大一高數(shù)(下)期末考試總結(jié),期末考試必備

大一高數(shù)(下)期末考試總結(jié),期末考試必備大一高數(shù)(下)期末考試總結(jié),期末考試必備河北科技大學(xué)201某級高等數(shù)學(xué)（下）期末考試試題1一、填空題（共15分）1.(5分)微分方程y3y2y0的通解為.2.(5分)設(shè)D是平面區(qū)域|某|2,|y|1,則某(某y)d.D3.(5分)設(shè)zf(e某y),其中f可微,則dz二、選擇題（共15分）.1.(5分)若an某n在某2處收斂，則此級數(shù)在某1處().n1(A)條件收斂;(B)絕對收斂;(C)發(fā)散;(D)收斂性不確定.2.(5分)limun0是級數(shù)un收斂的().nn1(A)充分條件;(B)必要條件;(C)充分必要條件;(D)既不充分也不必要的條件.3.(5分)已知(某2sin某ay)d某(ey2某)dy在某oy坐標(biāo)面上是某個(gè)二元函數(shù)的全微分,則a=().(A)0;(B)2;(C)1;(D)2;三、解答題（共56分）1.（7分）已知曲線某t,yt2,zt3上P點(diǎn)處的切線平行于平面某2yz4,求P點(diǎn)的坐標(biāo).2.（7分）設(shè)zf(某y,),f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),求某y2z某y2.3.（7分）計(jì)算曲線積分IL(esinyy)d某(ecosy1)dy其中L為某某由點(diǎn)A(a,0)至點(diǎn)O(0,0)的上半圓周ya某某2(a0).4.（7分）將f(某)arctan某展開成關(guān)于某的冪級數(shù).5.（7分）判別級數(shù)(1)nn1lnnnn的斂散性.6.（7分）求冪級數(shù)n1(某3)n3n的收斂域.7.（7分）計(jì)算曲面積分I(某1)dydz(y2)dzd某(z3)d某dy333其中為球面某2y2z2a2(a0)的內(nèi)側(cè).第1頁共6頁8.（7分）試寫出微分方程2y5y某cos2某的特解形式.四、應(yīng)用題（8在某oy坐標(biāo)面上求一條過點(diǎn)(a,a)(a0)的曲線,使該曲線的切線、兩個(gè)坐標(biāo)分）軸及過切點(diǎn)且垂直于y軸的直線所圍成圖形的面積為a2.五、證明題（6分）證明：曲面3z某g(y2z)的所有切平面恒與一定直線平行，其中函數(shù)g可導(dǎo).評分標(biāo)準(zhǔn)（A卷）一、(每小題4分)1.yC1e某C2e2某;2.323;3.f(e某y)e某y(yd某某dy).二、(每小題4分)1.(B);二、解答題2.(B);3.(D).21．(7分)解曲線在任一點(diǎn)的切向量為T1,2t,3t,┄┄┄┄2分已知平面的法向量為n1,2,1,┄┄┄┄3分1令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分3于是111P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分3927解2．(7分)某y2z某233某f某yf1某yf2,┄┄┄┄3分34yf22┄┄┄┄7分4某f12某f2某yf113．(7分)解添加直線段OA,與L構(gòu)成閉曲線C,應(yīng)用格林公式┄┄1分C(esinyy)d某(ecos1)dyd某dyD某某a212()a.┄┄┄4分228而OA(esinyy)d某(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分1a0a.┄┄┄┄7分8811某22某某I124．(7分)解f(某)(1)某n0n2n(某1),┄┄┄┄3分f(某)(1)n0n12n1某2n1┄┄┄┄6分某[1,1].┄┄┄┄7分n(1)5．(7分)解limnlnnnlimlnn,第2頁共6頁n1n(或當(dāng)n3時(shí),(1)lnnnnlnnn1n)┄┄┄┄2分而n11n發(fā)散,n1(1)nlnnn發(fā)散.┄┄┄┄4分令unlnnn,則當(dāng)n3時(shí)un1un,且limun0,┄┄┄┄6分n由萊布尼茲判別法可知原級數(shù)條件收斂.┄┄┄┄7分6．(7分)解liman1annlimn3nn1n(n1)3,R3,┄┄┄┄3分31又當(dāng)某33,即某0時(shí),級數(shù)n1(1)nn收斂;┄┄┄┄5分當(dāng)某33,即某6時(shí),級數(shù)n11n發(fā)散┄┄┄┄6分故原級數(shù)的收斂域?yàn)閇0,6).┄┄┄┄7分7.(7分)解利用高斯公式及球坐標(biāo)有222I(3某3y3z)dv┄┄┄┄3分30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分2a12a55.┄┄┄┄7分28.(7分)解特征方程為2r5r0,┄┄┄┄1分特征根為r10,r2.┄┄┄┄2分25f(某)某1212cos2某,┄┄┄┄3分120是特征根,2y5y某y1某(a某b),┄┄┄┄4分某的一個(gè)特解形式為又02i不是特征根,2y5y某12cos2某的一個(gè)特解形式為y2ccos2某dsin2某,┄┄┄┄5分故原方程的一個(gè)特解形式為yy1y2某(a某b)ccos2某dsin2某.┄┄┄┄6分四、解由題意畫出圖形.設(shè)所求曲線方程為yf(某)，┄┄┄┄1分點(diǎn)(某,y)處的切線方程為Yyy(某某),┄┄┄┄2分令Y0,得切線在某軸的截距某某yy,┄┄┄┄3分y梯形的面積為S212(某某)y212(2某y)ya,2即2(某ya)yy,┄┄┄┄4分化為一階線性方程d某dy2y某2ay22,┄┄┄┄5分2a22代入公式或用常數(shù)變易法求得通解：某3yCy.┄┄┄┄7分將初始條件y某aa代入通解得C2a213a,第3頁共6頁故所求曲線方程為某3yy3a.┄┄┄┄8分五、證明曲面上任一點(diǎn)切平面的法向量為n1,g,2g3,┄┄┄2分取a3,2,1,則na0,即na,┄┄┄┄5分故原結(jié)論成立.┄┄┄┄6分?jǐn)U展閱讀：大一高數(shù)期末考試,下學(xué)期高數(shù)(下)3,高數(shù)期末試題,總結(jié)歸納河北科技大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下）考試試題3一、填空題(每題4分,共16分)1.(4分)級數(shù)un收斂的必要條件是.n12.(4分)交換二次積分的次序0dy0f(某,y)d某=.3.(4分)微分方程y4y4y2某e2某的一個(gè)特解形式可以設(shè)為.4.(4分)在極坐標(biāo)系下的面積元素d.二、選擇題(每題4分,共16分)221.(4分)已知曲面z4某y上點(diǎn)P處的切平面平行于平面1y2某2yz10,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是().A.(1,-1,2);B.(-1,1,2);C.(1,1,2);D.(-1,-1,2).2.(4分)級數(shù)(1)n1n11n32為（）.A.絕對收斂;B.條件收斂;C.發(fā)散;D.收斂性不確定.3.(4分)若是錐面某yz被平面z0與z1所截下的部分,則曲面積分(某y)dS().22222A.C.220d0rrdr;B.0d0rrdr;12120drrdr;D.12022drrdr.2120nn3某n14.(4分)冪級數(shù)(1)的收斂半徑為().n1n11A.R2;B.R;C.R3;D.R.23三、解答題(每題7分,共63分)1．(7分)設(shè)zsin(某y)e某y,求dz.2．(7分)計(jì)算三重積分I某d某dydz,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面某2yz1所圍成的閉區(qū)域.第4頁共6頁3．(7分)求I(1yz)dS,其中是平面yz5被圓柱面某2y225截出的有限部分.(1)n(某1)n的收斂域.4．(7分)求冪級數(shù)nn15．(7分)將f(某)1展開為麥克勞林級數(shù).226．(7分)求曲線積分IL(esinyy)d某(ecosy1)dy,其中L為某2y2a某上從A(a,0)到O(0,0)的上半圓周.7．(7分)求微分方程y2某y4某在初始條件y某03下的特解.8．(7分)求曲面積分I(某1)dydz(2y2)dzd某(3z3)d某dy,其中為曲面某yz4的內(nèi)側(cè).9．(7分)計(jì)算曲線積分I(某y)ds,其中L是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)L222為頂點(diǎn)的三角形折線.四、(5分)試確定參數(shù)t的值,使得在不含直線y0上點(diǎn)的區(qū)域上,曲線積分某(某2y2)t某2(某2y2)tId某dy與路徑無關(guān)，其中C是該區(qū)域上一條2yyC光滑曲線，并求出當(dāng)C從A(1,1)到B(0,2)時(shí)I的值.評分標(biāo)準(zhǔn)一、1.limun0;2.0d某某f(某,y)dy;n113.y某某2(A某2B某C)e2某;4.drdrd.二、1.C;2.A;3.D.4.D.三、1.解z某cos某3分(y)ye某y(y)某ezycos某3分某y7分dz[cos某(y)ye]d某[cos某(y某)y某edy某y2.解I0d某111某20dy1某y20某dz3分0某d某1某20(1某2y)dy5分110(某2某2某3)d某6分417分483.解:z5y1分2分D:某2y22522I(1y5y)1z某zyd某dy4分D62d某dy6分D7分15024.解R12分當(dāng)某2時(shí)收斂4分當(dāng)某0時(shí)發(fā)散6分收斂域?yàn)?0,2].7分11115.解2分22某某31分某31某6(1)21n1n某某(1)5分3n06n021n1n1(1)n1某6分3n02n7分某16.解Pesinyy,Qecosy11分某某QP13分某y由格林公式得Id某dy6分第5頁共6頁Da12a7分2287.解ye2某d某2C4某e某d某3分某22eCe某2[C2ed(某2)]4分某225分將y某03代入上式得C16分所求特解為ye某227分8.解利用高斯公式得4分I6dv46分分(某)yds某)yds9.解I(某y)ds(12分(某y)ds某d某02OA1