數(shù)學(xué)期望與方差()

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念

二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

四、應(yīng)用實(shí)例一、數(shù)學(xué)期望的概念1.問(wèn)題的提出

1654年,一個(gè)名叫梅累的騎士就“兩個(gè)賭徒約定賭若干局,且誰(shuí)先贏c局便算贏家,若在一賭徒勝a局(a<c),另一賭徒勝b局(b<c)時(shí)便終止賭博,問(wèn)應(yīng)如何分賭本”為題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問(wèn)題,于1654年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念—數(shù)學(xué)期望

A、B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局、B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?引例1分賭本問(wèn)題(產(chǎn)生背景)A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過(guò)的三局(A勝2局、B勝1局)與上述結(jié)果相結(jié)合,即A、B賭完五局:AAAB

BABBA勝B勝分析假設(shè)繼續(xù)賭兩局,則結(jié)果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負(fù)A勝B負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)A勝B負(fù)B勝A負(fù)B勝A負(fù)因此,A能“期望”得到的數(shù)目應(yīng)為而B(niǎo)能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A、B最終獲勝的可能性大小之比為3:1.即A應(yīng)獲得賭金的而B(niǎo)只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:

設(shè)某教練員有甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員,現(xiàn)需要選拔其中的一名參加運(yùn)動(dòng)會(huì),根據(jù)過(guò)去的記錄顯示,二人的技術(shù)水平如下:

乙射手

甲射手試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好?引例2選拔運(yùn)動(dòng)員解運(yùn)動(dòng)員的水平是通過(guò)其平均水平來(lái)衡量的,故甲射手的技術(shù)比較好.因而甲、乙兩射手的平均水平分別為甲射手乙射手引例3

加權(quán)平均成績(jī)?yōu)樵撋鏖T(mén)課程的算術(shù)平均成績(jī).

設(shè)某學(xué)生四年大學(xué)各門(mén)功課成績(jī)分別為其學(xué)分分別為,則稱(chēng)

顯然算術(shù)平均成績(jī)是加權(quán)平均成績(jī)的一種而為該生的加權(quán)平均成績(jī).,可見(jiàn)加權(quán)平均才充分的體現(xiàn)了特例,即平均值的意義.通過(guò)上述3個(gè)引例,我們可以給出如下定義2.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望若級(jí)數(shù),則稱(chēng)絕對(duì)收斂,即級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,記為EX,即定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量

X的分布律為注1o

EX是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱(chēng)均值.注2o

級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變,之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改變.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p二項(xiàng)分布,例1(二項(xiàng)分布)設(shè)隨機(jī)變量X~Bn,p,求EX.解則有3.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望其分布律為同時(shí)可得兩點(diǎn)分布B1,p的數(shù)學(xué)期望為p.

np解則有例2(泊松分布)因而泊松分布P的數(shù)學(xué)期望為.設(shè)X

,且其分布律為設(shè)隨機(jī)變量XP(),求EX.解這是因?yàn)槔?(幾何分布)

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為則有設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布,求E(X).常見(jiàn)離散型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)4.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義定義3.2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度為則稱(chēng)積分的值為隨機(jī)變量X的即數(shù)學(xué)期望,px,記為EX,即例4(均勻分布)解則有5.常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布,因而均勻分布數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點(diǎn).求E(X).則有解例5

(正態(tài)分布)設(shè)隨機(jī)變量

,求EX.設(shè)

,其分布密度函數(shù)所以令因而參數(shù)為正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望.例6(指數(shù)分布)求EX.解解例7(伽瑪分布)當(dāng)1時(shí),X服從指數(shù)分布Exp,這時(shí)

設(shè)隨機(jī)變量X

,則密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X,求EX.常見(jiàn)連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望小結(jié)(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩解電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布.例1(1)求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。年的概率為多少？二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望(一)一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問(wèn)題的提出XE(X)數(shù)學(xué)期望f是連續(xù)函數(shù),f(X)是隨機(jī)變量,如:aX+b,X2等等.f(X)數(shù)學(xué)期望如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?方法1

(定義法):

f(X)是隨機(jī)變量,按照數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算Ef(X).2.一維隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算關(guān)鍵:由X的分布求出f(X)的分布.見(jiàn)2.3節(jié)的相關(guān)內(nèi)容難點(diǎn):一般f(X)形式比較復(fù)雜的,很難求出其分布.方法2(公式法):定理3.1

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,Yf(X),則

當(dāng)X為離散型時(shí),P(Xxk)pk,(k

1,2,…);當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),X的密度函數(shù)為p(x).求E[f(X)]時(shí),只需知道X的分布即可.

對(duì)于二維隨機(jī)變量而言,其函數(shù)的數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法可以由類(lèi)似于定理3.1得到.

1.二維離散型情形(二)二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X,Y為二維離散型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元函數(shù),如果EZ存在,其中X,Y的聯(lián)合概率分布為pij

.2.二維連續(xù)型情形設(shè)X,Y為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,ZfX,Y為二元連續(xù)函數(shù),如果EZ存在,則其中X,Y的聯(lián)合概率密度為px,y.例

10設(shè)X,Y的分布律為解

X的分布律為求EX,EY,因?yàn)?X,Y)的分布律為Y的分布律為Y/X的分布律為計(jì)算可得5.例11設(shè)XN(0,1),YN(0,1),X

與Y相互獨(dú)立,解(作極坐標(biāo)變換)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)3.1

設(shè)C是常數(shù),則有ECC.證性質(zhì)3.2

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證性質(zhì)3.3

設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量,則有證推廣性質(zhì)3.4

設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有注

連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望與離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)類(lèi)似.上述證明只證了一類(lèi).證例12解旅客有9個(gè)車(chē)站可以下車(chē).到達(dá)一個(gè)車(chē)站,如沒(méi)有旅客下車(chē)就不停車(chē),以X表示停車(chē)的次數(shù),求EX(設(shè)每位旅客在各個(gè)車(chē)站下車(chē)是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車(chē)相互獨(dú)立).引入隨機(jī)變量Xi,一民航送客車(chē)載有25位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,解例13且X,Y,Z相互獨(dú)立,求隨機(jī)變量W2X+3Y4Z1

的數(shù)學(xué)期望.設(shè)隨機(jī)變量X~N0,1,Y~U0,1,

Z~B5,0.5,四、應(yīng)用實(shí)例廠家的銷(xiāo)售策略按規(guī)定:出售的設(shè)備在售出的一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換.若出售一臺(tái)設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元.求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利Y的數(shù)學(xué)期望.解依題設(shè),有某設(shè)備壽命X(以年計(jì))服從的指數(shù)分布.壽命不超過(guò)1年的概率＝出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)調(diào)換的概率壽命超過(guò)1年的概率＝不需調(diào)換的概率因此出售一臺(tái)設(shè)備凈贏利Y的分布律為.發(fā)行彩票的創(chuàng)收利潤(rùn)

某一彩票中心發(fā)行彩票10萬(wàn)張,每張2元.設(shè)頭等獎(jiǎng)1個(gè),獎(jiǎng)金1萬(wàn)元,二等獎(jiǎng)2個(gè),獎(jiǎng)金各5千元;三等獎(jiǎng)10個(gè),獎(jiǎng)金各1千元;四等獎(jiǎng)100個(gè),獎(jiǎng)金各1百元;五等獎(jiǎng)1000個(gè),獎(jiǎng)金各10元.每張彩票的成本費(fèi)為0.3元,請(qǐng)計(jì)算彩票發(fā)行單位的創(chuàng)收利潤(rùn).解設(shè)每張彩票中獎(jiǎng)的數(shù)額為隨機(jī)變量X,則每張彩票平均能得到獎(jiǎng)金因此彩票發(fā)行單位發(fā)行10萬(wàn)張彩票的創(chuàng)收利潤(rùn)為0.5(元).每張彩票平均可賺20.50.31.2(元).如何確定投資決策方向?

某人現(xiàn)有10萬(wàn)元現(xiàn)金,想投資于某項(xiàng)目,為期