黃方程-宏觀極化

3-4.三維格波的振動(dòng)譜：

格波的色散關(guān)系，即q~ω關(guān)系稱晶格的振動(dòng)譜。可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量（中子非彈性性散射），也可以理論計(jì)算（固體理論).固體很多性質(zhì)與晶格振動(dòng)譜有關(guān)。

Si：q為矢量，總是固定q的方向作圖，q一般沿對(duì)稱軸方向，繞軸旋轉(zhuǎn)π/2，π，π/3是對(duì)稱操作。格波分為縱波和橫波。a.長(zhǎng)聲學(xué)波橫波和縱波有不同速度b.長(zhǎng)光學(xué)波縱波和橫波有相同的頻率Si

GaAs:橫波二重兼并長(zhǎng)光學(xué)波有不同的頻率，離子性結(jié)果，離子性越大，差別越大

只有聲學(xué)波，扭折為晶格與電子偶合結(jié)果GaAs3-5離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對(duì)地作振動(dòng)晶格中的聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動(dòng)——正負(fù)離子組成的晶體，長(zhǎng)光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化——波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波：長(zhǎng)光學(xué)波——波長(zhǎng)很長(zhǎng)的聲學(xué)波：長(zhǎng)聲學(xué)波

——聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)——光學(xué)波表示原胞中相鄰原子做反位相振動(dòng)波長(zhǎng)——原胞的線度§3.5離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波

光學(xué)波中，原胞中不同的原子相對(duì)地作振動(dòng)晶格中的聲學(xué)波中相鄰原子都沿同一方向振動(dòng)——對(duì)于正負(fù)離子組成的晶體，長(zhǎng)光學(xué)波使晶格出現(xiàn)宏觀極化——長(zhǎng)聲學(xué)波代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)——長(zhǎng)光學(xué)波表示原胞中相鄰原子做反位相振動(dòng)波長(zhǎng)——原胞的線度01/121.長(zhǎng)光學(xué)波的宏觀方程

——考慮兩種正負(fù)離子組成的復(fù)式格子因此長(zhǎng)光學(xué)波稱為極化波——半波長(zhǎng)內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負(fù)離子組成的布喇菲原胞反向位移

——使晶體中出現(xiàn)宏觀的極化原胞中的兩個(gè)正負(fù)離子質(zhì)量?jī)蓚€(gè)正負(fù)離子偏離的位移選取描述長(zhǎng)光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀量黃昆方程——宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度——原胞體積由動(dòng)力學(xué)系數(shù)的對(duì)稱性：——正負(fù)離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移產(chǎn)生的極化和宏觀電場(chǎng)產(chǎn)生的附加極化——離子相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程恒定電場(chǎng)下1)靜電場(chǎng)（）下晶體的介電極化

和比較因?yàn)?)高頻電場(chǎng)下晶體的介電極化

電場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率在長(zhǎng)光學(xué)波下有——橫長(zhǎng)光學(xué)波的頻率——晶體中存在長(zhǎng)光學(xué)縱波(LO)和長(zhǎng)光學(xué)橫波(TO)——長(zhǎng)光學(xué)縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長(zhǎng)光學(xué)縱波伴隨有宏觀的極化電場(chǎng)，極化聲子_______縱光學(xué)聲子——長(zhǎng)光學(xué)橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場(chǎng)，電磁聲子(TO)，長(zhǎng)光學(xué)橫波具有電磁性，可以和光場(chǎng)發(fā)生耦合

四、離子晶體的光學(xué)性質(zhì)

正負(fù)離子的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生的電偶極矩可以和電磁波相互作用，引起在遠(yuǎn)紅外區(qū)域的強(qiáng)烈吸收。因此在用唯象方程討論這種光吸收現(xiàn)象時(shí)，應(yīng)在方程中引入表達(dá)能量損耗的耗散項(xiàng)。代入唯象方程得到：

考慮

形式解代入方程得到：即：（1）吸收功率正比于介電函數(shù)的虛部。（3）橫電磁波激勵(lì)橫光學(xué)格波。

將前面求得的

代入并和

比較可以得

到：

，其中介電函數(shù)的實(shí)部和虛部分別為：

（2）在

處出現(xiàn)一個(gè)吸收峰，峰的半高寬度為

五、極化激元

前面的討論僅考慮了庫(kù)侖力的作用，實(shí)際上振動(dòng)的偶極子會(huì)產(chǎn)生交變的電磁場(chǎng)，因此嚴(yán)格求解應(yīng)該是利用麥克斯韋方程組和唯象方程。研究對(duì)象即為晶格的長(zhǎng)光學(xué)振動(dòng)和電磁場(chǎng)相耦合的系統(tǒng)?？紤]時(shí)諧場(chǎng)即；

，代入并整理可以得到：

（1）縱波：

，可以得到

（2）橫波：

，可以得到：

最后可以得到：

討論：以上結(jié)果是考慮了格波與電磁波的耦合得到的新的耦合波模式。

這是低頻電磁波（低于晶格振動(dòng)頻率）；即晶體中的縱光學(xué)波，是純的振動(dòng)模式。

（1）當(dāng)

時(shí)

（4）在

是禁止區(qū)，電磁波不能在晶體中傳播。

，這是高頻電磁波。

，也是純的格波模式；

（2）當(dāng)

時(shí)

（3）在

和

與

和

相交的區(qū)域附近，耦合很強(qiáng)，出現(xiàn)的是電磁波與格波的混合模式。

兩種正負(fù)離子組成的復(fù)式格子_立方晶體長(zhǎng)光學(xué)波—極化波半波長(zhǎng)內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負(fù)離子組成的布喇菲原胞反向位移晶體中出現(xiàn)宏觀的極化1.宏觀方程的建立-黃方程考慮兩種不同離子(正負(fù)離子)的雙離子晶體晶體，以立方晶體為例。每個(gè)原胞包含一對(duì)正負(fù)離子：質(zhì)量分別用M+和M-

位移矢量：原胞體積為Ω黃先生選擇了用作為描述長(zhǎng)光學(xué)波運(yùn)動(dòng)的宏觀參量，定義：

其中：為約化質(zhì)量，建立了宏觀方程：分別是宏觀極化強(qiáng)度和宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度。第一個(gè)是折合質(zhì)量位移的運(yùn)動(dòng)方程第二個(gè)表示由于長(zhǎng)光學(xué)波伴隨著離子晶體的極化，晶體出現(xiàn)宏觀極化強(qiáng)度這是黃1951年研究光學(xué)波的長(zhǎng)波近似時(shí)首先引進(jìn)的,稱黃方程優(yōu)點(diǎn)：用宏觀內(nèi)場(chǎng)代替了對(duì)離子間長(zhǎng)程庫(kù)侖力的求和，使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化

只要知道了黃方程中的4個(gè)系數(shù)，并利用與之間的電磁學(xué)關(guān)系，就可以求出長(zhǎng)光學(xué)波的頻率。上述4個(gè)系數(shù)不是獨(dú)立的.可以證明：

上述唯象方程中的系數(shù)可通過(guò)實(shí)驗(yàn)確定為把唯象方程系數(shù)b12,b11,b22與晶體可測(cè)宏觀參量—介電常數(shù)聯(lián)系起來(lái)1）靜電場(chǎng)正負(fù)離子的位移恒定，

代入（2）得：

靜電學(xué)中：

其中ε0為真空電容率，ε(0)為靜態(tài)介電常數(shù)。則：（2）高頻電場(chǎng)情形下的介電極化電場(chǎng)的頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率,晶格跟不上電場(chǎng)的變化，則：

其中為高頻介電常數(shù)。得2.宏觀方程的求解：長(zhǎng)光學(xué)波的橫波頻率ωTO和縱波頻率ωLO考慮帶電離子的晶格振動(dòng)時(shí)，必須考慮它們之間的電磁相互作用，一般只限于它們之間的庫(kù)侖作用。對(duì)于長(zhǎng)光學(xué)波，可以用以上的唯象方法求解晶格振動(dòng)。在宏觀理論中，將靜電方程與唯象方程的介電極化結(jié)合起來(lái),就相當(dāng)于考慮了電荷之間的庫(kù)侖作用.

各向同性介質(zhì)中長(zhǎng)光學(xué)波橫波與縱波的振動(dòng)在長(zhǎng)波限下,離子晶體可看作連續(xù)介質(zhì),振動(dòng)模分為橫波T和縱波L

橫波：縱波：顯然：電場(chǎng)滿足靜電方程：對(duì)黃方程取旋：對(duì)方程取散：對(duì)方程取散：

則：

從LST關(guān)系可以得到一些重要結(jié)果：ωLO>ωTO從LST關(guān)系可以得到一些重要結(jié)果：（1）ωLO>ωTO

ε是電子極化和離子極化兩者的貢獻(xiàn)。ε(0)是兩者的貢獻(xiàn)，高頻下離子的貢獻(xiàn)可以忽略，則:ωLO>ωTO

物理機(jī)理：a縱向極化：正負(fù)離子晶格相對(duì)運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生極化電場(chǎng),增大了晶格振動(dòng)的恢復(fù)力，使ωLO增大。

b.橫向極化：電場(chǎng)不增加恢復(fù)力

ωLO>ωTO

+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+++--++----++--++++--++----++--++E(2).對(duì)非離子晶體,不存在極化電場(chǎng)

ωLO=ωTO(3).由于ωLO的增大是極化電場(chǎng)的作用,電場(chǎng)的作用力與有效電荷q有關(guān),q越大,力越大,ωLO與ωTO的差別越大.

用（ω2LO-ω2TO）可以估算有效電荷的量。

(4).對(duì)某些介電晶體，溫度T降低,ωTO減小,由于

ωLO>ωTO，在某些溫度，ωTO0。由于：表明晶體出現(xiàn)了自發(fā)極化，晶體變?yōu)殍F電相。解釋鐵電相的產(chǎn)生時(shí)，人們用了LST關(guān)系。

ωTO0，表示離子偏離自己的平衡位置后,不再受倒恢復(fù)力,于是晶格過(guò)渡到新組態(tài),發(fā)生了相變—稱軟模相變。(軟彈簧)

3.*長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng)的原子理論

唯象模型、唯象方程討論了離子晶體長(zhǎng)光學(xué)波的振動(dòng),從一般的原子理論角度也可以得到唯象方程.

離子晶體的極化有兩個(gè)方面的貢獻(xiàn):(a)原胞中正、負(fù)離子的相對(duì)位移，有電偶極矩：

q*表示有效電荷。由于是長(zhǎng)光學(xué)波，在很大范圍內(nèi)u+,u-分別看成是相同的。宏觀極化強(qiáng)度：

Ω原胞體積。

(b)正負(fù)離子本身在外電場(chǎng)作用下也會(huì)發(fā)生極化變化(電場(chǎng)影響電子軌道,使電子云發(fā)生畸變).極化電偶極矩正比與電場(chǎng):

α+，α-表示正負(fù)離子的極化率，表示作用在它上的有效電場(chǎng)，長(zhǎng)波時(shí)，相應(yīng)的宏觀極化強(qiáng)度:總的極化強(qiáng)度：

固體中一個(gè)原子(離子)極化時(shí)，不僅要考慮外界電場(chǎng),還要考慮其它離子所產(chǎn)生的電場(chǎng)，有效電場(chǎng)不等于宏觀電場(chǎng)對(duì)各向同性介質(zhì)（立方體），圍繞一個(gè)原子半徑為R的球體，球內(nèi)離子產(chǎn)生的電場(chǎng)恰好抵消，球外可看作連續(xù)介質(zhì)，球表面各處的極化強(qiáng)度P相等，球面面電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)為：

表示宏觀電場(chǎng)強(qiáng)度，稱退極化場(chǎng)。將代入得則：黃方程為：比較:

同樣，先分別寫(xiě)出正負(fù)離子的運(yùn)動(dòng)方程：

K是正負(fù)離子間的彈性恢復(fù)力系數(shù)，兩式分別乘以M-,M+相減得：將代入：黃方程：

比較得：這樣就建立黃方程?？闯鳇S方程的簡(jiǎn)捷。4.離子晶體的光學(xué)性質(zhì)：

離子晶體的長(zhǎng)光學(xué)波對(duì)材料光學(xué)性質(zhì)起重要作用。不同離子相互作用，產(chǎn)生電偶極矩，可以與電磁波相互作用。電磁波只與波數(shù)相同的格波作用（動(dòng)量守恒），如果具有相同的頻率就可以發(fā)生共振。光波的色散關(guān)系：

ω=c0q

圖中ω=c0q與ω+(q)的交點(diǎn)o，相當(dāng)于共振情況。彈性波波速ω~q斜率相差很大。與光波共振的格波一定是q0的格波。實(shí)際晶體的長(zhǎng)光頻譜ω+(0)在1013~1014/s，為遠(yuǎn)紅外區(qū).離子晶體對(duì)遠(yuǎn)紅外光有強(qiáng)烈的吸收和反射。ω=c0qo

用唯象方法來(lái)討論這一現(xiàn)象。在唯象方程中引入耗散項(xiàng)，方程為：右邊第一項(xiàng)是彈性恢復(fù)力,第二項(xiàng)是電場(chǎng)力,第三項(xiàng)是討論吸收時(shí)引入的耗散項(xiàng)。相當(dāng)于討論晶格的受迫振動(dòng)，γ是一正值系數(shù)。取復(fù)數(shù)形式的解：

代入方程得：則：結(jié)果代入黃方程得：將帶入，并利用：得到介電常數(shù)可以分為實(shí)部和虛部：iγω為晶格振動(dòng)貢獻(xiàn)在介質(zhì)中，極化強(qiáng)度的定義：即單位體積的電偶極矩。極化強(qiáng)度的變化：反映電荷位移的變化。為電流元。

極化強(qiáng)度隨時(shí)間的變化為電流密度，則：將代入，得：在吸收介質(zhì)中電流j分為兩部分：一部分與電場(chǎng)位相差90o,另一項(xiàng)與電場(chǎng)同相位。前者稱極化電流，后者稱位移電流。

極化電流與位移電流位相差90o,在一個(gè)周期中電場(chǎng)做的功為0，因而不消耗電磁場(chǎng)能量。傳導(dǎo)電流與電場(chǎng)同相位,具有的形式，所以要消耗電磁場(chǎng)的能量。復(fù)介電常數(shù)在介質(zhì)中產(chǎn)生的電流一部分與電場(chǎng)同相位，造成對(duì)電磁場(chǎng)能量的損耗，而電磁場(chǎng)能量的損耗正是介質(zhì)所吸收的能量，與吸收功率之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，這正是用復(fù)介電常數(shù)可以描述光吸收的實(shí)質(zhì)所在。實(shí)際中γ很小在附近有一個(gè)突出的峰值，表明能量消耗主要集中在附近，稱共振吸收。

這是由于橫波的光波激勵(lì)了橫光學(xué)波（TO）格波所致。復(fù)介電常數(shù)與復(fù)折射率的關(guān)系：則：

反射系數(shù)：可以證明，如果一種固體強(qiáng)烈吸收某一光譜范圍的光，它就能夠有效反射同一光譜范圍的光（沒(méi)有吸收，也沒(méi)反射）。許多離子晶體在紅外區(qū)對(duì)光有強(qiáng)烈的選擇吸收和反射，該現(xiàn)象被人們用來(lái)產(chǎn)生單色的長(zhǎng)紅外線。5.極化激元（極化聲子）在離子晶體或極性半導(dǎo)體中，橫光學(xué)波具有電磁性當(dāng)電磁波入射倒晶體表面時(shí)，電磁波與橫光學(xué)波發(fā)生偶合，這種偶合的量子稱極化激元。它的色散關(guān)系不同于光（電磁場(chǎng)），也不同于格波。但電磁波可以與各種電磁性的元激發(fā)相互作用：類等離子體極化激元，類激子極化激元，類聲子極化激元，類表面聲子極化激元等。上面討論了離子晶體的晶格振動(dòng)引起介質(zhì)的極化，格波是介質(zhì)里的極化波，當(dāng)光照射晶體時(shí)，光波的橫向電場(chǎng)必然與橫光學(xué)波的格波偶合。正如同在力學(xué)中振動(dòng)一樣，兩個(gè)相互偶合振子的振動(dòng)狀態(tài)與單個(gè)振子的不一樣，偶合波的性質(zhì)也與原來(lái)波的不一樣。前面討論中認(rèn)為,電場(chǎng)只是庫(kù)侖作用引起的,限定實(shí)際離子晶體長(zhǎng)波伴隨著交變電磁場(chǎng)，特別是橫波.嚴(yán)格的理論應(yīng)用麥克斯韋方程代替靜電方程用偶合波的概念來(lái)考察晶體中格波與光波作用是1951年黃先生提出的概念。后來(lái)證明不僅格波，離子振蕩，激子，自旋波等都有類似的現(xiàn)象，通稱極化激元。把電磁方程和晶格的唯象方程結(jié)合以后，實(shí)際研究的對(duì)象成為晶格的長(zhǎng)光學(xué)波振動(dòng)和電磁場(chǎng)相偶合系統(tǒng)，通過(guò)求解得到的振動(dòng)模實(shí)際上代表了格波與光波的偶合振動(dòng)模?？梢詫?xiě)出光波的麥克斯韋方程組和晶格的唯象方程：

解的形式：將解代入方程：將代入得：

分兩種情況：（1）縱波

得到（2）橫波

由得：相互垂直

則：由得：

聯(lián)立得：利用，并代入b11，b12，b22得：得到關(guān)于極化激元得兩支解，從中可以得到兩支色散關(guān)系。（1）當(dāng)時(shí)這時(shí)對(duì)根號(hào)項(xiàng)近似得：近似為低頻電磁波。（2）當(dāng)q很大時(shí)，一般：顯然，這兩支色散曲線不同于光子的色散曲線，也不同于晶格橫光學(xué)波的色散曲線，主要有以下特點(diǎn):q而兩支解在之間存在一禁區(qū)，不存在這個(gè)頻率之間的解，這種頻段的光在晶體中不能傳播(b)當(dāng)時(shí)的一支就是介質(zhì)中速度為的電磁波(光波),這個(gè)頻率低于晶體振動(dòng)頻率；而的解就趨于頻率為的LO聲子，頻率就是縱光學(xué)波的頻率。這時(shí)光聲偶合弱，是純光模，是純聲模。(c)q很大時(shí),為無(wú)偶合的純晶格振動(dòng)模，而為速度為的電磁波。是純聲模，是純光模q（d）在q的中間區(qū)域，光—聲偶合強(qiáng)，這是既不是光子，也不是聲子，而是光—聲偶合振動(dòng)模。這種情況與彈簧連起來(lái)的兩個(gè)諧振子系統(tǒng)很相似。雖然兩個(gè)振子在無(wú)偶合時(shí)各有自己的頻率，但當(dāng)彈簧偶合后，它們不再獨(dú)立振動(dòng)，共同頻率既不是又不是而是兩者的偶合頻率。３-6確定振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法

晶格振動(dòng)的ω～q關(guān)系，稱格波的色散關(guān)系，也稱晶格振動(dòng)譜。原則上聲子對(duì)X-ray、光子和中子的散射可以通過(guò)入射波的非彈性散射反映，測(cè)量散射束可以得到聲子信息。x-ray能量104eV,聲子能量～0.01eV,散射后的能量變化忽略.中子能量0.02～0.03eV，與聲子能量同數(shù)量級(jí)，其得布洛依波長(zhǎng)２~3?，與晶格常數(shù)同數(shù)量級(jí)，是研究晶格振動(dòng)譜得有力手段。光散射只能測(cè)量少數(shù)振動(dòng)模。１.實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)中子入射到晶體上時(shí)，格波的振動(dòng)可以引起對(duì)中子的非彈性散射。當(dāng)波矢，頻率為ω的格波散射中子時(shí)，引起:

中子動(dòng)量的改變?yōu)椋耗芰康母淖儯悍菑椥陨⑸淇梢钥醋鳌奥曌印钡奈蘸桶l(fā)射，+,-就表示聲子的吸收和發(fā)射。

按照德布洛依關(guān)系，可看作與晶格振動(dòng)相聯(lián)系的動(dòng)量，常稱“準(zhǔn)動(dòng)量”（不代表真實(shí)動(dòng)量,只是作用類似于動(dòng)量）?？傊凶优c晶格相互作用滿足能量和動(dòng)量守恒。

設(shè)中子的質(zhì)量為Mn，入射的動(dòng)量為P，出射時(shí)的動(dòng)量P’，則

3.實(shí)驗(yàn)裝置及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

經(jīng)典的中子散射譜儀的結(jié)構(gòu)如圖。中子源出射的中子經(jīng)單色器(單晶Bragg散射)后，動(dòng)量為能量為，入射到樣品上，散射后出射中子動(dòng)量為P’,則用動(dòng)量和能量守恒關(guān)系得到聲子的色散關(guān)系.

該工作始于20世紀(jì)

50年代初，當(dāng)時(shí)中子源流量為:109~1012/cm.s,

直到80年代，中子源流量達(dá)到~1014/cm.s,

這種方法才普遍應(yīng)用。單色器中子源準(zhǔn)直器樣品探測(cè)器分析器

4.聲子對(duì)光子的非彈性散射

光子入射到晶體中時(shí)，受晶格散射，有兩種過(guò)程：

Stocks和反Stocks過(guò)程

光與聲子的相互作用同樣滿足動(dòng)量守恒和能量守恒?？梢?jiàn)光的波矢在~105cm-1的量級(jí)，所得得晶格振動(dòng)譜只能測(cè)長(zhǎng)波限的很小一部分的聲子。光與聲學(xué)聲子的散射稱布里淵區(qū)散射。光與光學(xué)聲子的散射稱Raman散射。光散射與中子散射相比，其可測(cè)量范圍太小，但Raman散射常用來(lái)研究介質(zhì)與光相互作用的聲子的信息，從而獲得材料的信息。入射光子ω1出射光子ω1-ω聲子q(ω)入射光子ω2聲子q(ω)出射光子ω2+q(ω)3-7局域振動(dòng)理想晶體尺寸趨于無(wú)窮大，其本征振動(dòng)模是一系列格波，每一個(gè)格波描述晶體中所有原子集體運(yùn)動(dòng)，因此格波振動(dòng)模廣延于整個(gè)晶體中，當(dāng)晶體存在一些雜質(zhì)和缺陷時(shí)，晶體偏離完整晶體，這時(shí)雜質(zhì)或缺陷附近引起局域的振動(dòng)。

顯然，局域振動(dòng)局限于雜質(zhì)或缺陷附近，隨著離開(kāi)雜質(zhì)距離的增加而迅速衰減。局域振動(dòng)分析很復(fù)雜，只作定性討論。

上上世紀(jì)末，瑞利研究聲學(xué)時(shí)，研究過(guò)類似的問(wèn)題：如果在一個(gè)彈簧聯(lián)結(jié)起來(lái)的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中，把質(zhì)量為M的粒子換成一個(gè)質(zhì)量為M+δM的粒子，這時(shí)系統(tǒng)的簡(jiǎn)正振動(dòng)頻率會(huì)發(fā)生什么變化？

Rayleigh結(jié)論:（1）如果δM<0，每個(gè)簡(jiǎn)正頻率都提高一些，特殊的是在帶頂頻率超出了Δv，當(dāng)系統(tǒng)中總粒子數(shù)很大時(shí)，Δv與粒子數(shù)N無(wú)關(guān)，隨(δM)2變化，與這種振動(dòng)相對(duì)應(yīng)的是一種局域模。

(2）如果如果δM>0，每個(gè)簡(jiǎn)正頻率降低，局域模出現(xiàn)在帶內(nèi)

Rayleigh得到：