數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)與研究

唐山市第五批骨干教培訓(xùn)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究米山國藏，日本著名數(shù)學(xué)教育家,學(xué)者.著有《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》?！皩W(xué)生們在初中或高中學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在進(jìn)入社會后，若沒有什么機(jī)會應(yīng)用，這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后一兩年就忘掉了，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于頭腦的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期地在他們生活和工作中發(fā)揮著作用?！眱?nèi)容一.何謂數(shù)學(xué)思想方法二.中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法三.幾類常用的數(shù)學(xué)思想方法介紹

1.演繹法或公理化方法

2.類比法

3.歸納法與數(shù)學(xué)歸納法

4.數(shù)學(xué)構(gòu)造法

5.化歸法

6.數(shù)學(xué)模型方法四.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則五.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

數(shù)學(xué)思想的含義現(xiàn)代漢語中，思想解釋為客觀存在反映在人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果．《辭?！贩Q思想為理性認(rèn)識．《中國大百科全書》認(rèn)為，思想是相對于感性認(rèn)識的理性認(rèn)識結(jié)果．可見，思想是認(rèn)識的高級階段，是事物本質(zhì)的、抽象的、概括的認(rèn)識．由此推演，數(shù)學(xué)思想應(yīng)是數(shù)學(xué)中的理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)中高度抽象、概括的內(nèi)容，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對數(shù)學(xué)的認(rèn)識過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它既蘊(yùn)藏于數(shù)學(xué)知識內(nèi)容之中，是數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，又隱含于運(yùn)用數(shù)學(xué)理論分析、處理和解決問題的過程之中．?dāng)?shù)學(xué)思想既可以“泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成果”，如微積分思想、概率統(tǒng)計(jì)思想等，又包括對數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特征、數(shù)學(xué)內(nèi)部各分支各體系之間對立統(tǒng)一關(guān)系、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系及地位作用的認(rèn)識，如常量與變量之間的辯證關(guān)系的認(rèn)識等．

數(shù)學(xué)方法的含義

方法是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式，具有程序性、規(guī)則性、可操作性、模式性、指向性等特征．方法因問題而生，因能解決問題而存．?dāng)?shù)學(xué)方法是指在數(shù)學(xué)地提出問題、研究問題和解決問題（包括數(shù)學(xué)內(nèi)部問題和實(shí)際問題）的過程中，所采用的各種手段或途徑．其中包括變換數(shù)學(xué)形式。數(shù)學(xué)方法的層次第一層次是基本和重大的數(shù)學(xué)思想方法，如模型化方法、微積分方法、概率統(tǒng)計(jì)方法、拓?fù)浞椒?、?jì)算方法等；第二層次是與一般科學(xué)方法相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，如類比聯(lián)想、分析綜合、歸納演繹等；第三層次是數(shù)學(xué)中的特有方法，如數(shù)學(xué)表示、數(shù)學(xué)等價(jià)、數(shù)形轉(zhuǎn)換等；第四層次是中學(xué)數(shù)學(xué)中的解題方法和技巧．?dāng)?shù)學(xué)方法分為宏觀的和微觀的宏觀的數(shù)學(xué)方法包括：模型方法，變換方法，對稱方法，無窮小方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)方法，實(shí)驗(yàn)方法．微觀的且在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的基本數(shù)學(xué)方法大致可以分為以下三類：

(1)邏輯學(xué)中的方法．例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等．這些方法既要遵從邏輯學(xué)中的基本規(guī)律和法則，又因運(yùn)用于數(shù)學(xué)之中而具有數(shù)學(xué)的特色．

(2)數(shù)學(xué)中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標(biāo)法．代數(shù)中常稱圖象法等．這些方法極為重要，應(yīng)用也很廣泛．

(3)數(shù)學(xué)中的特殊方法．例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法(含有添加輔助元素實(shí)現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)、因式分解諸方法以及平行移動法、翻折法等．這些方法在解決某些數(shù)學(xué)問題時起著重要作用，不可等閑視數(shù)學(xué)思想與方法的關(guān)系數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性；數(shù)學(xué)思想是內(nèi)隱的，而數(shù)學(xué)方法是外顯的；數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)方法更深刻、更抽象地反映數(shù)學(xué)對象間的內(nèi)在關(guān)系，是數(shù)學(xué)方法的進(jìn)一步的概括和升華；如果把數(shù)學(xué)思想看作建筑的一張藍(lán)圖，那么數(shù)學(xué)方法就相當(dāng)于建筑施工的手段數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法又具有相對性．同一個數(shù)學(xué)成就，當(dāng)人們用于解決問題時，注重它的操作意義時，可能稱之為方法；當(dāng)人們評價(jià)其在數(shù)學(xué)體系中的價(jià)值和意義時，可能稱之為數(shù)學(xué)思想方法．一.何謂數(shù)學(xué)思想方法☆數(shù)學(xué)思想---對數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容和所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識，它是從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識過程中提煉和概括，而在后繼的認(rèn)識活動中被反復(fù)證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識?！?/p>

數(shù)學(xué)方法---以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運(yùn)算與分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法?！疃哧P(guān)系---數(shù)學(xué)思想直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動。數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想具體化的反映。簡言之，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)行為，數(shù)學(xué)思想對數(shù)學(xué)方法起指導(dǎo)作用?！魯?shù)學(xué)方法具有三個基本特征：（1）高度的抽象性和概括性；（2）精確性，即邏輯的嚴(yán)密性及結(jié)論的確定性；（3）應(yīng)用的普遍性和可操作性?！魯?shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：（1）提供簡潔精確的形式化語言；（2）提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法；（3）提供邏輯推理的工具。數(shù)學(xué)思想方法的教育意義

數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想，整個數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來的（例如，數(shù)學(xué)公理體系的思想，集合論思想等等）．……數(shù)學(xué)的各種方法是數(shù)學(xué)最重要的部分．

——弗利德曼無論對于科學(xué)的工作者、技術(shù)人員，還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)知識只是第二位的．

——米山國藏讀一段文字，有一個段落大意，讀一篇課文，有一個中心思想，同樣，一門學(xué)科也有一個大意和中心思想，如解析幾何的中心思想，這種思想在意義上如同課文的中心思想，是建立在這門學(xué)科內(nèi)容之上的，蘊(yùn)涵在內(nèi)容之中，經(jīng)人們由內(nèi)容精練概括出來的，而高于內(nèi)容的東西．?dāng)?shù)學(xué)思想的一個層面就是這種思想．

數(shù)學(xué)研究的基本方法◆數(shù)學(xué)抽象方法◆數(shù)學(xué)模型方法◆數(shù)學(xué)研究活動的一般方法

數(shù)學(xué)中的邏輯方法◆數(shù)學(xué)定義方法◆邏輯劃分方法◆數(shù)學(xué)公理化方法數(shù)學(xué)解題的思維方法◆數(shù)學(xué)推理方法（演繹法、歸納法、類比法）◆分析法與綜合法◆數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法◆數(shù)形結(jié)合方法◆關(guān)系影射反演原則（換元法、初等變換方法）

二.中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)證明的重要方法◆反證法與同一法◆數(shù)學(xué)歸納法中學(xué)數(shù)學(xué)中幾種常用的具體方法◆待定系數(shù)法◆配方法◆基本量法◆遞推法有人這樣給數(shù)學(xué)思想方法分類：1.操作性思想方法例如：換元法、配方法、待定系數(shù)法、割補(bǔ)法、構(gòu)造法等；2.邏輯性思想方法例如：抽象、概括、分析、綜合、演繹等；3.策略性思想方法例如：方程與函數(shù)、化歸、猜想、數(shù)形結(jié)合、整體與系統(tǒng)等。事實(shí)上，數(shù)學(xué)思想方法是有層次的。操作性思想方法、邏輯性思想方法、策略性思想方法，從思維的角度上看，層次是逐漸上升的。三.幾類常用的數(shù)學(xué)思想方法介紹1.演繹法或公理化方法（邏輯思維方法）☆演繹法是由一般到特殊的推理，它在邏輯上的依據(jù)是三段論?！钛堇[法的重要性：1）數(shù)學(xué)理論都是用演繹推理組織起來的；2）它能超越技術(shù)與儀器的限制?！钛堇[法的基本構(gòu)件：定義（概念）、公理和定理?！罟砘椒ǖ睦樱簹W幾里德《幾何原本》，希爾伯特《幾何學(xué)基礎(chǔ)》柯爾莫哥洛夫《概率論基礎(chǔ)》ZFC《公理化集合論》2.類比法（數(shù)學(xué)創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的方法）☆類比是一種相似，即類比的對象在某些部分或關(guān)系上相似。☆三個層次：描述、說理、數(shù)學(xué)上的類比?！顢?shù)學(xué)上的類比：兩個系統(tǒng)，如果它們各自的部分之間，可以清楚地定義一些關(guān)系，在這些關(guān)系上，它們具有共性，那么，這兩個系統(tǒng)就可以類比?！锢樱?）線段、三角形、四面體2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式3）同態(tài)與同構(gòu)4）多項(xiàng)式理論與整數(shù)理論的類比整數(shù)＋、－

、×帶余除法算術(shù)基本定理多項(xiàng)式＋、－

、×帶余除法代數(shù)基本定理3.歸納法（邏輯學(xué)中的方法）與數(shù)學(xué)歸納法（數(shù)學(xué)中的一般方法）☆歸納就是從特殊的、具體的認(rèn)識推進(jìn)到一般的認(rèn)識的一種思維方法。歸納法是實(shí)驗(yàn)科學(xué)最基本的方法。歸納法的特點(diǎn)：1）立足于觀察和實(shí)驗(yàn)；2）結(jié)論具有猜測的性質(zhì)；3）結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容。歸納法用于猜測和推斷。例子：1)Fermat數(shù)(1640年，F(xiàn)n=22n+1,Fermat素?cái)?shù)：3，5，17，257，65537)；

2)Goldbach猜想（1742年）。

☆數(shù)學(xué)歸納法：P(n)是一個含有自然數(shù)n的命題，如果（1）P(n)

當(dāng)n=1時成立；（2）若P(k)成立的假定下，則P(k+1)也成立。那么P(n)對任意自然數(shù)n都成立。這兩個步驟，（1）稱為歸納起點(diǎn)，（2）稱為歸納推斷。

數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，其應(yīng)用范圍及其廣泛。數(shù)學(xué)歸納法用于證明。例子：證明數(shù)列單調(diào)增加有上界。，，。4．?dāng)?shù)學(xué)構(gòu)造法（基本數(shù)學(xué)方法）☆數(shù)學(xué)構(gòu)造法---數(shù)學(xué)中的概念或方法按固定的方式經(jīng)有限步驟能夠定義或?qū)崿F(xiàn)的方法。☆應(yīng)用---構(gòu)造概念、圖形、公式、算法、方程、函數(shù)、反例、命題等?！顦?gòu)造法在數(shù)學(xué)中的地位不僅古老，而且重要?！罾?）求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根。2）求兩個正整數(shù)最大公因數(shù)的歐幾里德輾轉(zhuǎn)相除法。3）勾股定理（畢氏定理）。宋刻本《周髀算經(jīng)》，（上海圖書館藏）第24屆“國際數(shù)學(xué)家大會”會標(biāo)5.化歸法（基本數(shù)學(xué)方法）（1)特殊化與一般化，2)關(guān)系映射反演方法）☆化歸原則是指把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解答的一種手段和方法?！钇溥^程就是將一個問題由繁化簡，由難化易，由復(fù)雜化簡單，由未知化已知?！罨瘹w有三個要素：化歸的對象，化歸的目標(biāo)，化歸的手段?！钍褂酶鞣N化歸方法時一般應(yīng)遵循下面幾個原則：a)熟悉化原則b)簡單化原則c)和諧化原則☆實(shí)行化歸的常用方法有：特殊化與一般，關(guān)系映射反演（RMI），分解與組合…1）特殊化與一般化☆依據(jù)（1）若命題P在一般條件下為真，則在特殊條件下P也為真；（2）若命題P在特殊條件下為假，則在一般條件下P也為假?！钐厥饣椒?--在研究一個給定集合的性質(zhì)時，先研究某些個體或子集的性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)每個個體都具有的特性后，再猜想給定集合的性質(zhì)，最后用嚴(yán)格的邏輯推理論證猜測的正確性；☆一般化方法---在研究一個給定集合的性質(zhì)時，先研究包含該集合的較大集合的性質(zhì)，從中發(fā)現(xiàn)較大集合所具有的性質(zhì)，再根據(jù)特殊化與一般化的依據(jù)（1）推出所要證明的命題。2）關(guān)系映射反演（RMI）方法基本思想：當(dāng)處理某問題甲有困難時，可以聯(lián)想適當(dāng)?shù)挠成?，把問題甲及其關(guān)系結(jié)構(gòu)R，映成與它有一一對應(yīng)關(guān)系，且易于考察的問題乙，在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)中問題乙處理完畢后，再把所得到的結(jié)果，通過映射反演到R，求得問題甲的結(jié)果。問題甲問題乙問題甲的解問題乙的解映射σ映射σ-1☆RMI方法是一種矛盾轉(zhuǎn)化的方法，它可以化繁為簡，化難為易，化生為熟，化未知為已知，因而是數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的一種方法，數(shù)學(xué)中許多方法都屬于RMI方法，例如，分割法、函數(shù)法、坐標(biāo)法、換元法、復(fù)數(shù)法、向量法、參數(shù)法等。☆RMI方法不僅是數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛的方法，而且可以拓展到人文社會科學(xué)中去。例如，哲學(xué)家處理現(xiàn)實(shí)問題的思想方法，就可以看作RMI方法的拓展（客觀物質(zhì)世界---哲學(xué)家的思維---哲學(xué)理論體系---解決客觀世界的現(xiàn)實(shí)問題）。例如.1證明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0，對任何實(shí)數(shù)m都有一個共同的實(shí)數(shù)解，并求此實(shí)數(shù)解。2用解析幾何方法處理平面幾何問題。（幾何關(guān)系問題---代數(shù)關(guān)系問題---求出某些代數(shù)關(guān)系---確定某種幾何關(guān)系）6.數(shù)學(xué)模型方法（基本數(shù)學(xué)方法）☆數(shù)學(xué)模型（MM）---針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！顢?shù)學(xué)模型方法（MM方法）---借助數(shù)學(xué)模型來揭示對象本質(zhì)特征和變化規(guī)律的方法。☆分類：1）由來---理論MM，經(jīng)驗(yàn)MM2）使用工具---微分方程MM、概率MM…3)涉及變量的特征---離散MM、連續(xù)MM；線性MM、非線性MM；確定MM、隨機(jī)MM、模糊MM例1哥尼斯堡七橋問題（確定性模型）以上網(wǎng)絡(luò)中哪一個是可以遍歷的(即一筆而不重復(fù)地畫成)？現(xiàn)實(shí)原型七橋問題數(shù)學(xué)模型一筆畫問題無解（一次過橋不可能）無解（一筆畫不可能）歐拉解決哥尼斯堡七橋問題的思想方法框圖你能找到穿經(jīng)每個門各一次且筆不離紙的通道嗎？試證明你的結(jié)論．（摘自《數(shù)學(xué)趣聞集錦》,T·帕帕斯）例2.布豐投針實(shí)驗(yàn)

1777年法國科學(xué)家布豐提出的一種計(jì)算圓周率的方法——隨機(jī)投針法，即著名的布豐投針問題。這一方法的步驟是：

1)取一張白紙，在上面畫上許多條間距為d的平行線；

2)取一根長度為l（l<d）的針，隨機(jī)地向畫有平行直線的紙上擲n次，觀察針與直線相交的次數(shù)，記為m；

3）計(jì)算針與直線相交的概率．

☆MM構(gòu)造過程a）對現(xiàn)實(shí)原型，分析其對象與關(guān)系結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性，以便確定MM

的類別；b）要確定所研究的系統(tǒng)并抓住主要矛盾；c）要進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象。☆MM的特點(diǎn)a）在MM上應(yīng)具有嚴(yán)格推導(dǎo)（邏輯推理）的可能性以及導(dǎo)出結(jié)論的確定性；b）MM相對于較復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)原型來說，應(yīng)具有化繁為簡、化難為易的特點(diǎn)?！顢?shù)學(xué)建模的過程：模型準(zhǔn)備---模型假設(shè)---模型建立---模型求解---模型檢驗(yàn)---模型應(yīng)用☆成功的MM:a）解釋已知現(xiàn)象；b）預(yù)言未知現(xiàn)象；c）被實(shí)踐所證明?！顢?shù)學(xué)模型的意義：a)對所研究的對象提供分析、預(yù)報(bào)、決策、控制等方面的定量結(jié)果；b)任何一項(xiàng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，主要或首先就是數(shù)學(xué)模型方法的應(yīng)用。☆精彩范例：力學(xué)：牛頓萬有引力定律；電磁學(xué)：麥克斯韋方程組；化學(xué)：門捷列夫元素周期表；生物學(xué)：孟德爾遺傳定律…☆數(shù)學(xué)模型應(yīng)用日益廣泛的原因：a)社會生活的各個方面日益數(shù)量化；b)計(jì)算機(jī)的發(fā)展為精確化提供了條件；c)很多無法試驗(yàn)或費(fèi)用很大的試驗(yàn)問題，用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究是一條捷徑。幾何概率是十九世紀(jì)末新發(fā)展起來的一門學(xué)科，使很多概率問題的解決變得簡單而不用運(yùn)用微積分的知識。然而，1899年，法國學(xué)者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭直指幾何概率概念本身：

在一給定圓內(nèi)所有的弦中任選一條弦，求該

弦的長度長于圓的內(nèi)接正三角形邊長的概率。從

不同方面考慮，可得不同結(jié)果：

⑴．由于對稱性，可預(yù)先指定弦的方向。作垂直

于此方向的直徑，只有交直徑于1/4點(diǎn)與3/4點(diǎn)

間的弦，其長才大于內(nèi)接正三角形邊長。所有交

點(diǎn)是等可能的,則所求概率為1/2。

2)由于對稱性，可預(yù)先固定弦的一端。僅當(dāng)弦與過

此端點(diǎn)的切線的交角在60°～120°之間，其長才合乎要求。所有方向是等可能的，則所求概率為1/3。

3)弦被其中點(diǎn)位置唯一確定。只有當(dāng)弦的中點(diǎn)落在半徑縮小了一半的同心圓內(nèi)，其長才合乎要求。中點(diǎn)位置都是等可能的,則所求概率為1/4。

這導(dǎo)致同一事件有不同概率，因此為悖論。

而此悖論在提出概率公理化后發(fā)現(xiàn)根本都不是問題??！四、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)原則進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，除了應(yīng)符合通常的教學(xué)原則外，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐及大量實(shí)驗(yàn)研究，應(yīng)該遵循下列幾條原則。1、化隱為顯原則知識教學(xué)中雖然蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，但由于數(shù)學(xué)思想和方法與具體的數(shù)學(xué)知識是一個有機(jī)整體，它們互相依存，相互關(guān)聯(lián)，協(xié)同發(fā)展，是具體數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，具有高度的抽象性和概括性，如果說數(shù)學(xué)方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數(shù)學(xué)方法的概括的數(shù)學(xué)思想，卻只表現(xiàn)為一種意識或觀念，很難找到外在的固定的形式。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時必須以數(shù)學(xué)知識為載體，把藏于知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識傳授過程達(dá)到思想方法教學(xué)之目的。2、循序漸進(jìn)原則數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識的理解與掌握。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想和方法一般要經(jīng)歷三個階段，一是模仿形成階段，它們往往只注意了數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識的觀點(diǎn)，以及由此產(chǎn)生的解決問題的方法和策略，即使有所覺察，也是處于朦朦朧朧、似有所悟的境界。二是初步應(yīng)用階段，即學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識開始已經(jīng)明朗，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會概括總結(jié)出來。三是自覺應(yīng)用階段，學(xué)生能根據(jù)數(shù)學(xué)問題，恰當(dāng)運(yùn)用某種思想方法進(jìn)行探索，以求得問題的解決。學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過程，決定了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不可能一步到位，也有一個相應(yīng)的循序漸進(jìn)、由淺入深的過程，因此要按照反復(fù)教育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展的順序來完成某一數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。3、螺旋上升原則學(xué)生對每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，也必須遵循認(rèn)識的一般規(guī)律，即從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的螺旋上升過程。如對同一數(shù)學(xué)思想，應(yīng)注意在不同知識階段的再現(xiàn)，以加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識。例如數(shù)形結(jié)合思想，在初中講數(shù)軸時，涉及數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生要會借助數(shù)軸表示相反數(shù)、絕對值、比較有理數(shù)的大小等，講不等式組的解法時，要求學(xué)生用數(shù)軸找出不等式的公共解集等，逐漸地，學(xué)生逐步形成借助于圖形性質(zhì)解決代數(shù)問題的觀念，到了高中，通過對函數(shù)圖象和性質(zhì)，平面解析幾何、復(fù)數(shù)等有關(guān)知識的學(xué)習(xí)，加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用，平時，注重技巧與方法的教學(xué)，到了一定階段，應(yīng)當(dāng)上升為較高層次的數(shù)學(xué)思想，促使學(xué)生在反復(fù)滲透中，對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，螺旋上升，并能主動應(yīng)用。4、系統(tǒng)教學(xué)原則與具體的數(shù)學(xué)知識一樣，數(shù)學(xué)思想方法只有形成一定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，才能更好地發(fā)揮其整體功能。在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，要將該思想所概括的一類數(shù)學(xué)方法，所串聯(lián)的具體數(shù)學(xué)知識，形成一定的結(jié)構(gòu)體系，才能為學(xué)生理解和掌握。遵循這一原則進(jìn)行教學(xué)，一方面要研究在每一具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中可進(jìn)行那些思想方法的教學(xué)；另一方面，又要研究一些重要的數(shù)學(xué)思想方法，可以在那些知識點(diǎn)的教學(xué)中進(jìn)行滲透，從而在縱橫兩個維度上整理出數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)。如數(shù)學(xué)中的化歸思想，它是把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到某個(或某些)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，最終求得原問題的解決。在學(xué)生學(xué)習(xí)化歸這種思想時，應(yīng)明確化歸的三個基本要素：化歸的對象、化歸的目標(biāo)和化歸的方法。當(dāng)前需要解決的問題是化歸的對象；熟悉化、簡單化和直觀化是一切化歸應(yīng)遵循的基本原則；實(shí)施化歸的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化(即已經(jīng)具有確定的解決方法和程序的問題)；化未知為已知，化難為易，化繁為簡，化一般為特殊，化抽象為具體是化歸的方向；實(shí)現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化的途徑和轉(zhuǎn)化的手段稱為化歸的方法。中學(xué)中常用的化歸方法有恒等變換法，具體包括分解法、配方法，待定系數(shù)法等；其二是映射反演法，具體包括換元法、對數(shù)法、生標(biāo)法和仿射法等。5、學(xué)生參與原則由于數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識更抽象，不可能照搬、復(fù)制。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)活動過程的教學(xué)，重在思辯操作，離開教學(xué)活動過程，數(shù)學(xué)思想方法也就無從談起。只有組織學(xué)生積極參與教學(xué)過程，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。因此，要通過教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中，根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法的體系五、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略1、轉(zhuǎn)變觀念，提高認(rèn)識數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的重結(jié)論、輕過程，重形式、輕內(nèi)容，重技巧、輕思想，重解題、輕應(yīng)用的弊端，嚴(yán)重影響了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高，束縛了學(xué)生思維能力的發(fā)展，從而導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不濃。為此，每一位數(shù)學(xué)教育工作者，要站在培養(yǎng)跨世紀(jì)人才的高度來改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)(還數(shù)學(xué)教學(xué)的本來面目)，用現(xiàn)代教學(xué)觀指導(dǎo)教學(xué)，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)提到應(yīng)有的高度，通過數(shù)學(xué)知識這個載體循序漸進(jìn)，有層次地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和方法，使數(shù)