高中數(shù)學(xué)概率大題(經(jīng)典二)

..高中數(shù)學(xué)概率大題〔經(jīng)典二一．解答題〔共10小題1．某會議室用5盞燈照明,每盞燈各使用燈泡一只,且型號相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān),該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1,壽命為2年以上的概率為p2．從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作,只更換已壞的燈泡,平時不換．〔Ⅰ在第一次燈泡更換工作中,求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；〔Ⅱ在第二次燈泡更換工作中,對其中的某一盞燈來說,求該盞燈需要更換燈泡的概率；〔Ⅲ當(dāng)p1=0.8,p2=0.3時,求在第二次燈泡更換工作,至少需要更換4只燈泡的概率〔結(jié)果保留兩個有效數(shù)字．2．已知盒中有10個燈泡,其中8個正品,2個次品．需要從中取出2個正品,每次取出1個,取出后不放回,直到取出2個正品為止．設(shè)ξ為取出的次數(shù),求ξ的分布列及Eξ．3．某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動,分別由李老師和張老師負(fù)責(zé),已知該系共有n位學(xué)生,每次活動均需該系k位學(xué)生參加〔n和k都是固定的正整數(shù),假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到,記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．〔I求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；〔II求使P〔X=m取得最大值的整數(shù)m．4．在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中,經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對象,一個關(guān)有6只果蠅的籠子里,不慎混入了兩只蒼蠅〔此時籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅,只好把籠子打開一個小孔,讓蠅子一只一只地往外飛,直到兩只蒼蠅都飛出,再關(guān)閉小孔．以ξ表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)．〔Ⅰ寫出ξ的分布列〔不要求寫出計(jì)算過程和數(shù)學(xué)期望Eξ；〔Ⅱ求概率P〔ξ≥Eξ．5．A,B,C三個班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如表〔單位：小時：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5〔Ⅰ試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；〔Ⅱ從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一個人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；〔Ⅲ再從A,B,C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們該周鍛煉時間分別是7,9,8.25〔單位：小時,這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大?。步Y(jié)論不要求證明6．某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元；分2期或3期付款,其利潤為250元；分4期或5期付款,其利潤為300元,η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．〔Ⅰ求事件A："購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款"的概率P〔A；〔Ⅱ求η的分布列及期望Eη．7．甲、乙兩人組成"星隊(duì)"參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則"星隊(duì)"得3分；如果只有一個人猜對,則"星隊(duì)"得1分；如果兩人都沒猜對,則"星隊(duì)"得0分．已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)"星隊(duì)"參加兩輪活動,求：〔I"星隊(duì)"至少猜對3個成語的概率；〔II"星隊(duì)"兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．8．某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．〔1設(shè)A為事件"選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4",求事件A發(fā)生的概率；〔2設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．9．購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)a元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨(dú)立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1﹣0.999104．〔Ⅰ求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；〔Ⅱ設(shè)保險公司開辦該項(xiàng)險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)〔單位：元．10．某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶,得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：A地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689B地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579〔1根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度〔不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可；〔2根據(jù)用戶滿意度評分,將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件C："A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級",假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價結(jié)果相互獨(dú)立,根據(jù)所給數(shù)據(jù),以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的頻率,求C的概率．11．某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額商品后即可抽獎,每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎,若只有1個紅球,則獲二等獎；若沒有紅球,則不獲獎．〔1求顧客抽獎1次能獲獎的概率；〔2若某顧客有3次抽獎機(jī)會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．12．端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗,設(shè)一盤中裝有10個粽子,其中豆沙粽2個,肉粽3個,白粽5個,這三種粽子的外觀完全相同,從中任意選取3個．〔Ⅰ求三種粽子各取到1個的概率；〔Ⅱ設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．13．為推動乒乓球運(yùn)動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運(yùn)動員組隊(duì)參加,現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運(yùn)動員3名,其中種子選手2名,乙協(xié)會的運(yùn)動員5名,其中種子選手3名,從這8名運(yùn)動員中隨機(jī)選擇4人參加比賽．〔Ⅰ設(shè)A為事件"選出的4人中恰有2名種子選手,且這2名種子選手來自同一個協(xié)會",求事件A發(fā)生的概率；〔Ⅱ設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．14．已知2件次品和3件正品混放在一起,現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分,每次隨機(jī)一件產(chǎn)品,檢測后不放回,直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．〔Ⅰ求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；〔Ⅱ已知每檢測一件產(chǎn)品需要費(fèi)用100元,設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費(fèi)用〔單位：元,求X的分布列和均值〔數(shù)學(xué)期望15．某銀行規(guī)定,一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤,該銀行卡將被鎖定,小王到銀行取錢時,發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼,但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一,小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個進(jìn)行嘗試．若密碼正確,則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試,直至該銀行卡被鎖定．〔1求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；〔2設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．16．若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為"三位遞增數(shù)"〔如137,359,567等．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中,每位參加者需從所有的"三位遞增數(shù)"中隨機(jī)抽取1個數(shù),且只能抽取一次,得分規(guī)則如下：若抽取的"三位遞增數(shù)"的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分．〔Ⅰ寫出所有個位數(shù)字是5的"三位遞增數(shù)"；〔Ⅱ若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．17．設(shè)每個工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．〔Ⅰ求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；〔Ⅱ?qū)嶒?yàn)室計(jì)劃購買k臺設(shè)備供甲,乙,丙,丁使用,若要求"同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k"的概率小于0.1,求k的最小值．18．20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績〔單位：分的頻率分布直方圖如圖：〔Ⅰ求頻率分布直方圖中a的值；〔Ⅱ分別求出成績落在[50,60與[60,70中的學(xué)生人數(shù)；〔Ⅲ從成績在[50,70的學(xué)生任選2人,求此2人的成績都在[60,70中的概率．19．某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué),在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院,現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動〔每位同學(xué)被選到的可能性相同．〔Ⅰ求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；〔Ⅱ設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．〔Ⅰ求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；〔Ⅱ用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望E〔X及方差D〔X．參考答案與試題解析一．解答題〔共10小題1．〔2005?XX某會議室用5盞燈照明,每盞燈各使用燈泡一只,且型號相同．假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān),該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1,壽命為2年以上的概率為p2．從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作,只更換已壞的燈泡,平時不換．〔Ⅰ在第一次燈泡更換工作中,求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；〔Ⅱ在第二次燈泡更換工作中,對其中的某一盞燈來說,求該盞燈需要更換燈泡的概率；〔Ⅲ當(dāng)p1=0.8,p2=0.3時,求在第二次燈泡更換工作,至少需要更換4只燈泡的概率〔結(jié)果保留兩個有效數(shù)字．[解答]解：因?yàn)樵撔吞柕臒襞輭勖鼮?年以上的概率為p1,壽命為2年以上的概率為p2．所以壽命為1～2年的概率應(yīng)為p1﹣p2．其分布列為：壽命0～11～22～P1﹣P1P1﹣P2P2〔I一只燈泡需要不需要換,可以看做一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),根據(jù)公式得到在第一次更換燈泡工作中,不需要換燈泡的概率為p15,需要更換2只燈泡的概率為C52p13〔1﹣p12；〔II在第二次燈泡更換工作中,對其中的某一盞燈來說,該盞燈需要更換燈泡是兩個獨(dú)立事件的和事件：①在第1、2次都更換了燈泡的概率為〔1﹣p12；②在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1﹣p2．故所求的概率為p3=〔1﹣p12+p1﹣p2．〔III由〔II當(dāng)p1=0.8,p2=0.3時,在第二次燈泡更換工作中,對其中的某一盞燈來說,該盞燈需要更換燈泡的概率p3=〔1﹣p12+p1〔p1﹣p2=0.54．在第二次燈泡更換工作,至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況：①換5只的概率為p35=0.545=0.046；②換4只的概率為C51p34〔1﹣p3=5×0.544〔1﹣0.54=0.196,故至少換4只燈泡的概率為：p4=0.046+0.196=0.242．即滿兩年至少需要換4只燈泡的概率為0.242．2．〔2004?XX已知盒中有10個燈泡,其中8個正品,2個次品．需要從中取出2個正品,每次取出1個,取出后不放回,直到取出2個正品為止．設(shè)ξ為取出的次數(shù),求ξ的分布列及Eξ．[解答]解：由題意知每次取1件產(chǎn)品,∴至少需2次,即ξ最小為2,有2件次品,當(dāng)前2次取得的都是次品時,ξ=4,∴ξ可以取2,3,4當(dāng)變量是2時,表示第一次取出正品,第二次取出也是正品,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式得到P〔ξ=2=×=；P〔ξ=3=××+××=；P〔ξ=4=1﹣﹣=．∴ξ的分布列如下：ξ234PEξ=2×P〔ξ=2+3×P〔ξ=3+4×P〔ξ=4=．3．〔2013?XX某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動,分別由李老師和張老師負(fù)責(zé),已知該系共有n位學(xué)生,每次活動均需該系k位學(xué)生參加〔n和k都是固定的正整數(shù),假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系k位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到,記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為X．〔I求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率；〔II求使P〔X=m取得最大值的整數(shù)m．[解答]解：〔I因?yàn)槭录嗀："學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息"與事件B："學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息"是相互獨(dú)立事件,所以與相互獨(dú)立,由于P〔A=P〔B==,故P〔=P〔=1﹣,因此學(xué)生甲收到活動信息的概率是1﹣〔1﹣2=〔II當(dāng)k=n時,m只能取n,此時有P〔X=m=P〔X=n=1當(dāng)k＜n時,整數(shù)m滿足k≤m≤t,其中t是2k和n中的較小者,由于"李老師與張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)送活動信息給k位"所包含的基本事件總數(shù)為〔2,當(dāng)X=m時,同時收到兩位老師所發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為2k﹣m,僅收到李老師或張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)為m﹣k,由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件數(shù)為P〔X=m==當(dāng)k≤m＜t時,P〔X=M＜P〔X=M+1?〔m﹣k+12≤〔n﹣m〔2k﹣m?m≤2k﹣假如k≤2k﹣＜t成立,則當(dāng)〔k+12能被n+2整除時,k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t,故P〔X=M在m=2k﹣和m=2k+1﹣處達(dá)到最大值；當(dāng)〔k+12不能被n+2整除時,P〔X=M在m=2k﹣[]處達(dá)到最大值〔注：[x]表示不超過x的最大整數(shù),下面證明k≤2k﹣＜t因?yàn)?≤k＜n,所以2k﹣﹣k=≥=≥0而2k﹣﹣n=＜0,故2k﹣＜n,顯然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t綜上得,符合條件的m=2k﹣[]4．〔2007?XX在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中,經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對象,一個關(guān)有6只果蠅的籠子里,不慎混入了兩只蒼蠅〔此時籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅,只好把籠子打開一個小孔,讓蠅子一只一只地往外飛,直到兩只蒼蠅都飛出,再關(guān)閉小孔．以ξ表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù)．〔Ⅰ寫出ξ的分布列〔不要求寫出計(jì)算過程和數(shù)學(xué)期望Eξ；〔Ⅱ求概率P〔ξ≥Eξ．[解答]解：〔Ⅰ由題意知以ξ表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù),ξ的可能取值是0,1,2,3,4,5,6得到ξ的分布列為：ξ0123456P∴數(shù)學(xué)期望為Eξ=〔1×6+2×5+3×4=2．〔II所求的概率為P〔ξ≥Eξ=P〔ξ≥2=．5．〔2016?北京A,B,C三個班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如表〔單位：小時：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5〔Ⅰ試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；〔Ⅱ從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一個人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相對獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；〔Ⅲ再從A,B,C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們該周鍛煉時間分別是7,9,8.25〔單位：小時,這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小．〔結(jié)論不要求證明[解答]解：〔I由題意得：三個班共抽取20個學(xué)生,其中C班抽取8個,故抽樣比K==,故C班有學(xué)生8÷=40人,〔Ⅱ從從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一個人,共有5×8=40種情況,而且這些情況是等可能發(fā)生的,當(dāng)甲鍛煉時間為6時,甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有2種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為6.5時,甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為7時,甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為7.5時,甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時間為8時,甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長有4種情況；故周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率P==；〔Ⅲμ0＞μ1．6．〔2016?東城區(qū)模擬某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì),顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元；分2期或3期付款,其利潤為250元；分4期或5期付款,其利潤為300元,η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．〔Ⅰ求事件A："購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款"的概率P〔A；〔Ⅱ求η的分布列及期望Eη．[解答]解：〔Ⅰ由題意知購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款,設(shè)A表示事件"購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款"．知表示事件"購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款",∴．〔Ⅱ根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對應(yīng)于η的可能取值為200元,250元,300元．得到變量對應(yīng)的事件的概率P〔η=200=P〔ξ=1=0.4,P〔η=250=P〔ξ=2+P〔ξ=3=0.2+0.2=0.4,P〔η=300=1﹣P〔η=200﹣P〔η=250=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列為η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240〔元．7．〔2016?XX甲、乙兩人組成"星隊(duì)"參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,在一輪活動中,如果兩人都猜對,則"星隊(duì)"得3分；如果只有一個人猜對,則"星隊(duì)"得1分；如果兩人都沒猜對,則"星隊(duì)"得0分．已知甲每輪猜對的概率是,乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)"星隊(duì)"參加兩輪活動,求：〔I"星隊(duì)"至少猜對3個成語的概率；〔II"星隊(duì)"兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．[解答]解：〔I"星隊(duì)"至少猜對3個成語包含"甲猜對1個,乙猜對2個","甲猜對2個,乙猜對1個","甲猜對2個,乙猜對2個"三個基本事件,故概率P=++=++=,〔II"星隊(duì)"兩輪得分之和為X可能為：0,1,2,3,4,6,則P〔X=0==,P〔X=1=2×[+]=,P〔X=2=+++=,P〔X=3=2×=,P〔X=4=2×[+]=P〔X=6==故X的分布列如下圖所示：X012346P∴數(shù)學(xué)期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×==8．〔2016?天津某小組共10人,利用假期參加義工活動,已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．〔1設(shè)A為事件"選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4",求事件A發(fā)生的概率；〔2設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解答]解：〔1從10人中選出2人的選法共有=45種,事件A：參加次數(shù)的和為4,情況有：①1人參加1次,另1人參加3次,②2人都參加2次；共有+=15種,∴事件A發(fā)生概率：P==．〔ⅡX的可能取值為0,1,2．P〔X=0==P〔X=1==,P〔X=2==,∴X的分布列為：X012P∴EX=0×+1×+2×=1．9．〔2015?XX校級模擬購買某種保險,每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)a元,若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險,則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險,且各投保人是否出險相互獨(dú)立．已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為1﹣0.999104．〔Ⅰ求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；〔Ⅱ設(shè)保險公司開辦該項(xiàng)險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元,為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)〔單位：元．[解答]解：由題意知各投保人是否出險互相獨(dú)立,且出險的概率都是p,記投保的10000人中出險的人數(shù)為ξ,由題意知ξ～B〔104,p．〔Ⅰ記A表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金,則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)ξ=0,=1﹣P〔ξ=0=1﹣〔1﹣p104,又P〔A=1﹣0.999104,故p=0.001．〔Ⅱ該險種總收入為10000a元,支出是賠償金總額與成本的和．支出10000ξ+50000,盈利η=10000a﹣〔10000ξ+50000,盈利的期望為Eη=10000a﹣10000Eξ﹣50000,由ξ～B〔