信號與線性系統(tǒng)第8講

信號與線性系統(tǒng)第8講教材位置:第4章連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分解

§4.1－§4.4，§4.8內(nèi)容概要:信號通過線性系統(tǒng)的頻域分析方法，理想低通濾波器的響應分析，因果系統(tǒng)的判斷準則，信號經(jīng)過系統(tǒng)不失真的條件開講前言-前講回顧傅里葉變換的性質(zhì)線性性時延性頻移性比例性奇偶性對稱性微分性質(zhì)積分性質(zhì)卷積性質(zhì)2/3/20232信號與線性系統(tǒng)－第8講開講前言－前章回顧連續(xù)信號的正交分解周期信號分解為傅里葉級數(shù)，得到信號頻譜概念非周期信號分解為傅里葉級數(shù)，引出傅里葉變換傅里葉變換擴展到周期信號的變換傅里葉變換的運算性質(zhì)基于上述學習的小結(jié)對于信號的分析，經(jīng)過傅里葉變換的處理，已經(jīng)更深入掌握了信號的頻域特性接下來就要討論采用頻域分析方法，對信號經(jīng)過線性系統(tǒng)的情況進行分析2/3/20233信號與線性系統(tǒng)－第8講開講前言－本講導入本章學習思路首先了解系統(tǒng)的頻域表示方法，頻域表示中激勵、響應與系統(tǒng)之間的關(guān)系如何表達學會頻域分析方法學會建立系統(tǒng)函數(shù)的頻域表達式，掌握給定激勵，通過頻域分析求解響應的方法通過頻域分析對線性系統(tǒng)的幾個關(guān)鍵物理概念進行分析系統(tǒng)的頻率選擇性分析，理想低通濾波器系統(tǒng)符合因果關(guān)系的判斷準則系統(tǒng)沒有頻率選擇性，無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件2/3/20234信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.1引言頻域分析同樣建立在系統(tǒng)的線性特性基礎(chǔ)上齊次性和疊加性時域?qū)⑿盘柗纸鉃闆_激響應，頻域?qū)⑿盘柗纸鉃檎液瘮?shù)。系統(tǒng)對正弦信號的分析已經(jīng)積累很多方法復數(shù)運算與相量運算零狀態(tài)響應仍然可以通過疊加方式求取頻域分析的問題傅里葉積分的正反兩次計算比較復雜現(xiàn)實中許多信號不能滿足絕對可積這些問題的解決在復頻域求解-拉普拉斯變換里介紹頻域分析的優(yōu)勢物理概念明確分析方法可被借鑒到后續(xù)復頻域分析方法中對于無法建模取得系統(tǒng)函數(shù)的情況，經(jīng)過測量也能得到頻域的系統(tǒng)函數(shù)，系統(tǒng)觀察性強2/3/20235信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.2信號通過系統(tǒng)的頻域分析方法1、頻域分析方法步驟（1）激勵信號分解，求信號頻譜函數(shù)。

e(t)(t)到E(j)（2）找出系統(tǒng)函數(shù)H(j)。（3）求響應的頻譜函數(shù)R(j)=E(j)H(j)。（4）從R(j)求傅氏反變換得到時域中的零狀態(tài)響應r(t)。例：求圖中以uR(t)為輸出的H(j)。(a)時域電路(b)頻域電路U(j)I(j)jLRUR(j)L+-u(t)i(t)RuR(t)+-解:(1)作頻域的等效電路。

(2)穩(wěn)態(tài)分析相量法求H(j)。2/3/20236信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.2信號通過系統(tǒng)的頻域分析方法2、例：求圖中以i2(t)為輸出時的H(j)。i(t)I(j)

LjLRi2(t)I2(j)解：I(j)I2(j)H(j)=討論：H(j)的物理意義。h(t)H(j)e(t)=(t)r(t)=h(t)E(j)=1

R(j)=H(j)

FT反FT沖激響應h(t)的頻譜函數(shù)H(j)就是系統(tǒng)函數(shù)2/3/20237信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.2信號通過系統(tǒng)的頻域分析方法即H(j)=F[h(t)]=或h(t)H(j)系統(tǒng)函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)而與外加激勵無關(guān)。例：求圖中以UC(t)為輸出時的H(j)。++--u(t)U(j)RC1jCuC(t)UC(j)

解法一：用相量法求解。（1）作頻域等效電路。（2）用穩(wěn)態(tài)分析相量法求H(j)。

UC(j)U(j)H(j)=2/3/20238信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.2信號通過系統(tǒng)的頻域分析方法解法二：由h(t)求H(j)。

(t)作用于RC電路的零狀態(tài)響應為故H(j)=F[h(t)]=2/3/20239信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.3理想低通濾波器的階躍響應1、理想低通濾波器定義矩形幅度－截至頻率ωc線性相移－延時t02、表達式與頻譜圖H()t00|H(j)|Hc-c02/3/202310信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.3理想低通濾波器的階躍響應3、階躍響應激勵形式激勵信號頻譜響應頻譜時域響應2/3/202311信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.3理想低通濾波器的階躍響應令y=(t-t0),則=d=yt-t0，t-t01dy當=c

時，y=c(t-t0)，=0時y=02/3/202312信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.3理想低通濾波器的階躍響應式中稱為正弦積分2/3/202313信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.3理想低通濾波器的階躍響應0Si(x)4-/2/22-01Sa(y)yx(a)(b)00U(t)Ettu(t)HE10.5ABtbtAt0(c)(d)可見，響應與激勵不同：（1）響應比激勵滯后t0。(2)輸出電壓的前沿是傾斜的。2/3/202314信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.3理想低通濾波器的階躍響應以0(A點)到1(B點）為計算建立時間的標準，則在A點，有u(tA)=0，可得到：查正弦積分表，有：同理，在B點，有u(tB)=HE可得到：結(jié)論：理想低通濾波器階躍響應上升時間tr

與系統(tǒng)截止頻率wc(即網(wǎng)絡通頻帶寬度)成反比。2/3/202315信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.4佩利－維納準則1、因果性在時域的表現(xiàn)響應必須出現(xiàn)在激勵之后。即一個物理可實現(xiàn)網(wǎng)絡的沖激響應h(t)在t<0時必須為零。理想低通濾波器不是因果系統(tǒng),系統(tǒng)響應在t<0不為零2、因果性在頻域的表示（佩利－維納準則）系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)的幅值|H(j)|必須是平方絕對可積，即：且有2/3/202316信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.4佩利－維納準則3、佩利－維納準則說明物理可實現(xiàn)系統(tǒng)允許|H(j)|特性在某些不連續(xù)點上為零，但不允許在一個有限頻帶內(nèi)為零。物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的系統(tǒng)頻響衰減速度應不大于指數(shù)衰減速率。佩利-----維納準則是系統(tǒng)物理可實現(xiàn)的必要條件，而不是充分條件。上述積分不收斂，所以對于因果系統(tǒng)按指數(shù)速率或比指數(shù)速率衰減更快的頻響是不允許的2/3/202317信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.4佩利－維納準則4、可實現(xiàn)的典型濾波器－最平坦濾波器=/c

為歸一化的頻率值；

Bn

為根據(jù)通帶邊界衰減量的要求所確定的常數(shù)。一般通帶邊界處(=1)的衰減量常取為3分貝;此時Bn=1；n為正整數(shù),稱為濾波器的階數(shù)。N越大,越理想,系統(tǒng)越復雜.系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的“最平坦”的含義。令Bn=1，則有|H(j)|2=11+Bn2nn=1n=3n=510.501|H(j)|22/3/202318信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.4佩利－維納準則“最平坦”的含義。令Bn=1，則有運用二項式定理將上式展開為冪級數(shù)，則通帶內(nèi)它與|Hi(j)|=1的差即為誤差函數(shù)容易看出，在=0時，誤差函數(shù)及其前（2n-1）階導數(shù)均為零，這表示|H(j)|在=0點附近一段范圍內(nèi)“最平直”，也即濾波器在通帶內(nèi)幅頻特性能夠最好地逼近“理想平坦”。|H(j)|2=11+2n|H(j)|=2/3/202319信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.5信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生失真的條件失真包括幅度失真和相位失真；設(shè)激勵信號為e(t)，響應為r(t)，在時域中無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是r(t)=Ke(t–t0),式中K是一常數(shù)，t0為滯后時間。e(t)e(t)r(t)r(t)h(t)tt00頻域無失真?zhèn)鬏攲(j)的要求：設(shè)e(t)對應E(j)，r(t)對應R(j)由延時特性，可得

r(t)=Ke(t–t0)的傅氏變換式為

R(j)=KE(j)e–jt0

由于R(j)=H(j)E(j)比較上面兩式，有H(j)=Ke

–jt0

=|H(j)|式中|H(j)|=K，H()=

t0，其幅度相位頻譜圖如后頁圖2/3/202320信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.5信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生失真的條件關(guān)于相位特性的分析設(shè)激勵信號e(t)由基波與二次諧波組成，表示式為|H(j)|K00H()響應為了使基波與二次諧波得到相同的延遲時間應有H1H2=2=t0=常數(shù)因此2/3/202321信號與線性系統(tǒng)－第8講§4.5信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生失真的條件結(jié)論：為了使信號傳輸時不產(chǎn)生相位失真，信號通過系統(tǒng)時諧波的相移必須與其頻率成正比，相頻特性應該是一條經(jīng)過原點的直線即H（)=t0t0即為相位特性的斜率，信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真的理想條件：系統(tǒng)的幅頻特性在整個頻率范圍內(nèi)為一常數(shù)。系統(tǒng)的相頻特性是經(jīng)過原點的直線。t0=dH（）d2/3/202322信號與線性系統(tǒng)－第8講本講小結(jié)信號通過線性系統(tǒng)的頻域分析信號變換-建立系統(tǒng)函數(shù)-頻域響應-時域響應系統(tǒng)函數(shù)建立:相量法、沖激響應變換法理想低通濾波器階躍響應響應建立時間與通頻帶成反比因果系統(tǒng)的條件系統(tǒng)函數(shù)不能在有限頻帶為0衰減速度限制在指數(shù)衰減內(nèi)線性不失真系統(tǒng)幅頻特性：常數(shù)相頻特性：過原點直線2/3/202323信號與線性系統(tǒng)－第8講課堂練習已知描述系統(tǒng)的微分方程y’’(t)+3y’(t)+2y(t)=x’(t)+5x(t)求系統(tǒng)函數(shù)H(jω)【解答】直接利用傅立葉變換的微分性質(zhì)寫出結(jié)果先求得系統(tǒng)的沖激響應h(t)，然后傅立葉變換得結(jié)果h(t)＝(4e-t-3e-2t)u(t)設(shè)x(t)=ejωt

(-∞<