圓錐曲線中的一類對稱問題

圓錐曲線上存在兩點關于直線對稱問題是高考中的一類熱點問題，該問題集直線與圓錐曲線位置關系，點與圓錐曲線的位置關系，中點弦，方程與不等式等數(shù)學知識于一體，經常在知識網絡交匯處、思想方法的交匯線和能力層次的交叉區(qū)設置問題，一般問題的綜合性較強，但難度不是很大，具有很好的選拔功能，對學生的知識和能力的考察情況也較好。下面本文就這一類問題的解決方法，結合下面的例題，談一下自己的看法。例：已知橢圓C:x2y21，試確定m的取值范圍，使得對于直線l:y4xm，橢圓C4 3上有不同的兩點關于這條直線對稱。法一：利用判別式及韋達定理來求解兩點A,B關于直線l對稱，對稱中體現(xiàn)的兩要點：垂直和兩點連線中點在對稱直線 l上，因此使用這種方法求解時 ,必須同時確保 :⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就說明三個確保的實施。解:橢圓上存在兩點A,B關于直線l:y4xm對稱設直線AB為:y1xn(確保垂直).4則直線AB與橢圓有兩個不同的交點y1xnx2413x28nx16n2480y2413192(4b213)0(確保存在)即：1313①n22x18n8nx21313A,B兩點的中點的橫坐標為x1x24n,縱坐標為14nn12n21341313則點4n12在直線13,n13m4n13把上式代入①中 ,得：

l:y4xm上,12n44nm.(確保平分)1313213m213.1313法二：點差法點差法是解決中點弦問題的一種常見方法，對稱問題符合點差法的應用條件，過程如下解:設橢圓上關于l對稱的兩點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中點為M(x0,y0)，代入橢圓方程后作差，得y1y23x01①x1x24y04由點M(x,y)在直線l:y4xm上，得y04xm②000由①②解得x0m,y03m因為點M(x0,y0)在橢圓的內部所以(m)2(3m)2143解得213m213.1313法三：利用根的分布求解C上存在不同的兩點關于直線l對稱，等價于C上存在被l垂直平分的弦，即等價于C的適合條件的弦所在的直線方程，與曲線C的方程組成的方程組在某確定的區(qū)間上有兩不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布來求解，過程如下。解：由解法二，知中點M(x0,y0)的坐標為(m,3m)，所以直線AB的方程為y1x13m44代入橢圓方程整理得13x226mx169m2480此方程在[2,2]上有兩個不等實根令f(x)13x226mx169m248，則0f(2)0解得213m213f(2)013.132m2法四： 平行弦中點軌跡法尋求有關弦中點軌跡，通過軌跡曲線與圓錐曲線的位置關系，利用數(shù)形結合尋求參量范圍。解：設橢圓上關于 l對稱的兩點分別為 A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB的中點為M(x0,y0)，將A,B坐標代入橢圓方程后作差，得y1y23x01kABx24y04x1y0 3x0所以以1y3x在橢圓內的一段，不包括端點。為斜率的平行弦的中點軌跡是直線4將y3x與橢圓C:x2y21聯(lián)立得兩交點P(213,613),Q(213,613)4313131313所以問題可以轉化為直線l:y4xm與線段y3xx213213(,)有交點。1313易得m的取值范圍是213m213.1313以上方法在處理其它