教案-假設(shè)檢驗

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計假設(shè)檢驗重慶大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院李寒宇hyli@24078395113594230969《假設(shè)檢驗》主要內(nèi)容一、假設(shè)檢驗的基本概念二、參數(shù)假設(shè)檢驗三、非參數(shù)假設(shè)檢驗四、應(yīng)用案例假設(shè)檢驗的應(yīng)用女生——瑜伽！男生？喝酒？！你想談戀愛嗎？你想和自己心儀的人在一起嗎？健美戀愛我和你性格不和！我和你沒猿糞！一、假設(shè)檢驗的基本概念1、基本概念：假設(shè)檢驗（hypothesistesting）是統(tǒng)計推斷的一個重要組成部分，是一種利用樣本信息對總體的某種假設(shè)進(jìn)行判斷的方法。它分為參數(shù)假設(shè)檢驗與非參數(shù)假設(shè)檢驗，對總體分布中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(parameterhypothesistesting)，對總體分布函數(shù)形式或總體分布性質(zhì)的假設(shè)檢驗稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(non-parametericalhypothesistesting)2、假設(shè)檢驗過程及檢驗問題：2、假設(shè)檢驗過程及檢驗問題：例1．某糖廠用自動打包機(jī)包裝糖，每包重量為X,且X～N(100,0.05

)

，某日開工后隨機(jī)檢測9包重量（單位：kg）如下：

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，

99.7，99.5，102.1，100.5

問這一天打包機(jī)工作是否正常？即每包平均重量是否為100kg？解：因工藝條件沒有變化，故可認(rèn)為當(dāng)天每包糖重量X～N(μ,0.05

)

，即判斷：μ是否等于μ0＝100，先假設(shè)：μ＝μ0

，并記為：H0:μ＝μ0

，稱為原假設(shè)；當(dāng)原假設(shè)H0不成立時，即：μ≠μ0

記：H1:μ≠μ0

，稱為備擇假設(shè)；即:(1)首先提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：

H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

即:(2)尋找某個數(shù)c，當(dāng)時就拒絕H0

，否則就認(rèn)為H0成立。又因：是μ的一致最小方差無偏估計量，則：

應(yīng)很小，故當(dāng)H0成立時，也應(yīng)很小，否則認(rèn)為H0不成立。

稱c為臨界值，稱為拒絕域。假設(shè)檢驗的兩類錯誤真實情況H0成立H0不成立假設(shè)檢驗結(jié)果認(rèn)為H0不成立，拒絕H0犯第Ⅰ類錯誤(棄真錯誤)判斷正確認(rèn)為H0成立，接受H0判斷正確犯第Ⅱ類錯誤(納偽錯誤)記：

則：

所以：故H0的拒絕域為：針對本題，因：故：即：樣本不在拒絕域中，故不能拒絕H0，認(rèn)為H0成立。故認(rèn)為：3、假設(shè)檢驗的基本步驟：1）提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1

；2）分析并提出原假設(shè)H0的拒絕（否定）域的形式K0；3）確定拒絕域K0

；4）作出是否拒絕H0的判斷。二、參數(shù)假設(shè)檢驗1、單個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗：設(shè)X1,…,Xn是來自總體X～N(μ,σ2)的樣本.1)μ的假設(shè)檢驗關(guān)于μ的各種統(tǒng)計假設(shè)形式：①H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

；②H0:μ≤μ0

；H1:μ＞μ0

；③H0:μ≥μ0

；H1:μ＜μ0

；對形式①：選擇拒絕域形式為：則令：當(dāng)σ2已知時，臨界值為：當(dāng)σ2未知時，在H0成立下：臨界值為：對形式②：選擇拒絕域形式為：當(dāng)σ2已知時，臨界值為：當(dāng)σ2未知時，臨界值為：對形式③：選擇拒絕域形式為：當(dāng)σ2已知時，臨界值為：當(dāng)σ2未知時，臨界值為：例1、正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量X～N(4.55,0.1082)?，F(xiàn)在測試了5爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果方差沒有改變，問總體的均值有無顯著變化？（α=0.05）解：1）提出假設(shè)：

H0:μ＝μ0(=4.55)；H1:μ≠μ0

；2）分析拒絕域形式為：3）計算：μ0=4.55u0.975＝1.96σ＝0.108即樣本值在拒絕域內(nèi)。4）判斷：拒絕H0，即認(rèn)為鐵水含碳量有顯著變化。例2、一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h?，F(xiàn)抽測25件，得其均值為，S

2＝100,已知該種元件壽命X～N(μ,σ2),問這批元件是否合格(α=0.05)？解：1）提出統(tǒng)計假設(shè)：

H0:μ＜μ0(=1000)；H1:μ≥μ0

；2）因σ2未知,提出拒絕域形式為：3）計算：4）判斷：接受H0，認(rèn)為產(chǎn)品不合格。2)σ2的假設(shè)檢驗（μ未知）關(guān)于σ2的各種統(tǒng)計假設(shè)形式：①H0:σ2＝σ02

；H1:σ2≠σ02

；②H0:σ2≤σ02

；H1:σ2＞

σ02；③H0:σ2≥σ02

；H1:σ2＜σ02

；拒絕域：拒絕域：拒絕域：①因：S

2是總體參數(shù)σ2的無偏估計量，故存在臨界值c1＜c2，有:

故:在H0成立時其拒絕域為：又因：在H0成立時：令：故：例3、正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量X～N(μ,0.1082)。現(xiàn)在測試了5爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果總體均值沒有改變，問總體方差有無顯著變化？（α=0.05）解：1）提出統(tǒng)計假設(shè)：2）提出拒絕域形式：3）計算：4）判斷：接受H0，總體方差無顯著變化。H0:σ2＝σ02(=0.1082);H1:σ2≠σ02;例4、已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度X～N(μ,0.0482),某日抽測8根纖維，其纖度分別為1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39，問這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差是否明顯變大了(α=0.05)？解：1）提出統(tǒng)計假設(shè)：2）提出拒絕域形式：3）計算：4）判斷：拒絕H0，總體方差明顯變大。H0:σ2≤σ02(=0.0482);H1:σ2＞σ02;2、兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗

假設(shè)總體,(X1,…,Xn)是X

的樣本，總體,(Y1,…,Yn)是Y的樣本。1）對兩總體均值的檢驗關(guān)于μ1,μ2關(guān)系的各種統(tǒng)計假設(shè)形式及拒絕域如下表所示：其中：2）對兩總體方差的檢驗例5、從甲、乙兩煤礦各取若干個樣品，得其含灰率（%）為：甲：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4，乙：18.2，16.9，20.2，16.7假定含灰率均服從正態(tài)分布且σ12=σ22

。問甲,乙兩煤礦含灰率有無顯著差異(α=0.05)？解：提出統(tǒng)計假設(shè)：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒絕域：計算得：有：即樣本不在拒絕域內(nèi)，接受H0，故：含灰率無顯著差異。例6、在漂白工藝中，要考察溫度對某種針織品斷裂強(qiáng)力的影響，在70oC與80oC下分別重復(fù)了8次試驗，測得斷裂強(qiáng)力數(shù)據(jù)如下所示：70oC20.518.519.520.921.519.521.021.280oC17.720.320.018.819.0問：在這兩種溫度下，斷裂強(qiáng)力有無顯著差異？(α=0.05)假定斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布.解：m=n=8,1)首先對兩總體的方差進(jìn)行齊性檢驗：

提出假設(shè)：

H0:σ12＝σ22；

H1:σ12≠σ22;拒絕域形式：又計算得：即：0.2638<F

=1.32<3.79接受H0，認(rèn)為兩個正態(tài)總體的方差相等。2）提出假設(shè)：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒絕域為：計算得：即：拒絕H0，認(rèn)為斷裂強(qiáng)力有顯著差異.瑜伽＝喝酒？三個月瑜伽三兩白酒一年瑜伽一瓶白酒兩年瑜伽兩瓶白酒五年瑜伽五瓶白酒你和TA有緣分嗎？你某年進(jìn)入重慶大學(xué)TA某年進(jìn)入重慶大學(xué)就讀某個專業(yè)就讀某個專業(yè)選修了數(shù)理統(tǒng)計選修了數(shù)理統(tǒng)計什么？還性格不合？青春年華風(fēng)華正茂三、非參數(shù)假設(shè)檢驗1、總體分布函數(shù)的假設(shè)檢驗提出假設(shè)：

H0:F

(x)＝F0(x);H1:F(x)≠F0(x);拒絕域：

其中：

或者：

F0(x)已知;

F0(x)未知;

r為未知參數(shù)的個數(shù)。

例7、從某高校99級本科生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生，其英語結(jié)業(yè)考試成績見下表：試問99級本科生的英語結(jié)業(yè)成績是否符合正態(tài)分布？（α=0.10）937583939185848277767795948991888683968179977875676968838481756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355解：設(shè)X

表示99級任意一位本科生的英語結(jié)業(yè)成績，分布函數(shù)為F(x)，1)提出統(tǒng)計假設(shè)為：2)拒絕域為：3)將X

的取值劃分為：4)在H0成立的條件下，計算參數(shù)μ,σ2的極大似然估計值。

通過計算得：5)又因：在H0成立的條件下，Ai

(i=1,2,3,4)的概率理論估計值為：樣本值計算表Aivi1{X＜70}80.14928.9520.10122{70≤X＜80}200.350821.0480.05223{80≤X＜90}210.350821.0480.00014{90≤X}110.14928.9520.4685∑601.0000600.62206)故：接受H0，認(rèn)為英語結(jié)業(yè)成績符合正態(tài)分布。例8(離散型)：按測量儀器的分度讀數(shù)時,通常需要大致估計讀數(shù)的最后數(shù)字,理論上最后這個數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任何一個，并且每個數(shù)字的出現(xiàn)是等可能的，下表中列出200次讀數(shù)的最后數(shù)字的統(tǒng)計分布。試檢驗這些數(shù)字是否服從均勻分布？(α=0.05)數(shù)字統(tǒng)計表數(shù)字xi012345頻數(shù)vi351615171730數(shù)字xi6789頻數(shù)vi11161924解：用X表示讀出的最后數(shù)字，P{X＝i}＝pi,i＝0,1,…,9，如果數(shù)字是服從均勻分布，則pi＝1/10，i＝0,1,…,9。故假設(shè)檢驗為：H0:pi＝1/10計算χ2統(tǒng)計量的觀察值，得：查表得<χ2=24.9故拒絕H0，認(rèn)為最后的讀數(shù)不均勻。拒絕域：

提出統(tǒng)計假設(shè)：

H0:X

與Y

獨(dú)立;H1:X

與Y

不獨(dú)立2、獨(dú)立性假設(shè)檢驗在χ2檢驗法中，上述統(tǒng)計假設(shè)可轉(zhuǎn)化為：拒絕域：其中：r

×s列聯(lián)表XYvi.b1b2…bsa1v11v12…v1