概率論與數(shù)理統(tǒng)計2

第二章隨機變量2.1

隨機變量的概念2.2隨機變量的分布2.3二維隨機變量2.4隨機變量函數(shù)的分布關(guān)于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容．這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關(guān)心的往往是與所研究的特定問題有關(guān)的某個或某些量，而這些量就是隨機變量．也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學(xué)分析中的常量與變量的區(qū)分那樣．變量概念是高等數(shù)學(xué)有別于初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)概念．同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎(chǔ)概念是隨機變量。使我們借助于微積分等數(shù)學(xué)工具把研究引向深入。為了全面地研究隨機試驗的結(jié)果，揭示客觀存在著的統(tǒng)計規(guī)律性，我們將隨機試驗的結(jié)果與實數(shù)對應(yīng)起來，將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機變量的概念。2.1隨機變量的概念由于隨機因素的作用，試驗的結(jié)果有多種可能性。如果對于試驗的每一可能結(jié)果，也就是一個樣本點ω，都對應(yīng)著一個實數(shù)ξ(ω)，而ξ(ω)又是隨著試驗結(jié)果不同而變化的一個變量，則稱它為隨機變量。隨機變量一般用希臘字母ξ，η，ζ或大寫拉丁字母X，Y，Z等表示。

很多隨機事件都可以采用數(shù)量的標(biāo)識。比如,某一段時間內(nèi)車間正在工作的車床數(shù)目,抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時出現(xiàn)的廢品個數(shù),擲殼子出現(xiàn)的點數(shù)等等。對于那些沒有采用數(shù)量標(biāo)識的事件,也可以給它們以數(shù)量標(biāo)識。比如,某工人一天“完成定額”記為1,“沒完成定額”記為0;生產(chǎn)的產(chǎn)品是“優(yōu)質(zhì)品”記為2,是“次品”記為1,是“廢品”記為0等等.這樣一來,對于實驗的結(jié)果就都可以給予數(shù)量的描述。定義.

設(shè)Ω={ω}是隨機試驗的樣本空間，如果量X是定義在Ω上的一個單值實值函數(shù)即對于每一個ωΩ，有一實數(shù)X=X(ω)與之對應(yīng)，則稱X為隨機變量。隨機變量的特點:

1X的全部可能取值是互斥且完備的2X的部分可能取值描述隨機事件隨機變量常用X、Y、Z或

、、等表示。?請舉幾個實際中隨機變量的例子例如（1）一個射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)記為1分，未中目標(biāo)記0分。如果用ξ表示射手在一次射擊中的得分，則它是一個隨機變量，可以取0和1兩個可能值。（2）某段時間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為ξ，它是一個隨機變量，可以取0及一切不大于M的自然數(shù)，M為候車室的最大容量。（3）單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量ξ是一個隨機變量。它可以取一個區(qū)間內(nèi)的一切實數(shù)值。即ξ∈[0，T]，T為某一個常數(shù)。（4）一個沿數(shù)軸進(jìn)行隨機運動的質(zhì)點，它在數(shù)軸上的位置ξ是一個隨機變量，可以取任何實數(shù)，即ξ∈（－∞，＋∞）

顯然隨機變量是建立在隨機事件基礎(chǔ)上的一個概念。既然事件發(fā)生的可能性對應(yīng)于一定的概率，那么隨機變量也以一定的概率取各種可能值。按其取值情況可以把隨機變量分為兩類：

一、離散型隨機變量只可能取有限個或無限可列個值；二、非離散型隨機變量可以在整個數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實數(shù)區(qū)間的全部值。隨機變量隨機變量的分類：從兩方面研究隨機變量：研究隨機變量的取值規(guī)律研究隨機變量取值的概率規(guī)律2.2隨機變量的分布ξ

x1 x2 …

xK … Pk p1 p2 … pk …（一）離散型隨機變量的分布定義2.1如果隨機變量ξ只取有限個或可列個可能值，而且以確定的概率取這些不同的值，則稱ξ為離散型隨機變量。為直觀起見，將可能取的值及相應(yīng)概率列成概率分布表：ξx1x2……xk……Pp1p2……pk……此外，ξ的概率分布情況也可以用一系列等式表示：其中構(gòu)成一個完備事件組。此時，（2.1）式稱為隨機變量ξ的概率函數(shù)（或概率分布律）。(1)pk0,k＝1,2,…;(2)

一般所說的離散型隨機變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表。2.分布律的性質(zhì)解題可分為三步進(jìn)行：1.寫出概率函數(shù)（分布律）2.列出概率分布表（分布列）3.畫出概率函數(shù)圖例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只黑。現(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率分布列。

解k可取值0，1，2∴X的概率分布列為：例2產(chǎn)品由一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品律及廢品律分別為60%、10%、20%、10%，任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，用隨機變量ξ描述檢驗結(jié)果并畫出概率函數(shù)圖。解：令“ξ＝k”與產(chǎn)品為“k等品”（k＝1，2，3）相對應(yīng)?！唉危?”與產(chǎn)品為“廢品”相對應(yīng)。根據(jù)題意，其概率函數(shù)為：P(ξ=0)=0.1;P(ξ=1)=0.6;P(ξ=2)=0.1;P(ξ=3)=0.2概率分布表為：概率函數(shù)圖為：例3社會上定期發(fā)行某種獎券，每券1元，中獎率為p。某人每次購買1張獎券，如果沒有中獎下次再繼續(xù)購買1張，直至中獎為止。求該人購買次數(shù)ξ的分布。解：“ξ＝1”＝“第一次購買的獎券中獎”ξ＝i”＝“購買i次獎券，前i-1次購買的獎券未中獎，第i次購買的獎券中獎”“ξ＝2”＝“購買兩次獎券，第一次購買的獎券未中獎，第二次購買的獎券中獎”則概率函數(shù)為：概率分布列為：例4盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的１５個燈泡，其中１０個螺口，５個卡口，燈口向下放著．現(xiàn)在需要１個螺口燈泡，從盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不在放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡扣燈泡數(shù)ξ分布。解：“ξ=0”表示第一個就取到了螺口燈泡，“ξ＝1”表示第一個取到卡口而第二個才取到螺口燈泡，同樣方法，可以依次計算出P(ξ=k)（ｋ＝2,3,4,5)的概率，列成概率分布如表

幾個常用的離散型分布：

1.(0-1)分布(p33)若以X表示進(jìn)行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點分布)P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)（2.2）k＝0，1或2.離散型隨機變量均勻分布如果ξ有概率函數(shù)：則稱ξ服從離散型均勻分布。3.幾何分布：如果ξ有概率函數(shù)：則稱ξ服從幾何分布。例5.某射手對目標(biāo)獨立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為p，以X表示命中目標(biāo)的次數(shù)，求X的分布律。解：設(shè)Ai第i次射擊時命中目標(biāo)，i=1,2,3,4,5則A1,A2,…A5,相互獨立且P(Ai)=p,i=1,2,…5.SX={0,1,2,3,4,5},(1-p)5

EX

P554、5、6、7、8(二)隨機變量的分布函數(shù)

定義2.2(P36)設(shè)ξ是隨機變量(可以是離散型的,也可以是非離散型的),

對任意實數(shù)x，事件{ξx}的概率P{ξx}稱為隨機變量ξ的分布函數(shù)。記為F(x)，即F(x)＝P{ξx}(2.5)

易知，對任意實數(shù)a,b(a<b),P{a<ξb}＝P{ξb}－P{ξa}＝F(b)－F(a)(2.6)因此，若已知ξ的分布函數(shù)F(x),就能知道ξ在任何一個區(qū)間上取值的概率。從這個意義上說，分布函數(shù)完整的描述了隨機變量的變化情況，它具有下面幾個性質(zhì)：分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)④F(x)至多有可列個間斷點，而在其間斷點上也是右連續(xù)的。①0≤F(x)≤1，對一切ⅹ∈(-∞，+∞)成立；

②F(x)是ⅹ的不減函數(shù)；③一般地，對離散型隨機變量X～P{ξ=xk}＝pk,k＝1,2,…其分布函數(shù)為

例6設(shè)隨機變量ξ具分布律如右表解

ξ012P0.10.60.3試求出ξ的分布函數(shù)。例7求P35例３的分<布函數(shù)F(x)

解：Ｆ(x)的圖形如圖所示：分布函數(shù)與概率函數(shù)滿足關(guān)系：Ｆ(x)＝離散型隨機變量的分布函數(shù)的圖形是階梯曲線．它在ξ的一切有概率（指正概率）的點xk都有一個跳躍，其躍度為ξ取值xk的概率Ｐk．而在分布函數(shù)的任何一個連續(xù)點上，取值的概率都是零，這一點對連續(xù)型隨機變量也是成立的．(2.7)(三)連續(xù)型隨機變量的分布盡管分布函數(shù)是描述各種類型隨機變量變化規(guī)律的最一般的共同形式.但由于它不夠直觀,往往不常用.比如,對于離散型隨機變量,用概率函數(shù)來描述既簡單又直觀.對于非離散型變量也希望有一種比分布函數(shù)更直觀的描述方式.例8在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質(zhì)點,用ξ表示這個質(zhì)點與圓點的距離,則ξ是一個隨機變量.如果這個質(zhì)點落在[4,10]上任一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個區(qū)間長度呈正比,求ξ的分布函數(shù)。解：根據(jù)題意有ξ可以取[4,10]上的一切實數(shù)，“4≤ξ≤10”是一個必然事件，P(4≤ξ≤10)=1.若[c,d]

([4,10],有P(c≤ξ≤d)=λ(d-c),λ為比例常數(shù).特別地,取c=4,d=10,P(4≤ξ≤10)=λ(10-4)=6λ,而已知P(4≤ξ≤10)=1,因此λ=1/6.F(x)的圖形如下

在這里,分布函數(shù)F(x)是實數(shù)上的一個非降有界的連續(xù)函數(shù),在整個數(shù)軸上沒有一個跳躍點(可見,對于這樣的隨機變量,它取任何一個具體值的概率都是零).比例系數(shù)λ,反映了概率分布在區(qū)間[4,10]上任意一個子區(qū)間[c,d]上的密集程度,記作φ(x)而前面求出的分布函數(shù)F(x),恰好就是非負(fù)函數(shù)φ(x)在實數(shù)上的廣義積分.即用分布函數(shù)描述隨機變量不如分布律直觀，對非離散型隨機變量，是否有更直觀的描述方法？?ab

定義2.3(p40)

對于隨機變量ξ，若存在非負(fù)函數(shù)φ(x)，(-<x<+)，使對任意實數(shù)x，都有則稱ξ為連續(xù)型隨機變量，φ(x)為ξ的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù).常記為ξ～φ(x),(-<x<+)ξ密度函數(shù)φ(x)具有的性質(zhì)

(1)非負(fù)性φ(x)0，(-<x<)；

(2)歸一性性質(zhì)(1)、(2)是密度函數(shù)的充要性質(zhì)；密度函數(shù)的幾何意義為EX例9設(shè)隨機變量X的概率密度為求常數(shù)a.解：∵即例10已知連續(xù)性隨機變量ξ有概率密度求系數(shù)k及分布函數(shù)F(x),并計算P(1.5<ξ<2.5)解：計算P(1.5<ξ<2.5)

P(1.5<ξ<2.5)＝F(2.5)－F(1.5)=1－P(ξ<1.5）例2

向[0,1]區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，以X表示質(zhì)點坐標(biāo).假定質(zhì)點落在[0,1]區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間長成正比，求X的分布函數(shù)解：

F(x)=P{X≤x}

當(dāng)x<0時,F(x)=0;當(dāng)x>1時,F(x)=1當(dāng)0≤x≤1時,特別,F(1)=P{0≤x≤1}=k=1(三)連續(xù)性隨機變量的分布最后，給出隨機變量一個一般的定義定義2.4如果每次試驗的結(jié)果，也就是每一個樣本點ω，都對應(yīng)著一個確定的實數(shù)ξ，并且對于任何實數(shù)x,“ξ≤x”有確定的概率，稱ξ為隨機變量。EXP55111213142.3二元隨機變量定義2.5如果每次試驗的結(jié)果對應(yīng)著一組確定的實數(shù)（ξ1…,ξn），他們是隨試驗結(jié)果不同而變化的n個隨機變量，并且對任何一組實數(shù)x1,x2,…,xn,事件“ξ1≤x1,…,ξn≤xn”有確定的概率，則稱n個隨機變量的整體為一個n元隨機變量（或n元隨機向量）。

定義2.6稱n元函數(shù)F(x1,…,xn)=P(ξ1≤x1,…,ξn≤xn)(2.10)(x1,…,xn)∈R為n元隨機變量的分布函數(shù)。一元隨機變量X——R1上的隨機點坐標(biāo)二元隨機變量(X,Y)——R2上的隨機點坐標(biāo)n元隨機變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機點坐標(biāo)多元隨機變量的研究方法也與一元類似，用分布函數(shù)、概率密度、或分布律來描述其統(tǒng)計規(guī)律（一）離散型1.聯(lián)合分布定義2.7如果二元隨機變量(ξ,η)所有可能取的數(shù)對為有限或可列個，并且已確定的概率取各個不同的數(shù)對，則稱（ξ,η）為二元離散型隨機變量。為了直觀，可以把（ξ,η

）所有的可能取值及相應(yīng)概率列成表（見表2-6），稱為（ξ,η）的聯(lián)合概率分布表。二元隨機變量也可以用(X,Y)來表示若二元隨機變量(X,Y)只能取至多可列個值

(xi,yj),(i,j＝1,2,…)，則稱(X,Y)為

二元離散型隨機變量。若二元離散型隨機變量(X,Y)取(xi,yj)的概率為pij,則稱P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，

(i,j＝1,2,…)，為二元離散型隨機變量(X,Y)的分布律，或隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律.

可記為

(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，(2.11)XYy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................聯(lián)合分布律的性質(zhì)(1)pij

0,i,j＝1,2,…

；

(2)x1x2xi二元離散型隨機變量的分布律也可列表表示如下:P43解：試驗結(jié)果共有4個基本事件組成，相應(yīng)概率可按公式（1.10）計算：列成概率分布表如表2-7所示。ξ1

ξ201010.10.30.30.3例1同一品種的5個產(chǎn)品中，有2個正品。每次從中取1個檢驗質(zhì)量，不放回地抽取，連續(xù)2次。記“ξk=0”為第k次取到正品，而“ξk=1”為第k次取到次品(K=1,2）。寫出（ξ1，ξ2）的聯(lián)合分布律。例2.袋中有兩只紅球，三只白球，現(xiàn)不放回摸球二次，令,求(X,Y)的分布律。XY1010

2.邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系

邊緣分布律若隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，i,j＝1,2,…則稱P{X＝xi}＝pi.＝，i＝1,2,…(2.12)為(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布律；

P{Y＝y(tǒng)j}＝p.j＝，j＝1,2,…(2.13)為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布律。邊緣分布律自然也滿足分布律的性質(zhì)。例3將兩封信隨機的往編號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4個郵筒內(nèi)投。ξi表示第i個郵筒內(nèi)信的數(shù)目（i=1,2）。寫出(ξ1,ξ2）的聯(lián)合分布及(ξ1,ξ2)中關(guān)于ξ1的邊緣分布。解:由1.2例3得，試驗共有4×4種不同的等可能結(jié)果；

于是,(ξ1,ξ2)的聯(lián)合分布為:

ξ2ξ10120124/164/161/164/162/1601/16009/166/161/16關(guān)于ξ1的邊緣分布為:ξ1

p09/1616/1621/16例4.已知(X,Y)的分布律為x\y 1 0 1 1/10 3/10 03/103/10求X、Y的邊緣分布律。 解： x\y 1 0 pi. 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10 p.j

故關(guān)于X和Y的分布律分別為：X 1 0 Y 1 0 P2/5 3/5 P 2/5 3/52/53/52/53/5設(shè)隨機變量X與Y的聯(lián)合分布律為(X,Y)～P{X＝xi,Y＝y(tǒng)j,}＝pij，(i,j＝1,2,…)，X和Y的邊緣分布律分別為3條件分布

離散型隨機變量的條件分布律為Y＝y(tǒng)j的條件下，X的條件分布律;若對固定的j,p.j>0,則稱同理，對固定的i,pi.

>0,稱為X＝xi的條件下，Y的條件分布律;(2.14)(2.15)例3將兩封信隨機的往編號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4個郵筒內(nèi)投。ξi表示第i個郵筒內(nèi)信的數(shù)目（i=1,2）。寫出ξ2=1條件下關(guān)于ξ1的條件分布解:ξ2p02/311/3ξ2=1條件下,ξ1的條件分布例5某射手在射擊中，每次擊中目標(biāo)的概率為P（0<p<1），射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止，ξi表示第i次擊中目標(biāo)時所進(jìn)行的射擊次數(shù)（i=1，2），求ξ1和ξ2的聯(lián)合分布以及它們的條件分布。解事件“ξ1=i，ξ2=j”表示第i次及第j次擊中了目標(biāo)（1≤i<j），而其余j-2次都沒有擊中目標(biāo)。已知各次射擊是相互獨立的，所以邊緣分布為：

對于任意大于1的正整數(shù)j=2，3，…，有

ξ1條件分布為：關(guān)于ξ2的條件分布為：EX

P5620、21、22、23（二）連續(xù)型

1.聯(lián)合概率密度

定義

2.8(p47)

對于二元隨機變量(ξ,η)，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)φ(x,y)，使對(x,y)R2，其分布函數(shù)則稱(ξ,η)為二元連續(xù)型隨機變量，φ(x,y)為(ξ,η)的密度函數(shù)(概率密度)，或稱為ξ與η的聯(lián)合密度函數(shù)，可記為

(ξ,η)～φ(x,y)，(x,y)R2聯(lián)合概率密度φ(x,y)的性質(zhì)(p47)

(1)非負(fù)性：φ(x,y)0,(x,y)R2;(2)歸一性：反之，具有以上兩個性質(zhì)的二元函數(shù)φ

(x,y)，必是某個二元連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)。

(3)顯然，對任意實數(shù)a<b及c<d,有

此外，φ(x,y)還有下述性質(zhì)(4)若φ(x,y)在(x,y)R2處連續(xù)，則有設(shè)(ξ，η)是二元隨機變量，(x,y)R2,則稱F(x,y)=P{ξx,ηy}為(ξ,η)的分布函數(shù)，或稱為ξ與η的聯(lián)合分布函數(shù)。

聯(lián)合分布函數(shù)(即定義2.6)幾何意義：分布函數(shù)F()表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域中的概率。如圖陰影部分分布函數(shù)F(x,y)具有如下性質(zhì)：且(1)歸一性

對任意(x,y)R2,0F(x,y)1,

(2)單調(diào)不減

對任意yR,當(dāng)x1<x2時，F(xiàn)(x1,y)F(x2,y)；

對任意xR,當(dāng)y1<y2時，F(xiàn)(x,y1)F(x,y2).(3)右連續(xù)

對任意xR,yR,

(4)矩形不等式

對于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1)0.

反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機變量(ξ,η)的分布函數(shù)。下面給出矩形不等式的幾何解釋對于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1<

x2，y1<y2),則P{x1<X

x2，y1<yy2}＝F(x2,y2)－F(x1,y2)－F(x2,y1)＋F(x1,y1).(x1,y1)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)xy稱為二元隨機變量(ξ,η)關(guān)于η的邊緣分布函數(shù).

2.邊緣概率密度(p47)稱為二元隨機變量(ξ,η)關(guān)于ξ的邊緣分布函數(shù)；邊緣分布實際上是高維隨機變量的某個(某些)低維分量的分布。Fξ(x)=P{ξ≤x,-<η<+｝＝P{ξ≤x}Fη(y)=P{-<ξ<+,η≤y｝＝P{η≤y}邊緣密度函數(shù)為(ξ,η)關(guān)于η的邊緣密度函數(shù)。設(shè)(ξ,η)～φ(x,y),(x,y)R2,則稱為(ξ,η)關(guān)于ξ的邊緣密度函數(shù)；同理，稱例1.設(shè)(ξ,η)的概率密度為（1）求常數(shù)c;(2)求關(guān)于ξ的邊緣概率密度解:(1)由歸一性3.條件概率密度若φ2(y)>0,稱為在η＝y(tǒng)條件下，關(guān)于ξ的條件概率密度；若φ1(x)>0,稱為在ξ=x條件下，關(guān)于η的條件概率密度。(三)隨機變量的相互獨立性

定義2.9對于任何實數(shù)x,y,如果二元隨機變量（ξ，η）的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)等于ξ和η的邊緣分布函數(shù)的乘積,即則稱隨機變量ξ與η相互獨立。定義:稱隨機變量ξ與η獨立，如果對任意實數(shù)a<b,c<d，有p{a<ξb,c<ηd}=P{a<ξb}·P{c<ηd} 即事件{a<Xb}與事件{c<Yd}獨立，則稱隨機變量X與Y獨立。不進(jìn)行證明，下面給出兩個隨機變量ξ與η獨立的充要條件：定理設(shè)(ξ，η)是二元連續(xù)型隨機變量，ξ與η獨立的充分必要條件是φ(x,y)=φξ(x)·φη(y)定理設(shè)(ξ，η)是二元離散型隨機變量，其分布律為Pij=P{ξ=xi,η=yj},i,j=1,2,...，則X與Y獨立的充分必要條件是對任意i,j，Pij=Pi

Pj。由上述定理可知，要判斷兩個隨機變量X與Y的獨立性，只需求出它們各自的邊緣分布，再看是否對(ξ，η)的每一對可能取值點,邊緣分布的乘積都等于聯(lián)合分布即可例2：判斷P44例2中ξ1，ξ2

是否相互獨立解：由例2中表2-8可得：而易見：∴ξ1，ξ2不獨立例3.已知隨機變量(X,Y)的分布律為且知X與Y獨立，求a、b的值。解：∵a+b=0.6∴b=0.6-aYx1200.150.251ab∵X與Y獨立P(x=1,y=1)=P(x=1)P(y=1)=

a

即(a+b)(0.15+a)＝a∴(a+b)(0.15+a)=ab=0.45例4兩個連續(xù)型隨機變量

其概率密度為

解:根據(jù)(2.25)式可得EX

P5627、28、292.4隨機變量函數(shù)的分布定義2.10設(shè)?(x)是定義在隨機變量ξ的一切可能值x的集合上的函數(shù)。如果對于ξ的每一個可能取值x,有另一個隨機變量η的相應(yīng)取值y=?(x)。則稱η為ξ的函數(shù)，記作η=?(ξ)。如何根據(jù)ξ的分布求出η的分布,或由(ξ1,…,ξn）的分布求出η＝f(ξ1,…,ξn）的分布。是我們這節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)。

設(shè)ξ為一個隨機變量，分布律為ξ～P{X＝xk}＝pk,k＝1,2,…若η＝f(x)是一元單值實函數(shù)，則η＝f(x)也是一個隨機變量。求η的分布律.例:已知ξPk-101求：η=ξ2的分布律ηPk10

一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律例1測量一個正方形的邊長，其結(jié)果是一個隨機變量ξ（簡便起見把它看成是一個離散型的）。ξ的分布如表2-11解η和ζ都是ξ的函數(shù),且η=4ξ,ζ=ξ2。事件“η=36”即“4ξ

=36”與“ξ

=9”相等，故P{η=36}=P{ξ

=9}。依此計算,可得表2-12。ξP90.2100.3110.4120.1求周長η和面積ζ的分布律。表2-11同樣地，ξ的分布律如表2-13所示。表2-13ξP90.2100.3110.4120.1η=4ξP360.2400.3440.4480.1ζ=ξ2P810.21000.31210.41440.1表2-12例2ξ的分布如表2-14：ξP-10.200.110.31.50.330.1解事件“ξ2=0”，“ξ2=2.25”,“ξ2=9”,分別與事件“ξ=0”,“ξ=1.5”,“ξ=3”相等,其概率當(dāng)然分別相等。事件“ξ2=1”與兩個互斥事件“ξ=-1”及“ξ=1”的和相等，其概率是這兩個事件概率的和。ξ2的分布如表2-15所示。表2-15ξ2P00.110.52.250.390.1表2-14求ξ2的分布。例3一個儀器由兩個主要部件組成,其總長度為此二部件長度的和,這兩個部件的長度ξ和η為兩個相互獨立的隨機變量,其分布律如表2-16、2-17所示。求此儀器長度的分布律。ξP90.3100.5110.2ηP60.470.6

解設(shè)儀器總長度為ζ=ξ+η,其可能取值如表2-18所示:ξηζ=ξ+η9615971610616107171161711718表2-16表2-17

P(ζ=15)=P(ξ=9,η=6)=P(ξ=9)P(η=6)=0.3×0.4=0.12P(ζ=16)=P(ξ=9,η=7)+P(ξ=10,η=6)＝0.3×0.6+0.5×0.4＝0.38

ζP150.12160.38170.38180.12同樣方法可得P(ζ=17)=0.38P(ζ=18)=0.12因而的分布律如表2-19所示。表2-19解：ξ1+ξ2

只可能取0，1，2三個值。P(ξ1+ξ2=0）=P(ξ1=0,ξ2=0）=4/16P(ξ1+ξ2=1)=P(ξ1=0,ξ2=1)+P(ξ1=1,ξ2=0)=8/16P(ξ1+ξ2=2)=P(ξ1=1,ξ2=1)+P(ξ1=0,ξ2=2)+P(ξ1=2,ξ2=0)=4/16

ξ1+ξ2P01/411/221/4例4求2.3例二中前兩個郵筒