數(shù)字信號(hào)處理第六章

第六章無限脈沖數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)§6.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的基本概念§6.2模擬濾波器設(shè)計(jì)§6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器§6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器§6.5數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)

數(shù)字信號(hào)處理§6.1

數(shù)字濾波器的基本概念一、什么是數(shù)字濾波器？

是指輸入、輸出都是數(shù)字信號(hào)，通過一定的運(yùn)算關(guān)系(通常是指一種算法，或指一種數(shù)字式處理設(shè)備)改變輸入信號(hào)所含頻率成份的比例或?yàn)V除某些頻率的器件。1.精度高2.穩(wěn)定好3.體積小4.靈活性5.重量輕6.不要求阻抗匹配優(yōu)點(diǎn)：還可以實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能二、

數(shù)字濾波器分類現(xiàn)代濾波器經(jīng)典濾波器

維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等，按照隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的一些統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳地提取信號(hào)。功能低通高通帶通帶阻理想濾波器不可能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠鋯挝幻}沖響應(yīng)均是非因果且是無限長(zhǎng)，可作為逼近標(biāo)準(zhǔn)。輸入信號(hào)中有用的頻率成分和希望濾除的頻率成分各占有不同的頻帶，通過一個(gè)合適的選頻濾波器達(dá)到濾波的目的|H

(ejω)|-ππ2π-2π低通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π高通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π帶通ω|H

(ejω)|-ππ2π-2π帶阻ω理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性(1)按照任務(wù)要求，確定濾波器的性能；(2)用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求；(3)利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個(gè)系統(tǒng)函數(shù)，包括選擇運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，選擇合適字長(zhǎng)以及有效數(shù)字的處理方法(舍入、結(jié)尾)等。三、

實(shí)現(xiàn)步驟：有限脈沖響應(yīng)FIR運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)無限脈沖響應(yīng)IIRN階N－1階(4)

實(shí)現(xiàn)，包括采用通用計(jì)算機(jī)軟件或?qū)Ｓ脭?shù)字濾波器硬件，或者采用專用或通用的數(shù)字信號(hào)處理器來實(shí)現(xiàn)。四、數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)與要求:

相頻特性，反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)::

幅頻特性，表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分衰減通帶內(nèi)允許的最大衰減用ap表示:阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示:將

歸一化為1，低通濾波器的技術(shù)要求：通帶阻帶過渡帶cs0.707低通濾波器的技術(shù)要求ω

p：通帶截止頻率ω

c：3dB截止頻率ω

s：阻帶截止頻率五、數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述(1)借助模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法，先設(shè)計(jì)出模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將傳輸函數(shù)按照某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。(2)另一類是直接在頻域或者時(shí)域進(jìn)行設(shè)計(jì)的，由于要解聯(lián)立方程，需要計(jì)算機(jī)做輔助設(shè)計(jì)。2.FIR濾波器不能采用由模擬濾波器的設(shè)計(jì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法，經(jīng)常用的是窗函數(shù)法和頻率采樣法。

模擬濾波器設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟1.IIR濾波器設(shè)計(jì)法兩類：§6.2模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器設(shè)計(jì)技術(shù)成熟，有相當(dāng)簡(jiǎn)便的公式和圖表，有幾種典型的模擬濾波器，如Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器、橢圓濾波器、Bessel濾波器等，可以依照不同要求和指標(biāo)進(jìn)行選擇。

低通帶阻高通帶通各種理想濾波器的幅頻特性一、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有：如果處幅度已歸一化到1，即對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成：通帶內(nèi)允許的最大衰減用表示阻帶內(nèi)允許的最小衰減用表示低通濾波器的幅度特性0.7071：為通帶截止頻率：為阻帶截止頻率：為3dB截止頻率則：給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo):需要設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器，其傳輸函數(shù)Ha(s)的幅度平方函數(shù)，滿足給定的指標(biāo)ap

和as。注意：Ha(s)必須是穩(wěn)定的，因此極點(diǎn)必須落在s平面的

左半平面

，相應(yīng)的Ha(-s)的極點(diǎn)落在右半平面。由幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)：如果能由，求出就很容易得到所需要的一般濾波器的沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此有：N=3巴特沃斯低通濾波器極點(diǎn)分布jΩσ0巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)為：10將幅度平方函數(shù)寫成s

的函數(shù)取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)：k=0,1,2,…,(2N-1)二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法取左半平面3個(gè)極點(diǎn)組成Ha(s)例：設(shè)N=3,6個(gè)極點(diǎn)：采用3dB截止頻率對(duì)歸一化，有：式中:令λ＝Ω/Ωc—?dú)w一化頻率為歸一化極點(diǎn):歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為：令p＝j(luò)

λ

—?dú)w一化復(fù)變量:設(shè)計(jì)步驟：根據(jù)指標(biāo)

N

p

k

Ha

(p)去歸一化

H

a

(s)

的富裕量:階數(shù)N的確定(N決定幅度特性下降速度):N由參量確定:低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：(1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo),求出濾波器的階數(shù)Nk=0,1,2,…,N-1(2)求出歸一化極點(diǎn)，得到歸一化傳輸函數(shù)(3)將去歸一化。將代入，得實(shí)際濾波器傳輸函數(shù)。ButterworthAF的特點(diǎn)：(1)Ω=0時(shí)，無衰減(2)N越大，通帶內(nèi)起伏越小，阻帶內(nèi)衰減越快，最平的幅頻響應(yīng)濾波器。都是單調(diào)函數(shù)；(3)3dB不變特性。例1書P158例6.2.1巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)可查表得到見書表6.2.1ChebyshevⅠ型（通帶等波紋）（N奇數(shù)）對(duì)的歸一化頻率或可以解決Butterworth濾波器的通、阻帶內(nèi)衰減不均勻的現(xiàn)象，進(jìn)而降低NN為奇數(shù)時(shí)（N偶數(shù)）N為偶數(shù)時(shí)三、Chebyshev濾波器得極點(diǎn)：由其中╳╳╳╳╳╳選左半平面諸極點(diǎn)，得歸一化的傳輸函數(shù)：去歸一化以后的傳輸函數(shù)為:這些極點(diǎn)s位于橢圓圓周上

(1)

確定技術(shù)要求sαs

、αp、p、(2)

求濾波器階數(shù)N和參數(shù)ε切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)步驟：其中(3)

求歸一化傳輸函數(shù)Ha

(p)

(4)

將Ha

(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha

(s)

fp=1000,fs=1200,3dB,60dB切比雪夫?yàn)V波器的特點(diǎn):通帶內(nèi)等波紋起伏,起伏頻率與階數(shù)有關(guān),起伏快慢大小與頻率有關(guān);過渡帶和阻帶單調(diào)衰減;N為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí),直流處響應(yīng)大小不同;三、模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)低通濾波器其它濾波器頻率變換關(guān)系1、模擬高通濾波器設(shè)計(jì)低通濾波器幅度特性高通濾波器幅度特性高通、帶通帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)

低通濾波器技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G

(p)高通、帶通帶阻濾波器

H(s)頻率變換頻率變換高通濾波器設(shè)計(jì)例題見書例題6.2.3轉(zhuǎn)換關(guān)系：例：設(shè)計(jì)高通濾波器，fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp

處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減為15dB。解：

1.高通技術(shù)指標(biāo)為：fp=200Hz

，ap=3dBfs=200Hz，

as=15dB歸一化頻率：2.低通技術(shù)指標(biāo)為：3.設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)4.確定模擬高通H(s)2、模擬帶通濾波器設(shè)計(jì)例題書6.2.4及6.2.5作業(yè)：6.1、6.33、模擬帶阻濾波器設(shè)計(jì)§6.3用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器連續(xù)時(shí)間域(s平面)離散時(shí)間域(z平面)模擬濾波器(AF)

數(shù)字濾波器(

DF

)方法：按照技術(shù)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通濾波器，得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)，再按一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系將Ha(s)變換成數(shù)字低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

——IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法。2、把傳輸函數(shù)Ha(s)從s平面變換到z

平面H(z):1、把DF的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為AF的指標(biāo)參數(shù)設(shè)計(jì)出AF映射Mapping映射方法有：(1)脈沖響應(yīng)不變法;(2)

階躍響應(yīng)不變法;(3)

雙線性變換法等。映射必須滿足的條件：(1)因果穩(wěn)定AF，轉(zhuǎn)換成DF，仍是因果穩(wěn)定的.(s:左半平面z:單位圓內(nèi))S平面的虛軸z平面的單位圓(頻率之間成線性關(guān)系)(2)

DF的頻響模仿AF的頻響特性

一、原理：讓DF的脈沖響應(yīng)h(n)去模仿AF的ha(t)假設(shè)模擬濾波器傳輸函數(shù)：對(duì)上式進(jìn)行Z變換求得系統(tǒng)函數(shù)：不過，s、z整個(gè)平面并非都這樣很好對(duì)應(yīng)(后面例題中零點(diǎn)就不一一對(duì)應(yīng))S平面的極點(diǎn)

s=skz平面的極點(diǎn)Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)相同

Ak

。特點(diǎn)：令采樣H

(z)即數(shù)字濾波器和模擬濾波器兩者頻響之間的關(guān)系式二、L變換和z變換關(guān)系：又因?yàn)?將代入上式得:采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的z變換之間的映射關(guān)系為：由因因此有（虛軸）r=1(單位圓)（左半平面）r<1(單位圓內(nèi))s=0(原點(diǎn)A)z=1(單位圓上A)(平行線)(射線)(帶條)(整個(gè)z平面)映射關(guān)系：z平面01z=-1?A注意是周期函數(shù)?00S平面?A1.DF和AF兩者頻響間關(guān)系式中的注意點(diǎn)：直接映射但并非

而是映射①雖然(DF增益不再隨T而變)脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象②

DF的頻響不是簡(jiǎn)單地復(fù)現(xiàn)AF頻響，而是AF頻響的周期延拓。因此只有AF頻響限于折疊頻率之內(nèi)，DF的頻響才能不失真地復(fù)現(xiàn)AF頻響。③實(shí)際上由于T

很小，為不使DF增益過大，修改如下如果

沒有頻率混疊現(xiàn)象由公式得：例1：解：零點(diǎn)零點(diǎn)(不一一對(duì)應(yīng))

s平面極點(diǎn)

z平面極點(diǎn)對(duì)應(yīng)例2書例題6.3.1，書P173若Ha(s)的極點(diǎn)以復(fù)數(shù)共軛對(duì)出現(xiàn)時(shí)，形成一個(gè)二階基本節(jié)(1)若二階基本節(jié)為(一階零點(diǎn))形式，則數(shù)字濾波器的二階基本節(jié)為：(2)若二階基本節(jié)為

(無零點(diǎn))形式，則數(shù)字濾波器的二階基本節(jié)為：注意：【1】T的選取影響對(duì)數(shù)字濾波器的特性的影響？【2】數(shù)字濾波器在附近產(chǎn)生的失真？(2)

設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Ha(s)；(3)將Ha(s)分解成單極點(diǎn)的部分分式之和,然后按照一階模擬系統(tǒng)和一階數(shù)字系統(tǒng)的映射完成Ha(s)H

(z)。優(yōu)點(diǎn):

頻率關(guān)系保持標(biāo)準(zhǔn)線性關(guān)系,低頻段數(shù)字濾波器與模擬濾波器幾乎完全一致。而且時(shí)域逼近特性很好;缺點(diǎn):不存在s到z的直接有理影射關(guān)系式，需要對(duì)H(s)分解；高頻段存在混疊失真；不能設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器。(1)利用公式:

將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬指標(biāo)；2.脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)步驟：

原則上只能適用帶限信號(hào)3.脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn):作業(yè)：6-4.§6.4用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器一、變換原理脈沖響應(yīng)不變法是使DF在時(shí)域上模仿AF，存在sz平面多值映射的問題；雙線性變換法是使DF的頻響模仿AF。先把整個(gè)s平面通過非線性壓縮變換為s1平面的一條(1從-T到T，寬度為2T

的水平)橫帶內(nèi)，然后通過標(biāo)準(zhǔn)z變換，將s1z平面。(1)0S1平面?(2)z平面0Z=1?0s平面0?1.壓縮變換：ss102.

標(biāo)準(zhǔn)z變換：s1z,即：得：映射關(guān)系0-3.模擬頻率W與數(shù)字頻率w的關(guān)系令：得：雙線性變換法的映射關(guān)系:

(s左半面)(z單位圓內(nèi))(s平面坐標(biāo)原點(diǎn))(z平面單位圓上A)(s右半面)(z單位圓外)穩(wěn)定的AF穩(wěn)定的DFz

=14.雙線性變換法的優(yōu)缺點(diǎn):②這種變換是非線性的；DF的頻響與AF原型的頻響之間存在非線性畸變，采用預(yù)畸變可以消除。適用于片斷常數(shù)的濾波器設(shè)計(jì)。00cH(e)j①簡(jiǎn)單的變換設(shè)計(jì)關(guān)系：把s平面整個(gè)虛軸影射到z平面的單位圓，頻率與一一對(duì)應(yīng)；Ha

(s)和H(z)之間簡(jiǎn)單的代數(shù)轉(zhuǎn)換關(guān)系，頻域里DF模仿AF；消除了頻響混疊效應(yīng)。

③尤其一個(gè)線性相位的AF經(jīng)雙線性變換后,得到的DF就失去了線性相位的可貴特性即為非線性相位的DF了。5.利用雙線性變換法將模擬濾波器數(shù)字化的方法：(2)也可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)(相加)或級(jí)聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)(相乘)，使每個(gè)子系統(tǒng)都變成低階的(1，2階的)，然后對(duì)每個(gè)子系統(tǒng)再利用雙線性變換，模擬系統(tǒng)函數(shù)已有大量的圖表可利用，分解起來比較方便。

(a)若模擬系統(tǒng)函數(shù)分解為級(jí)聯(lián)系統(tǒng)：則經(jīng)雙線性變換后，離散系統(tǒng)函數(shù)可表示為：其中：(1)直接由得到；(b)分解成并聯(lián)子系統(tǒng)經(jīng)雙線性變換后