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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.2.已知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值,給出下列四個結(jié)論:①在上單調(diào)遞增;②③在上沒有零點;④在上只有一個零點.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④3.設(shè)是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.4.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.5.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④6.已知復(fù)數(shù)滿足,且,則()A.3 B. C. D.7.已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,若、滿足,則的最小值為()A. B. C. D.8.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.89.若函數(shù)f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實數(shù)a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)10.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.11.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比,且成等差數(shù)列,則的值為()A. B.C. D.或12.已知雙曲線的左、右焦點分別為,圓與雙曲線在第一象限內(nèi)的交點為M,若.則該雙曲線的離心率為A.2 B.3 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若函數(shù)的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數(shù)的值為________.14.從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________15.已知圓柱的上、下底面的中心分別為,,過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為______.16.已知函數(shù),曲線與直線相交,若存在相鄰兩個交點間的距離為,則可取到的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)把的參數(shù)方程化為極坐標方程:(2)求與交點的極坐標.18.(12分)已知數(shù)列的前n項和,是等差數(shù)列,且.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項和.19.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.(1)求曲線C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程;(2)若射線與曲線C交于點A(不同于極點O),與直線l交于點B,求的最大值.21.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列前項的和.22.(10分)如圖在棱錐中,為矩形,面,(1)在上是否存在一點,使面,若存在確定點位置,若不存在,請說明理由;(2)當(dāng)為中點時,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
列出每一次循環(huán),直到計數(shù)變量滿足退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):,退出循環(huán),輸出的為.故選:B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果,要注意在哪一步退出循環(huán),是一道容易題.2.A【解析】
先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出,判斷函數(shù)的單調(diào)性和零點情況得解.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以,或解得或.又,所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時,,且,所以在上只有一個零點.所以正確結(jié)論的編號②④故選:A.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查函數(shù)的零點問題,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.3.C【解析】
根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域為的偶函數(shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點睛】本題考查對數(shù)的運算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.4.D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對每個命題進行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯誤.故選:B.【點睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).6.C【解析】
設(shè),則,利用和求得,即可.【詳解】設(shè),則,因為,則,所以,又,即,所以,所以,故選:C【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用,考查共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用.7.B【解析】
利用等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值.【詳解】數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列,、滿足,由等比數(shù)列的通項公式得,即,,可得,且、都是正整數(shù),求的最小值即求在,且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值,討論、取值.當(dāng)且時,的最小值為.故選:B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和指數(shù)冪的運算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查數(shù)學(xué)運算求解能力和分類討論思想,是中等題.8.A【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.9.C【解析】
求函數(shù)導(dǎo)數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數(shù),在(-2,0)上是減函數(shù),作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結(jié)合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進而研究函數(shù)的最值,屬于??碱}型.10.B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出,進而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】分析:解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比,利用題中所給的條件,建立項之間的關(guān)系,從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式,解方程即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意有,即,因為數(shù)列各項都是正數(shù),所以,而,故選C.點睛:該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比,而待求量就是,代入即可得結(jié)果.12.D【解析】
本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點,然后通過圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)判斷出三角形的形狀并求出高的長度,的長度即點縱坐標,然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標,最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結(jié)果?!驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像,過點作垂線并交于點,因為,在雙曲線上,所以根據(jù)雙曲線性質(zhì)可知,,即,,因為圓的半徑為,是圓的半徑,所以,因為,,,,所以,三角形是直角三角形,因為,所以,,即點縱坐標為,將點縱坐標帶入圓的方程中可得,解得,,將點坐標帶入雙曲線中可得,化簡得,,,,故選D。【點睛】本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì),主要考察了圓與雙曲線的相關(guān)性質(zhì),考查了圓與雙曲線的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)了綜合性,提高了學(xué)生的邏輯思維能力,是難題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.4【解析】
由題可分析函數(shù)與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為:4【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應(yīng)用,考查求正弦型函數(shù)中的14.0.35【解析】
根據(jù)對立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個對立事件的概率,抽到的不是一等品的對立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點睛】本題考查了求互斥事件與對立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,可求得,代入圓柱的表面積公式,即得解【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x,則由,得,∴.故答案為:【點睛】本題考查了圓柱的軸截面和表面積,考查了學(xué)生空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.16.4【解析】
由于曲線與直線相交,存在相鄰兩個交點間的距離為,所以函數(shù)的周期,可得到的取值范圍,再由解出的兩類不同的值,然后列方程求出,再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】,可得,由,則或,即或,由題意得,所以,則或,所以可取到的最大值為4.故答案為:4【點睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解,熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)與交點的極坐標為,和【解析】
(1)先把曲線化成直角坐標方程,再化簡成極坐標方程;(2)聯(lián)立曲線和曲線的方程解得即可.【詳解】(1)曲線的直角坐標方程為:,即.的參數(shù)方程化為極坐標方程為;(2)聯(lián)立可得:,與交點的極坐標為,和.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,直角坐標方程,極坐標方程的互化,也考查了極坐標方程的聯(lián)立,屬于基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)先由公式求出數(shù)列的通項公式;進而列方程組求數(shù)列的首項與公差,得數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和.試題解析:(1)由題意知當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以.設(shè)數(shù)列的公差為,由,即,可解得,所以.(2)由(1)知,又,得,,兩式作差,得所以.考點1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項公式;2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和.【易錯點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項和,屬于難題.“錯位相減法”求數(shù)列的前項和是重點也是難點,利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點:①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積);②相減時注意最后一項的符號;③求和時注意項數(shù)別出錯;④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.19.(1)曲線表示的是焦點為,準線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標方程為兩邊同時乘以,利用極坐標與直角坐標之間的關(guān)系即可得出其直角坐標方程;(2)由直線經(jīng)過點,可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標準方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點為,準線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義可知,.20.(1):,直線:;(2).【解析】
(1)由消參法把參數(shù)方程化為普通方程,再由公式進行直角坐標方程與極坐標方程的互化;(2)由極徑的定義可直接把代入曲線和直線的極坐標方程,求出極徑,把比值化為的三角函數(shù),從而可得最大值、【詳解】(1)消去參數(shù)可得曲線的普通方程是,即,代入得,即,∴曲線的極坐標方程是;由,化為直角坐標方程為.(2)設(shè),則,,,當(dāng)時,取得最大值為.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化,考查極坐標方程與直角坐標方程的互化,掌握公式可輕松自如進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.21.(1)(2)【解析】
(1)由基本量法,求出公比后可得通項公式;(2)求出,用裂項相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因為,所以解得(舍)或所以,即(2)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式,考查裂項相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.22.(1)見解析;(2)【解析】
(1)要證明PC⊥面ADE,由已知可得AD⊥PC,只需滿足即可,從而得到點E為中點;(2)求
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