):(順并)同名端兩兩相接。異側(cè)并聯(lián):(反并)異名端兩兩相接。M+u-*L2i2同側(cè)并聯(lián)*L1i1i+u-i圖示電壓，電流參考方向下，由耦合電感的伏安關(guān)系：M+u-L2*i2異側(cè)并聯(lián)*L1i1i+u-i幾何平均值定義：耦合系數(shù)k=1

全耦合,

緊耦合，k較小，松耦合，k=0無耦合。8-2-3耦合電感的三端聯(lián)接將耦合電感的兩個線圈各取一端聯(lián)接起來就成了耦合電感的三端聯(lián)接電路。(1)同名端相聯(lián);(2)異名端相聯(lián).M+u-*L2(1)同名端相聯(lián)*L1i1i1+

i2i2+-+-(2)異名端相聯(lián)M+u-L2

**L1i1i1+

i2i2+-+-例2

已知求:開關(guān)打開和閉合時的電流。+-**解：這種互感線圈常稱自耦變壓器。+-+-**開關(guān)打開時+-開關(guān)閉合時+-Leq=8+1.6=9.6H**

??621348°°6+314+38-3

??2°°6+3

+1-24+3

-1+28-3-1-2例：求等效電感Leq。解：兩兩去耦例：M**Mabcv1v2解：M**Mabcv1v2解：安培表讀數(shù)為零時，CD間開路電壓為零即例：已知也已知。求：在什么條件下，安培表讀數(shù)為零，標(biāo)出同名端。顯然上式只能取正號,即A,C為同名端，且C+-MDBA

求：uab解：先作出其向量模型，并去耦等效**bMa例ab對右網(wǎng)孔列寫網(wǎng)孔方程ab8-3空芯變壓器變壓器是利用耦合線圈間的磁耦合來傳輸能量或信號的器件。通常有兩個線圈。與電源相接的為初級(原邊)線圈，與負(fù)載相接的為次級(副邊)線圈。習(xí)慣上，線圈繞在鐵芯上，構(gòu)成鐵芯變壓器，芯子是非鐵磁材料，構(gòu)成空芯變壓器。鐵芯變壓器一般耦合系數(shù)接近1，屬緊耦合，用于輸配電設(shè)備，空芯變壓器耦合系數(shù)一般較小，屬松耦合，用于高頻電路和測量儀器。必須指出：空芯變壓器的分析是以互感的VCR作為基礎(chǔ)；鐵芯變壓器的分析是以理想變壓器作為基礎(chǔ)。是兩種不同的分析方法。沒有嚴(yán)格的限制，這兩種方法可以統(tǒng)一。正弦穩(wěn)態(tài)分析:初、次級線圈的電阻空芯變壓器電路向量模型用受控源表示互感電壓+-**+-+-+-兩回路的KVL方程為分別是初、次級回路的自阻抗。法2：初、次級等效電路法法1：列寫回路方程聯(lián)立求得從初級線圈兩端看入的等效阻抗(初級輸入阻抗)稱為次級回路對初級回路的反映阻抗或其中：引入阻抗，用Zf1表示。它反映了次級回路通過磁耦合對初級回路的影響。據(jù)此，可作為初級等效回路，很方便地求出初級回路電流。而次級回路的電流為若，相當(dāng)于次級未接，，即次級對初級無影響；若,當(dāng)k=1，線圈繞組近似為零時，初級等效電路反映阻抗特點：(1)與同名端無關(guān)；(2)反映阻抗改變了次級阻抗的性質(zhì)。本法:(1)先求輸入阻抗，(2)求初級電流(與同名端無關(guān))(4)求次級電流(與同名端有關(guān))可見，次級短路相當(dāng)于(近似于)初級短路。+-法3：空芯變壓器電路也可用去耦等效電路來分析。+-+-**MM+-**例8-3求次級回路電流解：作出相量模型(1)反映阻抗的概念+-**(2).去耦等效電路+-代入數(shù)據(jù)用克萊姆法則法4：戴維南等效電路當(dāng)需求負(fù)載可變化時獲得最大功率時常用此法。以下圖(原圖)為例:其中注意：這是次級開路時的初級電流，開路電壓與同名端有關(guān)。+-**。。8-4.理想變壓器和全耦合變壓器理想變壓器也是一種耦合元件。它是實際變壓器在理想條件下的電路模型。理想變壓器的電路符號如下圖，在如圖同名端、電壓和電流參考方向下，理想變壓器的伏安關(guān)系為：+-+-**n:1理想變壓器的唯一參數(shù)是變比(或匝比):n+有理想變壓器的伏安關(guān)系可以看出，理想變壓器已經(jīng)沒有電感或耦合電感的作用了，故理想變壓器的電路模型也可以畫出受控源的形式：-+-**n:1+-+-+－理想變壓器可以看成是耦合電感或空芯變壓器在理想條件下的極限情況:(1)耦合電感無損耗，即線圈是理想的；(2)耦合系數(shù)k=1，即是全耦合；

(3)自感系數(shù)L1和L2

均為無限大，但L1/L2等于常數(shù)，互感系數(shù)

也為無限大。由于同名端的不同，理想變壓器還有另一個電路模型，其伏安關(guān)系為當(dāng)線圈的電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)時只有這兩種情況，這兩種VCR僅差一個符號。-+-**n:1+下面先從符合前兩個理想化條件的全耦合變壓器著手推導(dǎo)理想變壓器的VCR：當(dāng)線圈的電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)時只有這兩種情況，由耦合線圈的VCR：8-4-1理想變壓器伏安關(guān)系推導(dǎo)這里僅討論第一種(相加的)情況。當(dāng)耦合系數(shù)k=1時：電流在本線圈中產(chǎn)生的磁通全部與另一個線圈相交鏈，即：若初、次級線圈的匝數(shù)分別為N1和N2，則兩線圈的總磁鏈分別為：式中，稱為主磁通，由電磁感應(yīng)定律，初、次級電壓分別為故得：由耦合電感VCR的第一式：從到t

積分，有得：由自感、互感的定義：得：得：**保持不變，即由于u1為有限值，當(dāng)滿足理想化的第三個條件，有類此，可以推導(dǎo)出同名端不同的另一種情況。由理想變壓器的伏安關(guān)系，可以得出：理想變壓器是一種無記憶元件，也稱即時元件。如代入上述伏安關(guān)系，理想變壓器的吸收功率為：可見：理想變壓器既不耗能，也不儲能。為了方便，習(xí)慣上把由于同名端不同而引起的兩種伏安關(guān)系合并成一種，且不帶負(fù)號。兩線圈的電壓(標(biāo)同名端處假設(shè)為正極)、電流(一側(cè)流入另一側(cè)流出)應(yīng)如下圖假設(shè)：-+-**n:1+-+-**n:1+-+-**n:1+-+-**n:1+8-4-2全耦合變壓器的電路模型實際鐵芯變壓器一般更易滿足前兩個條件，而不滿足第三個條件，那就是全耦合變壓器。兩線圈的電壓關(guān)系同理想變壓器，電流關(guān)系有**式，有可見，全耦合變壓器的初級電流有兩部分組成，其中

稱為激磁電流。其等效電路模型如圖所示。+-+**n:1-上圖中，稱為激磁電感。這也說明理想變壓器由于為無窮大(極限情況)，故不需要激磁電流，就可以在鐵芯中產(chǎn)生磁場。工程上為了近似獲得理想變壓器的特性，通常采用導(dǎo)磁率很高的磁性材料做變壓器的芯子。而在保持匝比不變得情況下，增加線圈的匝數(shù)，并盡量緊密耦合，使k接近于1。同時使非常非常大，認(rèn)為增大到無限大。8-5含理想變壓器電路的分析計算由于全耦合變壓器的等效電路中同樣含有理想變壓器，激磁電感(即初級電感)可以認(rèn)為是外接電感，故本節(jié)也包括了全耦合變壓器電路的分析計算。8-5-1理想變壓器的阻抗變換由理想變壓器的伏安關(guān)系可知，它除了可以以n倍的關(guān)系變換電壓、電流外，還可以有n2倍的關(guān)系變換阻抗。如：從初級看進(jìn)去的等效電阻為+-+-+-**RLn:1顯然，輸入電阻僅與匝比有關(guān)，與同名端無關(guān)。對于正弦穩(wěn)態(tài)電路，如果按照前面所規(guī)定的參考方向，理想變壓器伏安關(guān)系的相量形式為：+-+-**n:1+-+-**n:1若次級接負(fù)載阻抗，則從初級看進(jìn)去的等效阻抗為上述“搬移”阻抗的方法還可以進(jìn)一步推廣：1.并聯(lián)阻抗可以從次級搬移到初級；2.串聯(lián)阻抗可以從初級搬移到次級。阻抗可以從初級與次級之間來回搬移。+-+-**n:1adcbN+-+-**n:1adcbN1.并聯(lián)阻抗可以從次級搬移到初級；(a)

(b)由圖(a)：得圖(b)。上式中：2.串聯(lián)阻抗可以從初級搬移到次級。(a)

(b)由圖(a):得圖(b)。+-+-**n:1adcbN+-+-+-**n:1adcbN應(yīng)該指出：阻抗的n2倍與元件的n2倍是不一樣的。電阻和電感意義相同；而電容意義剛好相反:利用阻抗的來回搬移，能使問題簡化。例如：ac簡化為+-**n:1adcbN+-**n:1dbN電源也可以“搬移”。不過，電源搬移與同名端有關(guān)。ac*dbN+-*n:1dcN+-由理想變壓器的VCR，簡化成沒有變壓器的電路。理想變壓器還可由一個初級線圈與多個次級線圈構(gòu)成。在圖示電壓，電流參考方向下，有即：+-+-*+-**即即從初級看入的等效電導(dǎo)即,有多個次級線圈時，次級阻抗可以一個一個地搬移。其實，多個次級的理想變壓器電路，可以認(rèn)為初級是雙線(或多線)并繞，這樣就更易理解。-+-*+-*+*-+-*+-*+**利用上述結(jié)論可以巧妙的計算如下例題：已知＝1，求ab端的輸入阻抗。解：由KVL：+-+-2:1**4Fbac**2:12:1*ac4F等效電路如左圖，輸入阻抗為：例8-4.含理想變壓器電路如圖，試求和。解：將次級折合到初級**+-+-1:10由理想變壓器的伏安關(guān)系例8-5.在如圖所示電路中，已知內(nèi)阻，負(fù)載電阻，求n=?時，負(fù)載電阻與電源達(dá)到最大功率匹配？此時，負(fù)載獲得的最大功率為多少？解：將次級折合到初級，根據(jù)最大功率匹配條件有+-**+-n:1時，達(dá)到最大功率匹配。由于理想變壓器既不能耗能也不能儲能，故等效電路中吸收的功率就是原電路獲得的功率，**+-n:1例8-6要使負(fù)載獲得最大功率，求：解：將次級折合到初級，不可能達(dá)到共扼匹配。由于這時可變化的只是變比n，這就是“模匹配”的情況。+-一般地，理想變壓器內(nèi)阻，變換后的阻抗，當(dāng)僅負(fù)載阻抗的?？勺儠r，不可能達(dá)到共扼匹配，求負(fù)載獲得最大功率的條件：下面先證明：負(fù)載中電阻吸收的功率：要使P達(dá)到最大，必須這時，負(fù)載獲得最大功率。這種情況稱為“模匹配”。模匹配時負(fù)載中電阻吸收的功率一般比達(dá)到共扼匹配時的功率小。這時例8-7：求流過的電流I。.8-5-2含理想變壓器電路的一般分析方法列寫網(wǎng)絡(luò)方程和應(yīng)用戴維南定理是常用的方法。+-n:1+-+-**解：理想變壓器沒有接成初、次級的形式，故只能列寫網(wǎng)孔方程。按照前面的方法假設(shè)電壓、電流。網(wǎng)孔方程代入數(shù)據(jù)得例8-8求：A、B以左電路的戴維南等效電路。+-*+-+-+-+-****ABn2:1n1:1解：本題含有兩個理想變壓器，先搬移走第一個：**+-+-+-ABn2:1+-AB再搬移第二個：則電阻上沒有電流。解：運(yùn)用VCR：例8-9.+-+-3:1**例8-10.解：由VCR和KCL：1:2**解上兩式，得例8-11：電路初始狀態(tài)為零，t=0開關(guān)閉合，試求t>0時的電流i(t)解：由已知參數(shù)，此乃全耦合變壓器，其等效電路為：2H+-**i(t)其中，將理想變壓器次級搬移到初級，得等效電路，利用一階電路的三要素法求解。+-**n:1i(t)+-思考：若需求，應(yīng)如何求解？與是不是n倍的關(guān)系？

解：按圖所示假設(shè)電壓、電流。例8-12：求輸入阻抗。n:1*+-+-+-*法一：列方程法二:求輸